Classe de terminale S Année scolaire 2007-2008
http://www.taye.fr Exercices sur les équations différentielles
Exercices sur les équations différentiellesExercices sur les équations différentielles Exercices sur les équations différentielles
Taux d’alcoolémie Taux d’alcoolémie Taux d’alcoolémie Taux d’alcoolémie
Le taux d’alcoolémie f t( ) en gL−1 ( gramme par litre)d’une personne ayant absorbé une certaine quantité d’alcool vérifie, surℝ+, l’équation différentielle : y'+ =y ae−t
Où t est le temps écoulé après l’ingestion (exprimé en heures), et a une constante qui dépend des conditions expérimentales.
1) On pose pour tout t∈ℝ+ : g t( )= f t e( )⋅ t , Démontrer que g est une fonction affine.
2) Exprimer f t( )en fonction de t et de a. 3) Dans cette question, on suppose que a=5.
a) Etudier les variations de f et tracer sa courbe. Déterminer le taux d’alcoolémie maximal et le temps au bout duquel il est atteint.
b) Donner une valeur du délai T (à l’heure près) au bout duquel le taux d’alcoolémie de cette personne est inférieur à 0, 5 gL−1.
Evolution d Evolution dEvolution d
Evolution d’une population de’une population de’une population de poisson’une population depoissonpoissonpoisson
1) Une population de poisson d’une certaine espèce croît au cours des années selon la loi : ' 5g
g = (1),
où g désigne la quantité de poissons (en milliers) dépendant du temps t (en années).
a) Résolvez l’équation différentielle (1).
b) Sachant qu’à la date t = 0 la population comprend un millier de poissons, trouvez l’expression de g(t).
c) Au bout de combien d’années la population dépassera-t-elle pour la première fois 4 milliers de poissons ?
2) En réalité, un prédateur de cette espèce empêche une telle croissance, tuant chaque année une certaine quantité de poissons (dépendant de l’effectif total).
La population suit la loi :
15 ' 5
g2
g = g − (2).
a) On pose
g h g
= −
3 et on suppose que pour tout t on a g(t)≠3.
Montrez que g est solution de (2) si est seulement si h est solution de (1).
b) Trouvez les fonctions h solutions de (1), puis les fonctions g solutions de (2).
c) Trouvez la fonction g solution de (2) telle que g(0) = 1.
d) Vers quelle limite tend la population de poisson ?
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http://www.taye.fr Correction
Correction Correction Correction
Taux d’alcoolémie Taux d’alcoolémie Taux d’alcoolémie Taux d’alcoolémie
( )
1) On pose pour tout : ( ) ( ) ( ) ( ) .
La fonction vérifie l'équation: ' , '( ) ( )
'( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( )
soit '( ) , ' es
t t
t t
t t t t t t
t g t f t e f t g t e
f y y ae donc f t f t ae
f t g t e g t e g t g t e f t f t ae g t e ae
g t a g
+ −
− −
− − − − − −
∈ = ⇔ =
+ = + =
= − = − ⇒ + = ⇔ =
=
ℝ
0
t une constante, donc ( ) , g est une fonction affine, avec b une constante réelle.
2) on a ( ) ( ) , or à l'instant 0, il n'y a pas d'alcool dans le sang soit (0) 0
(0) 0 0. d'
t
g t at b
f t at b e t f
donc f be b
−
= +
= + = =
= = ⇔ = où l'expression de : ( ) . 3) On suppose que 5, ( ) 5
a) est dérivable comme produit de fonctions dérivables et: '( ) 5(1 ) . comme 0, alors '( ) 0 1 et '( ) 0 1. d'où le tab
t
t
t t
f f t ate
a f t te
f f t t e
e f t t f t t
−
−
−
−
=
= =
= −
> ≤ ⇔ ≥ ≥ ⇔ ≤
5
0 0
leau de variation de . 0 1 est croissante sur [0;1] et décroissante sur [1; [.
'( ) 0 5
taux d'alcoolémie maximal est 1.84 / . Il est atteint au bout d'une heure.
( ) e
f
t f
f t Le g l
f t e
+ ∞ +∞
+ −
≃
ր ց
5/e
2 3 4 5 6 7 8
-1 2
0 1
1
x y
M M
3b) Valeur du délai T au bout duquel le taux d'alcoolémie est inférieur à 0.5 / . ( ) 0.5 5 0.5, On cherche à résoudre l'équation 5 0.5
Cette équation ne peut être rsolue algébriquement, on ut
t t
g l
f t te− te−
⇔ ≤ ⇔ ≤ =
ilise le théorème de la bijection.
La fonction est croissante sur l'intervalle [1; [, elle réalise une bijection de cet intervalle sur ]0; ]5 0.5 ]0; ], d'après le théorème des valeurs intermédiaire5
f e
e
+∞
∈ s, il existe un unique réel dans ]1; [ tel que ( ) 0.5.
On donne un encadrement de à l'aide d'un tableau ou en utilisant la dichotomie.
avec une calculatriceà on obtient : 3 4.
T f T
T
T
+∞ =
< <
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Evolution dEvolution d
Evolution d’une population de’une population de’une population de poisson’une population depoissonpoissonpoisson
( )
( )
51) La quantité de poisson ( ) vérifie l'équation différentielle : '( ) ( ) 1 . 5
a) l'équation 1 a pour ensemble de solution les fonctions: ( ) , avec C une constante réelle.
b) à l'instant
t
g en milliers g t g t
g t Ce
=
=
0 5
5
0, la population comprend un millier de poisson, donc (0) 1
(0) 1 1 soit 1. Donc ( ) .
c) On résoud l'inéquation: ( ) 4 4 5 ln 4 . 5ln4 6.93 la population dépasse 4 milliers de poisso
t
t
t g
g Ce C g t e
g t e t
= =
= ⇔ = = =
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ≃
2
( )
ns au bout de 7 années.
2) Dans cette partie la population suit la loi: ' 2 . On pose avec ( ) 3.
5 15 3
a) On exprime d'abord en fonction de : 3 .
3 1
3 '(1 On dérive la fonction : '
g g g
g h g t
g
g h
g h h g
g h
g g h
= − = ≠
−
= ⇔ =
− +
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
) 3 ' 3 '
' .
1 1
Montrons que est solution de 2 si et seulement si est solution de 1 .
3 ' 1 3 1 3
est solution de 2 ' .
5 15 1 5 1 15 1
En multipliant cette égalité par (1 )
h hh h
g
h h
g h
g g h h h
g g
h h
h h
+ − ⇔ =
+ +
⇔ = − ⇔ = × − ×
+ + +
+
( ) ( )
2 3 3 2
on obtient: 3 ' (1 ) ,
5 5
après simplification, on obtient: ' . Donc h est solution de 1 . 5
Remarque: On peut faire le raisonnement en partant de solution de 1 . b) Les fonctions sont solutio
h h h h
h h
h h
= + −
=
( )
55
5
5
5
5 5
ns de l'équation 1 , donc h d'après la question 1a): ( ) .
3 3
c) On en déduit l'expression de la fonction : soit ( ) .
1 1
3
3 1 2 3
(0) 1 1 . d'où : ( ) ( ) .
1 2 1
1 2
2 d)
t
t
t
t
t
t t
h t Ce
h Ce
g g g t
h Ce
C e e
g C g t g t
C e e
=
= =
+ +
= ⇔ = ⇔ = = ⇔ =
+ + +
5 5
5
5 5
5
5 5
3 3 3 2
lim lim lim 3. car lim et lim 0.
2 2
2 1 1
La population de poisson tend vers de 3 .( 3 milles poissons).
t t
t
t t
t t t t t t
t t
e e
e
e e
e
e e
→+∞ = →+∞ = →+∞ = →+∞ = +∞ →+∞ =
+ + +
