Découvrir les complexes sans complexe TS Année scolaire 2010/2011

Découvrir les complexes sans complexe TS

Année scolaire 2010/2011 Un mathématicien italien Scipione del Ferro (1465-1526) propose une formule donnant une solution x₀ de l'équation du troisième degré : x³px=q. (le théorème des valeurs intermédiaires nous assure qu'il existe au moins une solution à une telle équation)

x₀=



3 ^q–

^

^{q22427p33}



^q

^

^q22427p3

En essayant d'utiliser la formule ci-dessous, déterminer une solution de E : x³=36x91^.

E a-t-elle d'autres solutions ?

Recommencer avec une autre équation : E ' : x³=15x4. Que remarquez-vous ?

Rafaël Bombelli (1526-1573) eut l'idée d'utiliser les règles de calcul usuelles en tenant compte du fait que 



–1²=–1 (inutile de vous rappeler que cette règle est habituellement interdite dans ℝ)

•

Prouver que 2



–1³=211



–1 ^{et que} 2−



–1³=2−11



–1

;

• Prouver que 11



–1²=–11



–1²=–121^.

Compte-tenu des remarques précédentes, prouver que E ' admet 4 comme solution.

Léonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse, eut l'idée de poser i=



^–1. Réécrire les égalités obtenues ci-dessus avec la nouvelle notation.

Exercices :

1. Effectuer les calculs suivants et mettre les résultats sous le forme xiy.

•

^{35i1–2i} ; 3–2i–2i _; 3i–3i _; 4–3i–1–i

• – 52 i – 8i 3 – 4 i – 5 i 1 ; 1i 12 i13 i  – 2 – 5 i

2. Même consigne avec les produits suivants :

2–5i4i ; 3–i 3i ; 3i² ; 3i³ ; i^{3 ;} i^{4 ;} 1–i³ ; 1i²1– i² ; 1i³

3. Mettre sous la forme xiy les nombres 1 3–4i ^et

1– i 1i ^. Aspect géométrique :

L'écriture xiy avec x et y réels nous aiguille vers le couple x;y coordonnées d'un point représentant un nombre complexe dans un plan appelé plan complexe repéré par 0 ;u;v.

Placer dans le plan complexe le point A associé au nombre z_A=32i, puis le point B associé au nombre z_B=–14i. Placer le point C associé à z_Az_B et le point D associé à z_Az_B.

Calculer OA , OB et OC.

2010©My Maths Space Page 1/1