D.S. DE MATHEMATIQUES (2)NOM :PRENOM :CLASSE : TS 4

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D.S. DE MATHEMATIQUES (2)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 4

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00

I-Exercice pour les non spécialistes.

1. On considère la fonction f définie sur ℝ par :

{

^f^^x=2x3 si x2 fx=−3x²2x−a si x2. Pour quelles valeurs de a la fonction f est-elle continue en 2?

2. On considère la fonction f définie sur [−3;3]par fx=Ex[x−Ex]²

a . Démontrer que, pour tout x réel, on a fx1=f x1 . Qu'en déduit-on pour les points Mx , f x et M 'x1,f x1?

b . Que vaut f x pour x appartenant à [0;1[.

c . Déduire des questions précédentes la représentation graphique de f sur [−3;3]. d . Étudier la continuité de f sur [−3;3].

I-Exercice pour les spécialistes .

1. a . Démontrer que 97 est un nombre premier.

b . Décomposer 34920 en produit de nombres premiers.

c . Déterminer le nombres de diviseurs de 34920

2. Dans la division euclidienne de a par b, le quotient est q et le reste r. En augmentant le dividende de 21 et le diviseur de 3, le quotient et le reste sont inchangés.

a . Quelle est la valeur de q?

b . En supposant que le diviseur soit 11, déterminer les valeurs possibles du dividende.

II - Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct O ,u ,v (unité graphique : 3 cm).

On désigne par A le point d'affixe −1−i.

À tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' défini par : z '= z

iz1 .

1. Déterminer les images des points B−1i et C



¹²^¹²ⁱ



2. Déterminer les points M confondus avec leur image M'.

3. Étant donné un complexe z distinct de i, on pose : z=xiy et z '=x 'iy ' avec x, y, x', y' réels.

a . Déterminer x ' et y ' en fonction de x et de y.

b . En déduire l'ensemble E des points M dont l'image M' est située sur l'axe des imaginaires purs. Dessiner l'ensemble E.

c . En déduire l'ensemble F des points M dont l'image M' est située sur l'axe des réels. Dessiner l'ensemble F.

III-Pour tout nombre complexe Z on pose : PZ=Z⁴−1 1. Résoudre l'équation _Z²_1=0.

2. Factoriser PZ.

3. En déduire les solutions, dans l'ensemble des complexes, de l'équation PZ=0 d'inconnue Z.

4. Déduire de la question précédente les solutions de l'équation d'inconnue z :



^2z1z−1



⁴⁼¹

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IV - Soit g la fonction définie surℝpar : gx=−x³3x²1 . 1. Étudier les variations de g.

a. Déterminer les limites de g en−∞et∞. b. Dresser le tableau de variation de g.

c. Représenter g dans un repère orthonorméO ,i ,j (unité : 1 cm).

2. a. Démontrer que l'équation gx=0 a une solution unique  et donner un encadrement de  à 10⁻² près.

b. Déterminer le signe de gxsuivant les valeurs de x.

c . Déterminer graphiquement, selon, les valeurs du réel k, le nombre de solutions de l'équation gx=k.

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