BACCALAURÉATBLANC
Session2010
MATHÉMATIQUES
Sér ieS
EnseignementdeSpéialité
Duréedel'épreuve:4heures
Coefient:9
Lesalulatr ieséletroniquesdepohesontautor iséesonfor mémentàlaloienvigueur.
Lesujetestomposéde5exeriesindépendants.
Leandidatdoittraitertouslesexeries.
L aqualitédelarédation,lalar téetlapréisiondesraisonnements
entrerontpourunepar timpor tantedansl'appréiationdesopies.
Avantdeomposer,leandidats'assureraquelesujetompor tebien4pagesnumérotéesde1à4.
Leplanomplexeestrappor téàunrepèreor thonor maldiret
¡
O;
¡
!
u,
¡
!
v
¢
.
OnonsidèrelespointsAetBd'afxesrespetivesiet¡i.
Soitf l'appliationquiàtoutpointMdupland'afxezdistintede¡iassoielepointM 0
d'afxez 0
telleque
z 0
Æ 1Åiz
zÅi .
1. Quelleestl'imageparl'appliation f dupointO?
2. Quelestlepointquiapourimageparl'appliation f lepointCd'afxe1Åi?
3. Montrerquel'équation 1Åiz
zÅi
Æzadmetdeuxsolutionsquel'ondéter minera.
4. Vér ierquez 0
Æ i(z¡i)
zÅi
,endéduireOM 0
Æ AM
BM et:
³
~
u,
¡¡¡!
OM 0
´
Æ
³
¡¡!
MB,
¡¡!
MA
´
Å
¼
2
Å2k¼avek2Z.
5. Montrerquetouslespointsdel'axedesabsissesontleursimagesparl'appliation f situéessurunmêmeerle(C)que
l'onpréisera.
6. SoitMunpointduerledediamètre[AB℄différentdeAetdeB,montrerquesonimageM 0
estsituéesurl'axedesabsisses.
EXERCICE2(3points)
Ononsidèrelessuites(u
n )et(v
n
)déniesparu
0 Æ0;v
0 Æ12;
u
nÅ1 Æ
u
n Åv
n
2
et v
nÅ1 Æ
u
n Å2v
n
3 .
1. Démontrerquelasuite(w
n
)dénieparw
n Æv
n
¡u
n
estunesuitegéométr iqueonvergenteetquetoussester messont
positifs.
2. Montrerquelasuite(u
n
)estroissantepuisquelasuite(v
n
)estdéroissante.
3. Déduiredesdeuxquestionspréédentesquelessuites(u
n )et(v
n
)sontonvergentesetontlamêmelimite.
4. Ononsidèrelasuite(t
n
)déniepart
n Æ2u
n Å3v
n .
Montrerqu'elleestonstante.
5. Déter minezleslimitesdessuites(u
n )et(v
n ).
EXERCICE3(3,5points)
Soitf lafontiondéniesurl'inter valle℄1;Å1[parf(x)Æ x
lnx
1. a) Déter minerleslimitesdelafontionf en1etenÅ1.
b) Étudierlesvar iationsdelafontionf.
2. Soit(u
n )
lasuitedénieparu
0 Æ5etu
nÅ1 Æf(u
n )
pourtoutentiernatureln.
a) Ona traéla ourbereprésentativeC dela fontion f sur lagure1pagesuivante qui serarendueave laopie.
Constr uireladroited'équationy ÆxetlespointsM
1 etM
2
delaourbeC d'absissesrespetivesu
1 etu
2
.Proposer
uneonjeturesurleompor tementdelasuite(u
n ).
n
) Démontrerquelasuite(u
n
)onvergeversunréel`del'inter valle[e;Å1[.
d) Déter minerlavaleurde`.
Àompléteretàrendreavelaopie
1 2 3 4 5
2 4
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
O
C
FIGURE1question2.a)
EXERCICE4(4,5points)
Par tieA
Soitf lafontiondéniesurRparf(x)Æ 3e
x
4
2Åe x
4 .
a. Démontrerquef(x)Æ 3
1Å2e
¡ x
4 .
b. Étudierleslimitesdelafontionf enÅ1eten¡1.
. Étudierlesvar iationsdelafontionf.
Par tieB
1. Onaétudiéenlaboratoirel'évolutiond'unepopulationdepetitsrongeurs.Latailledelapopulation,autempst,estnotée
g(t).Ondénitainsiunefontiongdel'inter valle[0;Å1[dansR.Lavar iableréelletdésigneletemps,expr iméenannées.
L'unitéhoisiepourg(t)estlaentained'individus.Lemodèleutilisépourdér ireetteévolutiononsisteàprendrepour
gunesolution,surl'inter valle[0;Å1[,del'équationdifférentielle
(E
1 )y
0
Æ y
4 .
1
b) Déter minerl'expressiondeg(t)lorsque,àladatetÆ0,lapopulationomprend100rongeurs,'est-à-direg(0)Æ1.
) Aprèsombiend'annéeslapopulationdépassera-t-elle300rongeurspourlapremièrefois?
2. Enréalité,dansunseteurobser véd'unerégiondonnée,unprédateurempêheunetelleroissaneentuantuneer taine
quantitéderongeurs.Onnoteu(t)lenombredesrongeursvivants(expr iméenentaines)autempst(expr iméenannées)
dansetterégion,etonadmetquelafontionu,ainsidénie,satisfaitauxonditions:
(E
2 )
8
<
: u
0
(t) Æ u(t)
4
¡ [u(t)℄
2
12
pourtoutnombreréeltpositifounul,
u(0) Æ 1.
oùu 0
désignelafontiondér ivéedelafontionu.
a) Onsupposeque,pourtoutréelpositift,onau(t)È0.Ononsidère,surl'inter valle[0;Å1[,lafontionhdéniepar
hÆ 1
u
.Démontrerquelafontionusatisfaitauxonditions(E
2
)sietseulementsilafontionhsatisfaitauxonditions
(E
3 )
8
<
: h
0
(t) Æ ¡ 1
4 h(t)Å
1
12
pourtoutnombreréeltpositifounul,
h(0) Æ 1.
oùh 0
désignelafontiondér ivéedelafontionh.
b) Donnerlessolutionsdel'équationdifférentielley 0
Æ¡ 1
4 yÅ
1
12
etendéduirel'expressiondelafontionh,puisellede
lafontionu.
) Dansemodèle,ommentseompor telatailledelapopulationétudiéelorsquettendversÅ1?
EXERCICE5(5points)
Restitutionorganiséedeonnaissanes Leplanomplexeestrappor téàunrepèreor thonor médiret
¡
O;
¡
!
u,
¡
!
v
¢
.
Prérequis:toutesimilitudeindireteadmetuneéritureomplexetutypez7!z 0
ÆazÅbaveaetbdesnombresom-
plexes.
Question:soientA(z
A ),B(z
B )etC(z
C
)troispointsduplan;onnoteA 0
(z
A 0),
B 0
(z
B 0)
etC 0
(z
C 0)
leursimagesrespetivespar
unesimilitudeindiretes.
Démontrezquelesangles
³
¡¡¡!
A 0
B 0
,
¡¡¡!
A 0
C 0
´
et¡
¡
¡!
AB,
¡!
AC
¢
ontmêmemesuremodulo2¼.
VRAI/FAUX Pourhaunedes4propositionssuivantes,indiquezsielleestvraieoufausseetdonnezunedémonstrationdela
réponsedonnée.
1. Leplanomplexeestrappor téàunrepèreor thonor médiret
¡
O;
¡
!
u,
¡
!
v
¢
.Ononsidèrelasimilitudediretef d'ér iture
omplexez7!z 0
Æ 3
2
(1¡i )zÅ4¡2i.
Proposition1:«f Ær±hoùhestl'homothétiederappor t 3
p
2
2
,deentre(¡2,¡2i)etoùrestlarotationdeentreet
d'angle¡
¼
4
».
2. Dansl'espaemunidurepèreor thonor mé
³
O;
¡
!
i ,
¡
!
j ,
¡
!
k
´
,onnote(S)lasur faed'équation
zÆx 2
Å2xÅy 2
Å1
Proposition2:«lasetionde(S)avelepland'équationzÆ5estleerledeentreA(¡1;0,5)etderayon5».
3. Proposition3:«5 750
¡1estunmultiplede7».
4. Soitnunentierongr uà1modulo7.
Proposition4:«lePGCDde3nÅ4et4nÅ3estégalà7».
