D.M. DE MATHEMATIQUES (1)NOM :PRENOM :CLASSE : TS 4

D.M. DE MATHEMATIQUES (1)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 4

Exercice 1 :Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct O,u ,v (unité graphique : 3 cm).

On désigne par A le point d'affixe i. À tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' défini par : z '= z²

i−z

1. Déterminer les points M confondus avec leur image M'.

Étant donné un complexe z distinct de i, on pose : z=xiy et z '=x 'iy ' avec x, y, x', y' réels.

Démontrer que : x'=−xx²y²−2y x²1−y² .

2. En déduire l'ensemble E des points M dont l'image M' est située sur l'axe des imaginaires purs. Dessiner l'ensemble E.

Exercices 2 :

Initiation à l'équation du troisième degré.

L'histoire de la découverte de la méthode de résolution des équations cubique ( du troisième degré ) de la forme a x³b x²c xd=0 est assez floue et entourée par bien des éléments qui relèvent plus de la légende que de l'histoire.

Il semble que Scipione del Ferro (1465-1526) soit le premier à résoudre l'équation x³p xq=0 mais il n'a jamais publié sa solution. Il aurait néanmoins révélé à son élève Antonio Maria Fior sa méthode.

On dit de Nicolo Tartaglia (v. 1500-1557) qu'il était sans scrupule et s'appropriait facilement les découvertes d'autrui. Toujours est-il qu'en 1541, de façon indépendante ou en ayant eu vent des idées de Scipione, il dispose d'une méthode pour résoudre les équations cubiques.

Fior mis au courant croit à une fumisterie et lui lance un défi (chose courante à l'époque) : tandis que Tartaglia a pu résoudre les trente équations de Fior, ce dernier ne put en résoudre une seule, ne connaissant que le cas x³p x=q p ,q0 .

Cardan informé du triomphe de Tartaglia l'invite et lui promet de lui présenter un mécène. En 1539, Tartaglia lui dévoile sa méthode et Cardan se l'approprie rapidement en la publiant dans son Ars Magna. Tartaglia proteste mais Ludovico Ferrari (1522-1565), élève et secrétaire de Cardan, accuse ce dernier d'avoir plagié del Ferro: s'en suit une âpre dispute dont il paraît que Tartaglia s'en est sortit de peu.

Enfin, Rafael Bombelli (v. 1526-1573) publie en 1572 son Algèbre qui, en intégrant la possibilité de nombres imaginaires, ouvre la voie à une des plus fertiles idées en mathématiques.

Source: Histoire des mathématiques, tome 1, Colette.

D'abord, nous appelons équation du troisième degré toute équation de la forme a x³b x²c xd=0 1 où a , b , c , d∈ℝ,a≠0

1. Préliminaire :

a . Donner les variations et le tableau de variation de la fonction cube ( f :xx³) (On indiquera les limites en l'infini)

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b . On constate que pour tout y∈ℝ, il existe un et un seul antécédent x de ℝ par f.

C'est à dire que pour tout y de ℝ, il existe un unique réel x tel que : y=x³.

On dit que la fonction cube est une bijection de ℝ sur ℝ : tout réel admet une et une seule image par f et tout réel admet un et un seul antécédent par f dans ℝ On nomme la fonction réciproque (celle qui fournit l'antécédent) racine cubique et on la note



^{3 .}

Donner la racine cubique des nombres suivants : 27, 8, -64.

2. Forme simplifiée de toute équation du troisième degré : On pose x=Xk.

Déterminer k pour que cette équation se mette toujours sous la forme simplifiée : X³p Xq=0 2 avec p=−b²3a c

3a² et q= b

27a



^2ba22−9ca



^{da .}

Nous sommes alors ramené à résoudre une équation du type X³p Xq=0 2

3. Méthode de cardan :

Dans l'équation (2), on pose X=uv.

a . Démontrer que 2⇔u³v³uv3uvpq=0 . b . L'astuce est alors d'annuler le coefficient de uv. On se retrouve alors à résoudre le système suivant :

{

^{u3uv=−v3=−q3p} ce qui équivaut à

{

^{uu33vv3=−3=−q27p3 (3).}

En posant U=u³ et V=v³ résoudre le système (3).

En déduire u et v puis X et enfin x.

4. Application :

a . Appliquer la méthode de cardan à l’équation x³=6x9

b . Vérifier que 4 est solution de x³=15x4 . Que donne la méthode de Cardan ? c . Face à cette difficulté le méthode de Cardan semble inopérante…Le mathématicien Bombelli eut l’audace ( le premier ) de s’affranchir du calcul classique en acceptant d’écrire



−121 !

i . Calculer en utilisant les règles habituelles du calcul

 

^32

^

⁻¹²¹



^{3 et 2}



^−13

Que peut-on en conclure ?

ii . Quelle est la solution donnée par la méthode de Cardan ? En donner une expression plus simple.

d . L’idée d’introduire des « racines de nombres négatifs » semble posséder un intérêt calculatoire, et ces nouveaux nombres appelés par Descartes « imaginaires » semblent avoir une existence légitime. Peu à peu des nombres écrits sous la forme ab



−1 prirent place parmi les autres. Toutefois l’écriture



−1 posait un problème, car l’admettre, c’était admettre que l’on avait « 1 = −1 » ( Justifier ! ) . Une autre écriture fut alors proposée, un nombre complexe est un nombre de la forme a + bi , où a et b sont deux réels et i un nombre vérifiant i²=−1 (La notation i est du à Leonhard Euler en 1777)

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