D.S. DE MATHEMATIQUES (7)NOM :PRENOM :CLASSE : TS 4

D.S. DE MATHEMATIQUES (7)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 4

Pas de document, ni de calculatrice ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00 Exercice I :

1. Calculer les intégrales suivantes : a . I=

∫

0 1

2x³−1

3 x²dx b . J=

∫

0

1 x1

x²2x5dx. 2. A l'aide d'une intégration par partie, calculer

K=

∫

0 1

x e^−xdx

Exercice II : On considère l'équation notée ( E ): lnx=−x.

Le but de l'exercice est de prouver que l'équation (E) admet une unique solution notée  appartenant à l'intervalle ]0;∞[ et d'utiliser une suite convergente pour une approximation..

Partie A : existence et unicité de la solution On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0;∞[ par f x=xlnx.

1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0;∞[.

2. Démontrer que l'équation f x=0 admet une unique solution notée  appartenant à l'intervalle ]0;∞[.

3. Démontrer que 1

21 .

Partie B : encadrement de la solution .

On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0;∞[ par gx=4x−lnx 5 1. Étude de quelques propriétés de la fonction g.

a . Étudier le sens de variations de la fonction g sur l'intervalle ]0;∞[

b . En déduire que pour tout nombre réel x appartenant à

[

]

c . Démontrer qu'un nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0;∞[ est solution de l'équation (E) si et seulement si gx=x.

2. On considère la suite u_n définie par u₀=1

2 et pour tout entier naturel n, par u_n1=gu_n. a . En utilisant le sens de variation de la fonction g, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 1

2u_nu_n11 .

b . En déduire que la suite u_n converge vers . 3. Recherche d'une valeur approchée de .

A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u₁₀, arrondie à la sixième décimale.

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Exercice III : Soit f la fonction définie sur]0; +∞[ par f x=2 lnx x²x . 1. a. Montrer que pour tout x1 , 2xx²x2x².

En déduire que pour tout x1 , lnx

x² f xlnx x . 2. a . Calculer I=

∫

2 4 lnx

x dx et J=

∫

2 4 lnx

x² dx

(on pourra utiliser une intégration par parties pour cette dernière).

b. En déduire un encadrement de K=

∫

2 4

f xdx.

3. La figure ci-dessous représente la courbe représentative de f

( unités graphiques : en abscisse 1cm pour 1 unité, en ordonnées 4cm pour 1 unité ).

On considère l’ensemble des points M(x ; y) tels que:

{

À l’aide de l’encadrement trouvé au 2b, donner un encadrement de A en cm².

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