BACCALAURÉAT BLANC
Session2010
MATHÉMATIQUES
Sér ieS
EnseignementObligatoire
Duréedel'épreuve:4heures
Coefient:7
Lesalulatr ieséletroniquesdepohesontautor iséesonfor mémentàlaloienvigueur.
Lesujetestomposéde5exeriesindépendants.
Leandidatdoittraitertouslesexeries.
L aqualitédelarédation,lalar téetlapréisiondesraisonnements
entrerontpourunepar timpor tantedansl'appréiationdesopies.
Avantdeomposer,leandidats'assureraquelesujetompor tebien4pagesnumérotéesde1à4.
Leplanomplexeestrappor téàunrepèreor thonor maldiret
¡
O;
¡
!
u,
¡
!
v
¢
.
OnonsidèrelespointsAetBd'afxesrespetivesiet¡i.
Soitf l'appliationquiàtoutpointMdupland'afxezdistintede¡iassoielepointM 0
d'afxez 0
telleque
z 0
Æ 1Åiz
zÅi .
1. Quelleestl'imageparl'appliationf dupointO?
2. Quelestlepointquiapourimageparl'appliationf lepointCd'afxe1Åi?
3. Montrerquel'équation 1Åiz
zÅi
Æzadmetdeuxsolutionsquel'ondéter minera.
4. Vér ierquez 0
Æ i(z¡i)
zÅi
,endéduireOM 0
Æ AM
BM et:
³
~ u,
¡¡¡!
O M 0
´
Æ
³
¡¡!
MB,
¡¡!
MA
´
Å
¼
2
Å2k¼avek2Z.
5. Montrerquetouslespointsdel'axedesabsissesontleursimagesparl'appliationf situéessurunmêmeerle
(C)quel'onpréisera.
6. SoitMunpointduerledediamètre[AB℄différentdeAetdeB,montrerquesonimageM 0
estsituéesurl'axedes
absisses.
EXERCICE2(3points)
Ononsidèrelessuites(u
n )et(v
n
)déniesparu
0 Æ0;v
0 Æ12;
u
nÅ1 Æ
u
n Åv
n
2
et v
nÅ1 Æ
u
n Å2v
n
3 .
1. Démontrerquelasuite(w
n
)dénieparw
n Æv
n
¡u
n
estunesuitegéométr iqueonvergenteetquetoussester mes
sontpositifs.
2. Montrerquelasuite(u
n
)estroissantepuisquelasuite(v
n
)estdéroissante.
3. Déduiredesdeuxquestionspréédentesquelessuites(u
n )et(v
n
)sontonvergentesetontlamêmelimite.
4. Ononsidèrelasuite(t
n
)déniepart
n Æ2u
n Å3v
n .
Montrerqu'elleestonstante.
5. Déter minezleslimitesdessuites(u
n )et(v
n ).
EXERCICE3(3,5points)
Soitf lafontiondéniesurl'inter valle℄1;Å1[parf(x)Æ x
lnx
1. a) Déter minerleslimitesdelafontionf en1etenÅ1.
b) Étudierlesvar iationsdelafontionf.
2. Soit(u
n
)lasuitedénieparu
0 Æ5etu
nÅ1 Æf(u
n
)pourtoutentiernatureln.
a) OnatraélaourbereprésentativeC delafontion f surlagure1pagesuivantequiserarendueavela
opie.Constr uireladroited'équationyÆxetlespointsM
1 etM
2
delaourbeC d'absissesrespetivesu
1 et
u
2
.Proposeruneonjeturesurleompor tementdelasuite(u
n ).
n
) Démontrerquelasuite(u
n
)onvergeversunréel`del'inter valle[e;Å1[.
d) Déter minerlavaleurde`.
Àompléteretàrendreavelaopie
1 2 3 4 5
2 4
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
O
C
FIGURE1question2.a)
EXERCICE4(4,5points)
Par tieA
Soitf lafontiondéniesurRparf(x)Æ 3e
x
4
2Åe x
4 .
a. Démontrerquef(x)Æ 3
1Å2e
¡ x
4 .
b. Étudierleslimitesdelafontionf enÅ1eten¡1.
. Étudierlesvar iationsdelafontionf.
Par tieB
1. Onaétudiéenlaboratoirel'évolutiond'unepopulationdepetitsrongeurs.Latailledelapopulation,autemps
t,estnotéeg(t).Ondénitainsiunefontiong del'inter valle[0; Å1[dansR.Lavar iableréellet désignele
temps,expr iméenannées.L'unitéhoisiepourg(t)estlaentained'individus.Lemodèleutilisépourdér ire
etteévolutiononsisteàprendrepourgunesolution,surl'inter valle[0;Å1[,del'équationdifférentielle
(E
1 )y
0
Æ y
4 .
1
b) Déter minerl'expressionde g(t)lorsque,àladatetÆ0,lapopulationomprend100rongeurs,'est-à-dire
g(0)Æ1.
) Aprèsombiend'annéeslapopulationdépassera-t-elle300rongeurspourlapremièrefois?
2. Enréalité,dansunseteurobser véd'unerégiondonnée,unprédateurempêheunetelleroissaneentuantune
er tainequantitéderongeurs.Onnoteu(t)lenombredesrongeursvivants(expr iméenentaines)autempst
(expr iméenannées)dansetterégion,etonadmetquelafontionu,ainsidénie,satisfaitauxonditions:
(E
2 )
8
<
: u
0
(t) Æ u(t)
4
¡ [u(t)℄
2
12
pourtoutnombreréeltpositifounul,
u(0) Æ 1.
oùu 0
désignelafontiondér ivéedelafontionu.
a) Onsupposeque,pourtoutréelpositift,onau(t)È0.Ononsidère,surl'inter valle[0; Å1[,lafontionh
dénieparhÆ 1
u
.Démontrerquelafontionu satisfaitauxonditions(E
2
)sietseulementsilafontionh
satisfaitauxonditions
(E
3 )
8
<
: h
0
(t) Æ ¡ 1
4 h(t)Å
1
12
pourtoutnombreréeltpositifounul,
h(0) Æ 1.
oùh 0
désignelafontiondér ivéedelafontionh.
b) Donnerlessolutionsdel'équationdifférentielley 0
Æ¡ 1
4 yÅ
1
12
etendéduirel'expressiondelafontionh,puis
elledelafontionu.
) Dansemodèle,ommentseompor telatailledelapopulationétudiéelorsquettendversÅ1?
EXERCICE5(5points)
1. Restitutionorganiséedeonnaissanes
PrérequisOnadmettralesrésultatssuivants:
PourtoutréelaÈ0ettoutréelbÈ0,ln (ab)Æln (a)Åln(b) etln(1)Æ0
Expr imezlesnombressuivantsenfontiondeln (a)ouln (b).Vousjustierezvosréponses.
a) ln
¡
1
b
¢
; b) ln
¡
a
b
¢
; ) ln(a
n
)aven2N.
2. Pourhaquequestion,répondreparVRAIouFAUX.LesréponsesdevrontêtreJUSTIFIÉES.
a) Soitz2C.
i.
jzj
Æ j1
¡z j
()zÆ 1
2
; ii. ¡
2
3 Å
4
3
iestlasolutiondel'équation2zÅizÅ2iÆ0.
b) Soientf etglesfontionsdéniessurRpar:
f(x)Æ e
x
Åe
¡ x
2
et g(x)Æ e
x
¡e
¡ x
2
i. Pourtoutréelx,f(x)Åg(x)È0;
ii. Pourtoutréelx,
¡
f(x)
¢
2
¡
¡
g(x)
¢
2
Æ1;
iii. Pourtoutréelx,2f(x)¢g(x)Æg(2x).
3. a) Déter minezunepr imitivesurRdelafontionf dénieparf(x)Æ 2e
3 x
¡
e 3 x
Å1
¢
2
;
b) i. Soitf lafontiondéniesurRparf(x)Æ(2xÅ1)e
¡ x
.Déter minezlesréelsaetbpourquelafontionF
dénieparF(x)Æ(axÅb)e
¡ x
soitunepr imitivedef surR.
ii. Déter minezlapr imitiveGdef surRtellequeG(0)Ƽ.
