Équations différentielles : exercices TS Année scolaire 2010/2011

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Équations différentielles : exercices TS

Année scolaire 2010/2011 Équation de la forme y '=ay f x 

1. On considère l'équation différentielle 1 : y' – 2 y =1 – 6 x . Montrer que 1 admet une solution affine et résoudre 1 . 2. On considère l'équation différentielle 2 : 2y ' 3 y=6 x−5 . Montrer que 2 admet une solution affine et résoudre 2 .

3. On considère l'équation différentielle 3 : y'  y=sin  x  . Prouver que 3 admet une solution de la forme x  sin  x  cos x  et résoudre 3 .

Situations conduisant à une équation différentielle.

1. Désintégration de noyaux d'atomes radioactifs.

Si N t est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant t ( t en années), la variation  N  t

de ce nombre pendant la durée  t est proportionnelle à N t et à  t :  N  t=–  tN  t

• On suppose que t N t est dérivable. Écrire une équation différentielle vérifiée par N et la résoudre.

• On appelle temps caractéristique le nombre = 1

 . Exprimer en fonction de ta le temps t

_0,5

_au bout duquel N t a diminué de moitié. (demi-vie ou période)

✗ Application : datation au Carbone 14.

Le Carbone 14 est renouvelé constamment chez les êtres vivants. A leur mort, celui-ci se désintègre avec une demi-vie de 5730 années. Si un fragment d'os contient 71% de sa quantité initiale de Carbone 14, quel âge a-t-il ?

✗ Autre datation : au Potassium.

Le Potassium est radioactif, avec une période égale à t

_0,5

=1,4×10

⁹

années. La Terre contient aujourd'hui 10,8% de son Potassium initial. Quel est l'âge de la Terre ? 2. Taux d'alcoolémie.

Lorsqu'une personne absorbe à jeun une certaine quantité d'alcool, on note f  t le taux d'alcoolémie (en gramme par litre de sang) à l'instant t (en heure) de son organisme. On considère que f est définie par l'équation différentielle :

f ' t =ae

^{– t}

– f t et f 0=0 ( a est une constante positive dépendant de la personne et de la quantité absorbée)

1. On pose g t =e

^t

f t . Calculer g '  t  et en déduire que g est une fonction affine.

2. Exprimer f  t en fonction de a et de t . 3. On pose a=5

• Déterminer le taux d'alcoolémie maximal et le temps au bout duquel ce taux est atteint.

• Étudier la fonction f et la représenter graphiquement sur [0;∞[ .

• Au bout de combien de temps la personne peut-elle prendre le volant sans enfreindre la législation en vigueur ?

3. Croissance d'un individu

Le modèle de croissance d'un individu proposé par Ludwig Von Bertalanffy en 1938 repose sur le fait que la taille d'un être vivant (animal ou végétal) atteint une valeur maximale L et que sa vitesse de croissance est proportionnelle à la "taille manquante".

Si y t  est la taille au bout de t années, alors il existe k tel que y' t=k L – y t .

2010©My Maths Space Page 1/2 1

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Équations différentielles : exercices TS

a. Déterminer la solution générale de cette équation différentielle.

b. Une espèce de maïs, qui atteint 1,80m de hauteur, sort de terre le 1er juillet (à t=0 ) et atteint la moitié de sa taille le 15 juillet.

• Donner une formule explicite de sa taille f t en fonction de t ( t en jour et f  t en cm ) selon le modèle du biologiste autrichien.

• Représenter graphiquement la fonction f .

• A quelle date le maïs aura-t-il atteint sa taille maximale, à deux cm près ? 4. Chute d'un corps avec résistance de l'air.

On laisse tomber un corps de masse m , dans le champ de la pesanteur. La vitesse v du centre d'inertie de ce corps est fonction du temps t de chute, et vérifie la loi :

mv' =mg – kv où k0 est le coefficient de freinage et g l'accélération de la pesanteur.

a. Résoudre l'équation différentielle ci-dessus. Donner une interprétation de mg k ^.

b. On suppose qu'une vitesse initiale v

₀

est imprimée au corps à l'instant t=0 . Déterminer l'expression de la vitesse qui correspond à cette condition initiale.

c. Que peut-on dire de la vitesse de ce corps lorsque k tend vers 0 (c'est à dire sans résistance de l'air) ? 5. Propagation d'une rumeur

Une ville compte 10 000 habitants.

A 8 heures du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle.

On note r t  le pourcentage de personnes connaissant la rumeur à l'instant t ( t en heures ).

On choisit 8 heures du matin comme temps initial t=0 .

La nouvelle se répand dans la ville de la façon suivante : la vitesse de propagation r 't  est

proportionnelle au pourcentage de ceux qui connaissent la nouvelle et au pourcentage de ceux qui ne la connaissent pas.

On admet que le coefficient de proportionnalité est de 1,15.

1. Montrer que la fonction r définie sur [0;∞[ est solution de l'équation différentielle : y' =1,15 y 1 – y et y 0=0,01 .

2. La fonction z est définie par z= 1

r ⁽ r ne s'annule pas sur [ 0;∞[ ). Prouver que z vérifie l'équation z ' =−1,15z1,15 . En déduire l'expression de r t .

3. Étudier le sens de variation de la fonction r . Quelle est sa limite lorsque t tend vers ∞ ? Tracer la courbe représentative de la fonction r sur [ 0;∞[ .

4. Combien de personnes connaissent la nouvelle à midi ?

5. En utilisant le graphique ou une calculatrice, donner une approximation de l'instant auquel 99% de la population connaîtra la rumeur.

Équations différentielles : exercices TS Année scolaire 2010/2011

Équations différentielles : exercices TS

Année scolaire 2010/2011 Équation de la forme y '=ay f x 

1. On considère l'équation différentielle 1 : y' – 2 y =1 – 6 x . Montrer que 1 admet une solution affine et résoudre 1 . 2. On considère l'équation différentielle 2 : 2y ' 3 y=6 x−5 . Montrer que 2 admet une solution affine et résoudre 2 .

3. On considère l'équation différentielle 3 : y'  y=sin  x  . Prouver que 3 admet une solution de la forme x  sin  x  cos x  et résoudre 3 .

Situations conduisant à une équation différentielle.

1. Désintégration de noyaux d'atomes radioactifs.

Si N t est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant t ( t en années), la variation  N  t

de ce nombre pendant la durée  t est proportionnelle à N t et à  t :  N  t=–  tN  t

• On suppose que t N t est dérivable. Écrire une équation différentielle vérifiée par N et la résoudre.

• On appelle temps caractéristique le nombre = 1

 . Exprimer en fonction de ta le temps t

au bout duquel N t a diminué de moitié. (demi-vie ou période)

✗ Application : datation au Carbone 14.

Le Carbone 14 est renouvelé constamment chez les êtres vivants. A leur mort, celui-ci se désintègre avec une demi-vie de 5730 années. Si un fragment d'os contient 71% de sa quantité initiale de Carbone 14, quel âge a-t-il ?

✗ Autre datation : au Potassium.

Le Potassium est radioactif, avec une période égale à t

=1,4×10

années. La Terre contient aujourd'hui 10,8% de son Potassium initial. Quel est l'âge de la Terre ? 2. Taux d'alcoolémie.

Lorsqu'une personne absorbe à jeun une certaine quantité d'alcool, on note f  t le taux d'alcoolémie (en gramme par litre de sang) à l'instant t (en heure) de son organisme. On considère que f est définie par l'équation différentielle :

f ' t =ae

– f t et f 0=0 ( a est une constante positive dépendant de la personne et de la quantité absorbée)

1. On pose g t =e

f t . Calculer g '  t  et en déduire que g est une fonction affine.

2. Exprimer f  t en fonction de a et de t . 3. On pose a=5

• Déterminer le taux d'alcoolémie maximal et le temps au bout duquel ce taux est atteint.

• Étudier la fonction f et la représenter graphiquement sur [0;∞[ .

• Au bout de combien de temps la personne peut-elle prendre le volant sans enfreindre la législation en vigueur ?

3. Croissance d'un individu

Le modèle de croissance d'un individu proposé par Ludwig Von Bertalanffy en 1938 repose sur le fait que la taille d'un être vivant (animal ou végétal) atteint une valeur maximale L et que sa vitesse de croissance est proportionnelle à la "taille manquante".

Si y t  est la taille au bout de t années, alors il existe k tel que y' t=k L – y t .

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a. Déterminer la solution générale de cette équation différentielle.

b. Une espèce de maïs, qui atteint 1,80m de hauteur, sort de terre le 1er juillet (à t=0 ) et atteint la moitié de sa taille le 15 juillet.

• Donner une formule explicite de sa taille f t en fonction de t ( t en jour et f  t en cm ) selon le modèle du biologiste autrichien.

• Représenter graphiquement la fonction f .

• A quelle date le maïs aura-t-il atteint sa taille maximale, à deux cm près ? 4. Chute d'un corps avec résistance de l'air.

On laisse tomber un corps de masse m , dans le champ de la pesanteur. La vitesse v du centre d'inertie de ce corps est fonction du temps t de chute, et vérifie la loi :

mv' =mg – kv où k0 est le coefficient de freinage et g l'accélération de la pesanteur.

a. Résoudre l'équation différentielle ci-dessus. Donner une interprétation de mg k .

b. On suppose qu'une vitesse initiale v

est imprimée au corps à l'instant t=0 . Déterminer l'expression de la vitesse qui correspond à cette condition initiale.

c. Que peut-on dire de la vitesse de ce corps lorsque k tend vers 0 (c'est à dire sans résistance de l'air) ? 5. Propagation d'une rumeur

Une ville compte 10 000 habitants.

A 8 heures du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle.

On note r t  le pourcentage de personnes connaissant la rumeur à l'instant t ( t en heures ).

On choisit 8 heures du matin comme temps initial t=0 .

La nouvelle se répand dans la ville de la façon suivante : la vitesse de propagation r 't  est

proportionnelle au pourcentage de ceux qui connaissent la nouvelle et au pourcentage de ceux qui ne la connaissent pas.

On admet que le coefficient de proportionnalité est de 1,15.

1. Montrer que la fonction r définie sur [0;∞[ est solution de l'équation différentielle : y' =1,15 y 1 – y et y 0=0,01 .

2. La fonction z est définie par z= 1

r ( r ne s'annule pas sur [ 0;∞[ ). Prouver que z vérifie l'équation z ' =−1,15z1,15 . En déduire l'expression de r t .

3. Étudier le sens de variation de la fonction r . Quelle est sa limite lorsque t tend vers ∞ ? Tracer la courbe représentative de la fonction r sur [ 0;∞[ .

4. Combien de personnes connaissent la nouvelle à midi ?

5. En utilisant le graphique ou une calculatrice, donner une approximation de l'instant auquel 99% de la population connaîtra la rumeur.

2010©My Maths Space Page 2/2

_au bout duquel N t a diminué de moitié. (demi-vie ou période)

a. Résoudre l'équation différentielle ci-dessus. Donner une interprétation de mg k ^.

r ⁽ r ne s'annule pas sur [ 0;∞[ ). Prouver que z vérifie l'équation z ' =−1,15z1,15 . En déduire l'expression de r t .