Vers les équations différentielles Exercice 1 : ChingAtome

Vers les équations différentielles Exercice 1 : ChingAtome

On considère la fonction f définie sur par la relation :

 

^{2x 3}

f x e ^

1. Montrer que, pour tout nombre réel x, on a la relation :

   

2f x f ' x 0.

2. a. Parmi les expressions suivantes d'une fonction g, laquelle vérifie la relation ^{2g x}

 

^{g x'}

 

^{0 :}

 ^{g x}

 

^{e2x34 ● g x}

 

^e8x12

 ^{g x}

 

^{4e2x3 ● g x}

 

^{e 2x 3}

b. Donner l'expression d'une troisième fonction h vérifiant la relation ^{2h x}

 

^{h x'}

 

^0.

Exercice 2 : ChingAtome

On considère la fonction f définie sur par la relation :

  

¹



^2x

f x  x e

Montrer que la fonction f vérifie la relation :

     

'' 4 ' 4 0

f x  f x  f x  . Exercice 3 : ChingAtome

On considère la fonction f définie sur par la relation :

  

¹



^x

f x   x e

Montrer que la fonction f vérifie pour tout nombre réel x :

     

'' 3 ' 2 ^x

f x  f x  f x e Exercice 4 :

On considère l’équation différentielle :

     

'' 3 ' 4 5 ^x

f x  f x  f x   e^ Soit g la fonction définie sur par :

 

^x

g x xe^

Démontrer que g est une solution particulière de l’équation différentielle ci-dessus.

Exercice 5 :

On considère l’équation différentielle :

       

'' ' 2 6 4 ^x

f x f x  f x   x e^ Soit g la fonction définie sur par :

  

^{2 2}



^x

g x  x  x e^

Démontrer que g est une solution particulière de l’équation différentielle ci-dessus.

Exercice 6 :

On considère l’équation différentielle :

     

²

'' 2 ' 1

2 f x  f x  f x  x  x

Déterminer les constantes réelles a, b et c pour que la fonction définie par ax² bx c soit solution de cette équation différentielle.

CORRIGE – Notre Dame de La Merci - CORRIGE Exercice 1 :

On considère la fonction f définie sur par la relation :

 

^{2x 3}

f x e ^

1. Montrer que, pour tout nombre réel x, on a la relation : ^{2f x}

 

^{f '}

 

^{x 0.}

La dérivée de la fonction f est :

 

^{2 3}

' 2 ^x

f x  e ^ Ainsi :

   

^{2 3 2 3}

2f x  f ' x  2 e ^x 2e ^x 0

2. a. Parmi les expressions suivantes d'une fonction g, laquelle vérifie la relation ^{2g x}

 

^{g x'}

 

^{0 :}

 ^{g x}

 

^{e2x34 ● g x}

 

^e8x12

 ^{g x}

 

^{4e2x3 ● g x}

 

^{e 2x 3}

Les dérivées de ces quatre fonctions sont :

 ^{g x'}

 

^{2e2x3 ● g x'}

 

^8e8x12

 ^{g x'}

 

^{8e2x3 ● g x'}

 

^{ 2e 2x 3}

La relation : ^{2g x}

 

^{g x'}

 

^{0  g x'}

 

^{2g x}

 

n’est vérifiée que pour la fonction :

 

^{4 2x 3}

g x  e ^

b. Donner l'expression d'une troisième fonction h vérifiant la relation ^{2h x}

 

^{h x'}

 

^0.

 

^{6 2x}

h x  e car ^{h x'}

 

^{ 2 6e2x  2 h x}

 

Exercice 2 :

On considère la fonction f définie sur par la relation : ^{f x}

  

^{ x1}



^e2x

Montrer que la fonction f vérifie la relation : ^{f ''}

 

^{x 4 'f}

 

^{x 4f x}

 

^0.

Les dérivées première et seconde de la fonction f sont : On pose : ^{u x}

  

^{ x 1}



^{et v x}

 

^e2x

 

' 1

u x  et ^{v x'}

 

^2e2x

 

²

 

²

 

²

 

²

' 1 ^x 1 2 ^x 1 2 1 ^x 2 3 ^x

f x  e  x  e   x e  x e On pose : ^{u x}

  

^{ 2x3}



^{et v x}

 

^e2x

 

' 2

u x  et ^{v x'}

 

^2e2x

 

²

 

²

 

²

 

²

'' 2 ^x 2 3 2 ^x 2 2 2 3 ^x 4 8 ^x

f x  e  x  e   x e  x e Ainsi :

           

     

 

2 2 2

2 2

'' 4 ' 4 4 8 4 2 3 4 1

4 8 4 2 3 4 1

4 8 8 12 4 4

0

x x x

x x

f x f x f x x e x e x e

x x x e

x x x e

         

        

     

 Exercice 3 :

On considère la fonction f définie sur par la relation : ^{f x}

  

^{  x 1}



^ex

Montrer que la fonction f vérifie pour tout nombre réel x :^{f ''}

 

^{x 3 'f}

 

^{x 2f x}

 

^ex

Les dérivées première et seconde de la fonction f sont : On pose : ^{u x}

  

^{  x 1}



^{et v x}

 

^ex

 

' 1

u x   et ^{v x'}

 

^ex

         

' ^x 1 ^x 1 1 ^x 1 1 ^x 2 ^x

f x     e x e      x e    x e   x e On pose : ^{u x}

  

^{  x 2}



^{et v x}

 

^ex

 

' 1

u x   et ^{v x'}

 

^ex

       

'' ^x 2 ^x 1 2 ^x 3 ^x

f x     e x e      x e   x e Ainsi :

     

'' 3 ' 2 ^x

f x  f x  f x e Exercice 4 :

On considère l’équation différentielle : ^{f ''}

 

^{x 3 'f}

 

^{x 4f x}

 

^{ 5ex}

Soit g la fonction définie sur par : ^{g x}

 

^xex

Démontrer que g est une solution particulière de l’équation différentielle ci-dessus.

On pose : ^{u x}

 

^{x et v x}

 

^ex

 

' 1

u x  et ^{v x'}

 

^{ ex}

     

' ^{x x} 1 ^x

g x e^   x e^  x e^ On pose : ^{u x}

 

^{ 1 x et v x}

 

^ex

 

' 1

u x   et ^{v x'}

 

^{ ex}

      ^{   }

'' ^x 1 ^x 1 1 ^x 2 ^x

g x  e^    x e^     x e^  x e^ Ainsi :

         

   

 

'' 3 ' 4 2 3 1 4

2 3 1 4

2 3 3 4 5

x x x

x x x

g x g x g x x e x e xe

x x x e

x x x e

e

  







        

      

    

  Exercice 5 :

On considère l’équation différentielle : ^{f ''}

 

^{x  f '}

 

^{x 2f x}

  

^{  6x 4}



^ex

Soit g la fonction définie sur par : ^{g x}

 

^



^{x22x e}



^x

Démontrer que g est une solution particulière de l’équation différentielle ci-dessus.

On pose : ^{u x}

 

^x22x et ^{v x}

 

^ex

 

' 2 2

u x  x et ^{v x'}

 

^{ ex}

    

²

   ^{ } 

²

 

²



' 2 2 ^x 2 ^x 2 2 2 ^x 2 ^x

g x  x e^  x  x  e^  x  x  x e^  x e^ On pose : ^{u x}

 

^{ 2 x2 et v x}

 

^ex

 

' 2

u x   x et ^{v x'}

 

^{ ex}

  

²

   

²

 

²



'' 2 ^x 2 ^x 2 2 ^x 2 2 ^x

g x   x e^  x  e^     x x e^  x  x e^ Ainsi :

           

     

 

2 2 2

2 2 2

2 2 2

'' ' 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 4

6 4

x x x

x

x x

g x g x g x x x e x e x x e

x x x x x e

x x x x x e

x e

  







         

 

       

 

       

   Exercice 6 :

On considère l’équation différentielle : ^''

 

^{2 '}

   

^{2 1}

2 f x  f x  f x  x  x

Déterminer les constantes réelles a, b et c pour que la fonction définie par ax² bx c soit solution de cette équation différentielle.

On définit sur une fonction g par : ^{g x}

 

^{ax2bx c}

Ainsi : ^{g x'}

 

^{2ax b}

 

'' 2

g x  a La relation

     

²

'' 2 ' 1

2 g x  g x g x  x  x équivaut à :

 

^{2 2}

2 2 2 1

2 a  ax b ax bx c x  x

2 2

2 4 2 1

2

a ax b ax bx c x x

        

 

2 2

2 2 1

2 1

4

ax b a x a b c x x

        

Par identification des coefficients, on obtient :

1 1 1

2 2 2

4 1 1 4 1 4 1 1 1

2 2 1 2 1

2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 0

2

a a a

b a b a b

a b c

a b c c a b

     

  

                

  

          

             

  

Soit :

 

^{1 2}

g x  2x x Vérification :

 

¹

' 2 1 1

g x  2 x  x

 

'' 1

g x 

       

²

2

2

'' 2 ' 1 2 1 1

2 1 2 2 1

2

1 1

2

g x g x g x x x x

x x x

x x

 

       

    

  