L.S.Marsa Elriadh
Epreuve 5 M : Zribi
4
èmeSc
Révision1
09/10
Exercice 1 :
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé
O i j k, , ,
. On considère les points A( -1,1,2), B(1,0,-1), C(2,-1,1) et D(-1,0,2).1.
a. Vérifier que B,C et D ne sont pas alignés
b. Déterminer une équation cartésienne du plan Q passant par les points B, C et D Dans tous ce qui suit On considérera Q : 3x + 7y + 2z – 1 = 0
2. Soit H le projeté orthogonal du point A sur le plan Q a. vérifier que ABCD est un tétraèdre.
b. Calculer le volume v du tétraèdre ABCD c. en déduire AH.
3. Soit S la sphère de diamètre [AH]. Déterminer Q S Exercice 2 :
1. Soit f la fonction définie sur 3, 2
par ( ) 2 x f x x
.Montrer que pour tout réel non nul x on a : '( ) 8
f x 9
2. Soit la suite réelle U définie par :
0
1
1 2 n
n
n
U
U U n
U
a. Montrer par récurrence que pour tout n de * on a 3 3 2Un
b. Montrer, en utilisant le théorème des accroissements finis , que pour tout n de
*on a 1
2 8 2
n 9 n
U U
c. Montrer que pour tout n de on a 2 8 9
n
Un
d. Déduire lim n
n U
. Exercice 3 :
1. Construire sur un repère orthonormé
O i j, ,
du plan la courbe C de la fonction f définie par f(x) = ln ( x ).2. Soit A le point de coordonnées ( 2 , 0 ). Montrer que pour tout point M de C d’abscisse x > 0 on a AM2 x24x
ln( )x
24. On note g x( ) AM2 3. Soit h la fonction définie sur
0,
par h x( )x22xln( )x .a. Dresser le tableau de variations de h
b. Montrer que l’équation h( x ) = 0 admet une unique solution > 0 et que 1 2
c. Déterminer le signe de h( x ) sur
0,
4.
L.S.Marsa Elriadh
Epreuve 5 M : Zribi
4
èmeSc
Révision2
09/10
a. Montrer que pour tout x > 0 on a '( ) 2 ( )h x g x x b. Etudier les variations de g sur
0,
c. En déduire la valeur du réel x pour laquelle g ( x ) est minimale
5. Soit B( 1 , 0 ) et H
, ln
de la courbe C. On désigne par A
l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe C et la droite( B H ).Montrer que
1ln
1A 2 . Exercice N°4 ( 4 points ) :
On s’intéresse à la durée de vie , exprimée en semaine , d’un composant électronique . On modélise cette situation par une loi de probabilité exponentielle p de paramètre > 0 définie sur
0,
comme suit :La probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est
0
0,
t
p t
exdx.Une étude ; montrant qu’environs 50% d’un lot de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines ce qui permet donc de poser p
0, 200
0,51. Montrer que ln(2)
200
2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaine ? on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au cm prés
3. On admet que la durée de vie moyenne dm est la limite quand A tend vers de
0 A
xe xdx
( A > 0 ).a. Montrer que
0
A A A 1
x Ae e
xe dx
b. En déduire dm .On donnera la valeur exacte et la valeur approchée décimale à une semaine prés.
Exercice N°5 ( 4 points ) :
On considère les équations différentielles E0 et E1 suivantes :
0 1
: '' 4 0 : '' 4 3cos( )
E y y
E y y x
1. Quelles sont sur les solutions g de l’équation E0 . 2. Vérifier que la fonction cosinus est solution sur de E1.
3. Montrer que toute fonction f définie sur par : f( x ) = g( x ) + cos( x ) est une solution de E1 .où g est une solution de E0.
4. Déterminer la solution f de E1 dont la courbe passe par le point , 0 A2
et dont la tangente en A est parallèle à la droite d’équation y = x.
