Master EADM 2012-2013 Capes externe Oral 2
Université Claude Bernard Lyon1 UE 17 Epreuve sur dossier
02/05/2013
DOSSIER PS 8
Thème : Loi normale
L’exercice
L’objectif de cet exercice est d’analyser la qualité de la production d’une entreprise fabriquant des poutres IPE 200.
Pour chaque probabilité demandée, on donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à 10-3 près.
1. Soit H la variable aléatoire qui, à chaque poutre, associe sa hauteur en millimètres ; on suppose que H suit la loi normale de moyenne M1 = 199,8 et d’écart – type 1 = 1,5.
Déterminer la probabilité qu’une poutre ait une hauteur n’appartenant pas à l’intervalle [197 ; 203].
2. Soit L la variable aléatoire qui, à chaque poutre, associe sa largeur en millimètres ; on suppose que L suit la loi normale de moyenne M2 = 100. Déterminer l’écart – type 2 pour que 98% des poutres aient une largeur comprise entre 97 mm et 103 mm.
On donnera de 2 une valeur approchée à 10-2 près.
3. On constate que, dans un lot de poutres, 90% ne présentent aucun défaut. Elles sont alors déclarées de première qualité, les autres étant dites de seconde qualité. On prélève N poutres dans ce lot, ce tirage étant assimilable à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de poutres de seconde qualité dans cet échantillon de n poutres.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) On suppose N = 900 et on estime que l’on peut remplacer la loi de X par une loi normale Z. Quels sont les paramètres de la loi de Z ?
Déterminer la probabilité pour qu’il y ait entre 90 et 100 poutres de seconde qualité dans ce lot.
La solution proposée par deux élèves à la question 2
Elève A On sait que P(97 < L < 103) = 0,98 soit P(97100
2 < L100
2 < 103100
2 ) = 0,98.
On trouve P( 3
2 < T < 3
2
) = 0,98 soit ( 3
2
) ( 3
2
) = 0,98 et ( 3
2
) + ( 3
2) = 0,98.
Ainsi : ( 3
2) = 0,49.
Le formulaire donne 3
2 = 0,6879 soit 2 = 3
0,6879 4,3611.
Master EADM 2012-2013 Capes externe Oral 2
Université Claude Bernard Lyon1 UE 17 Epreuve sur dossier
02/05/2013
Une valeur approchée de 2 à 102 près est 4,36.
Elève B
Si L suit une loi normale de moyenne 100 et d’écart-type 2, alors T = L100
2 suit une loi normale centrée réduite.
Je me sers de l’instruction « FracNormale » de la calculatrice, et alors pour une probabilité de 0,98, j’obtiens T 2,05, c’est-à-dire L100
2 2,05 soit 2 L100 2,05 . Si L = 97, on a 2 97100
2,05 soit 2 1,46 et si L = 103, on a 2 103100
2,05 soit 2 1,46.
Un écart-type est toujours positif, ce qui donne : 2 1,46.
Le travail à exposer devant le jury
1. Analyser la production de chaque élève en mettant en évidence ses réussites et en indiquant l’origine possible de ses éventuelles erreurs.
2. Rédiger une réponse à la question 3, comme on la présenterait dans une classe de BTS et expliquer comment la question 3.b) permet d’introduire le principe de la correction de continuité.
3. Présenter deux exercices pour des classes de Terminale, et se rapportant au thème
« Loi normale ».
