D.M. DE MATHEMATIQUES (1)NOM :PRENOM :CLASSE : TS 1

D.M. DE MATHEMATIQUES (1)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 1

I- Rappels :

Considérons le binôme a x²b xcet=b² −4 acle discriminant de ce binôme.

Théorème 1 : L'équation a x²b xc=0admet : Deux solutions réellesx₁=−b−



2 a ; x₂=−b



2 a si0. Une unique solution réelle^x0=−b

2 a si=0. Aucune solution réelle si0.

Théorème 2 : Le signe de l'expression a x²b xcest donné par : Du signe de a sur ℝsi0.

Du signe de a surℝ−{x₀}et nulle en x₀si=0.

Du signe de a à l'extérieur et du signe de - a à l'intérieur des racines x₁ et x₂ si0.

Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Le nombre dérivé de f en a est, si existe ,le nombre f 'a=lim

xa

fx−fa x−a =lim

h0

fah−fa

h . Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente en Aa , faà la courbe représentative de f.

L'équation de la tangente est alors T : y=faf 'ax−a. Théorème 3 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère. Soit a et b deux réels. Si pour tout h tel que a+h et a-h sont dans I on a:

1. . fahfa−h=2 balors A(a , b) est un centre de symétrie de C.

2. fah−fa−h=0alors la droite d'équation x=aest un axe de symétrie.

II-Exercices de base :

1. Donner les tableaux de signe des expressions suivantes:

a. 4x²−3x−7 ; b.−2x²5x2 ; c.x²x1 ; d. 25x²−10x1. 2. Résoudre les inéquations suivantes : a. x−3

x1 3x1

−2x3 ; b.1 x− 2

x1 4 x²x . 3. Démontrer le théorème 3. ( On effectuera un schéma pour chacun des cas )

III-Problème : Soit f la fonction définie sur ℝ par fx=x³−6x²9x−2 . On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormée _{O ;}^i ,j (unité : 1 cm).

a . Calculer les limites de f en −∞ et ∞.

b . Déterminer la fonction dérivée f ' de f sur ℝ. En déduire le tableau de variation de f.

c . Démontrer que le point A (2, 0) est un centre de symétrie de C_f.

d . Démontrer que l'équation de la tangente T à C_f au point d'abscisse 2 est y=−3x6 . e . On note tx=−3x6 . Démontrer qu'il existe trois réels a, b et c tels que :

fx−tx=x−2a x²b xc. En déduire la position de C_f par rapport à la tangente.

f . Représenter T et C_f dans le même repère.

Lycée Dessaignes