DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES : 1S
Calculatrice autorisée - Durée 2h
Le sujet complété devra être rendu avec la copie
NOM/PRENOM : Classe :
EXERCICE 1 ( …. / 6 points)
On étudie une population de bactéries cultivées dans un milieu liquide, sur une période de deux heures.
L'évolution du nombre de bactéries en fonction du temps est modélisée sur l'intervalle [0 ; 2] par une fonction 𝑓 qui, au temps 𝑥 exprimé en heures, associe le nombre de bactéries exprimé en millions.
On a représenté la courbe représentative 𝐶𝑓 de 𝑓 et les tangentes 𝑇𝐴 et 𝑇𝐸 à 𝐶𝑓 aux points 𝐴 et 𝐸 d'abscisses respectives 1,5 et 2. La tangente 𝑇𝐴 passe par les points 𝐵(0 ; 2) et 𝐺(2 ; 22,25).
1) a) Déterminer l'équation réduite de la droite (𝐵𝐺). En déduire 𝑓′(1,5).
b) Déterminer 𝑓′(2) graphiquement.
2) On admet que 𝑓 𝑥 = −4,5𝑥3+13,5𝑥2 + 2.
a) Justifier que 𝑓 est dérivable sur [0 ; 2].
b) Calculer 𝑓′(𝑥).
c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
3) Déterminer, sous réserve d'existence, les abscisses (différentes de 𝑥𝐴 ) des points de la courbe de 𝐶𝑓 ayant une tangente parallèle à 𝑇𝐴. Justifier rigoureusement en écrivant tous les calculs.
4) Au cours d’une deuxième expérience, on introduit à l’instant x = 0 un deuxième type de bactéries dont l’évolution de la population est modélisée par la fonction 𝑔 telle que 𝑔 𝑥 = 9𝑥 + 2.
On appelle 𝐶𝑔 la courbe représentative de 𝑔.
a) Tracer 𝐶𝑔 dans le repère ci-dessus.
Comparer graphiquement les deux populations de bactéries sur [0 ; 2].
b) Vérifier que : 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = − 4,5𝑥 𝑥2 − 3𝑥 + 2 .
c) Etudier alors la position relative des courbes 𝐶𝑓 et 𝐶𝑔sur [0 ; 2].
d) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Note :
….. / 24 ….. / 20
EXERCICE 2 ( …. / 6 points)
La Société Telcom propose au 1er janvier des contrats de téléphonie mobile d’un an au bout duquel les clients sont libres à nouveau de prolonger le contrat ou d’y mettre fin.
On estime que chaque année 40 % de la clientèle quittent l’entreprise et que 200 000 nouveaux clients signent un contrat.
En 2010, l’entreprise avait 900 000 clients. On appelle un le nombre de clients, en milliers, de la société l’année 2010 + n. Le but de l’exercice est d’étudier cette suite (un).
1) Justifier rapidement que pour tout entier naturel n, un+1 = 0,6 × un + 200 avec u0 = 900.
La question 2 est indépendante des questions suivantes.
2) a) Exécuter pas à pas l'algorithme ci-dessous puis recopier et compléter le tableau sur votre copie.
On supposera la variable i initialisée à 0 au début de l'algorithme.
i 0
u 900
b) Quel est le rôle de cet algorithme ?
Donner la (ou les) valeur(s) affichée(s) après exécution du programme par le logiciel.
c) Modifier l’algorithme pour qu’il affiche seulement u20 .
Vous écrirez sur votre copie le programme entre DÉBUT ALGORITHME et FIN ALGORITHME.
Que représente le terme u20 dans le contexte de l’exercice ?
3) On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n, par vn = un − 500.
a) Exprimer vn+1 en fonction de vn .
b) Quelle est la nature de la suite (vn) ? Préciser ses éléments caractéristiques.
c) Exprimer vn , puis un , en fonction de n.
4) Calculer la somme des 20 premiers termes de cette suite (vn) et donner le résultat arrondi à un client près.
Interpréter ce résultat.
5) En utilisant la méthode de votre choix, déterminer la première année à partir de laquelle le nombre de clients de TELCOM sera inférieur ou égal à 502 000. Justifier succinctement.
EXERCICE 3 ( …. / 6 points)
1) a) Dans un repère orthonormé 𝑂; 𝑖 , 𝑗 , placer les points 𝐴(−2 ; 4), 𝐵(2 ; 2), 𝐶(−5 ; 0) et le point 𝐷 tel que 𝐶𝐷 = 2𝐴𝐵 .
Vous compléterez la figure au fur et à mesure des questions posées.
b) Déterminer par le calcul les coordonnées du point 𝐷.
2) Soit 𝑑 la droite d’équation 6𝑥 + 𝑦 − 14 = 0.
a) Vérifier, par le calcul, que les points 𝐵 et 𝐷 appartiennent à 𝑑.
b) Déterminer une équation cartésienne de la droite (𝐴𝐶).
c) Prouver que les droites (𝐵𝐷) et (𝐴𝐶) sont sécantes.
d) Calculer les coordonnées de leur point d’intersection 𝐸.
3) On considère le cercle
C
de centre 𝐹(2 ; 1) et de rayon 5. On ne demande pas de tracer le cercle.a) Déterminer une équation du cercle
C
.b) Déterminer les coordonnées des éventuels points d’intersection du cercle
C
et de la droite (𝐴𝐶).c) Que peut-on en déduire ?
EXERCICE 4 ( …. / 4 points) : Vrai / Faux
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Toute réponse non justifiée ne rapportera pas de point.
1) f étant la fonction définie sur IR – {2} par f (x) = 3x² – x + 1
8 – 4x , alors f est dérivable sur IR – {2} et f '(x) = – 36x² + 56x – 12
(8 – 4x)² .
2) Il existe une infinité de réels dont le cosinus est nul.
3) Pour tout réel 𝑥, cos 𝑥 ≠ sin 𝑥.
4) Quels que soient les réels x et y, |x + y | = | x | + | y |.
EXERCICE 5 : ( …. / 2 points) Dans cet exercice, toute trace de
recherche même incomplète, ou d'initiative même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On a représenté ci-contre un château de cartes à 4 niveaux.
Quelle est la taille du plus grand château que l’on peut construire avec 500 cartes ?
