D.S. DE MATHEMATIQUES (4)NOM :PRENOM :CLASSE : TS 1

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D.S. DE MATHEMATIQUES (4)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 1

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l'épreuve. DUREE : 2 H 00

I- Donner l'écriture complexe d''une rotation de centre _ et d'angle . Démonstration.(2 points) II-QCM : Répondre par Vrai ou Faux aux questions suivantes.(2 points)

Règle du jeu :0 faute : 2 points. 1 faute : 1 point. 2 fautes : 0,5. 3 ou 4 fautes : 0 point.

Les réponses devront être justifiée.

Soit f la fonction définie surℝ^par ^f x=x²e^−x, f 'sa fonction dérivée et C sa courbe représentative.

1. Pour tout x réel,on a f 'x=2 x e^−x.

2. La fonction f est strictement décroissante surℝ^. 3. La fonction f admet un minimum pour x = 2.

4. C admet pour tangente l'axe des abscisses.

III-Résoudre les équations et inéquations suivantes : (2 points) 1. e²^x−e^x0

2. e²^x−2e^x1=0

IV- ( 6 points ) Partie A

On considère l’équation : (E) z³−4iz²134iz −13i=0 où z est un nombre complexe.

1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.

2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait : z³−4iz²134iz −13i=z −ia z²b zc.

3. En déduire les solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct O ;u ,v, on désigne par A, B et C les points d’affixes respectives i, 23i et 2−3i .

1. Soit r la rotation de centre B et d’angle ^π

4 . Déterminer l’affixe du point A′,image du point A par la rotation r .

2. Démontrer que les points A′, B et C sont alignés et déterminer l’écriture complexe de l’homothétie de centre B qui transforme C en A′.

V-( 8 points ) Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par f x= 3e

x 4

2e

x 4

.

1. Démontrer que f x= 3 12e⁻

x 4 .

2. Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞.

3. Étudier les variations de la fonction f .

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Partie B

1. On a étudié en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t , est notée g (t ).On définit ainsi une fonction g de l’intervalle [0 ; +∞[

dans ℝ. La variable réelle t désigne le temps, exprimé en années. L’unité choisie pour g (t ) est la centaine d’individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution, sur l’intervalle [0 ; +∞[, de l’équation différentielle

E₁ y ′=y 4 , a . Résoudre l’équation différentielle E₁.

b . Déterminer l’expression de g (t ) lorsque, à la date t = 0, la population comprend 100 rongeurs, c’est- à-dire g (0) = 1.

c . Après combien d’années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ? ( On pourra utiliser la calculatrice )

2. En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t ) le nombre des rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions :

E₂

{

^{u ′}^^t^=^u⁴^^t^⁻^[¹²^u^^t^]² pour tout nombre réel t positif ou nul, u0=1

, où u′ désigne la fonction dérivée de la fonction u.

a . On suppose que, pour tout réel positif t , on a u(t ) > 0. On considère, sur l’intervalle [0 ; +∞[, la fonction h définie par h=1

u .

Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions E₂ si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions

E₃

{

^{h ′}^t^=−¹⁴^h^t^¹¹² pour tout nombre réel t positif ou nul, h0=1

où h′ désigne la fonction dérivée de la fonction h.

b . Donner les solutions de l’équation différentielle y ′=−1 4 y1

12 et en déduire l’expression de la fonction h, puis celle de la fonction u.

c . Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers +∞?

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