D.S. DE MATHEMATIQUES (1)NOM :PRENOM :CLASSE : TS 4

D.S. DE MATHEMATIQUES (1)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 4

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00

I – Limites :

1. Déterminer les limites suivantes a . lim

x∞

3x²−5x1

x²−2x2 . b . ^lim

x∞



2. Soit f la fonction définie sur ℝ par f x=2x²−7x8

x−1 .

a . Démontrer que la droite d'équation y=2x−5 est asymptote à la courbe représentative de f en l'infini.

b . Étudier la position de la courbe représentative de f par rapport à son asymptote en l'infini.

II – Complexes ( Formes algébriques )

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct O ,u ,v (unité graphique : 3 cm).

On désigne par A le point d'affixe 1 .

À tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' défini par : z '=3z−5

z−1 .

1. Déterminer l'affixe du point B ' 'image du point Bi; déterminer l'affixe du point C dont l'image C ' a pour affixe i.

2. Déterminer le(s) affixe(s) du (des) point(s) M confondu (s) avec leur image M'.

3. Étant donné un complexe z distinct de 1, on pose : z=xiy et z '=x 'iy ' avec x, y, x', y' réels.

a . Déterminer x ' et y ' en fonction de x et de y.

b . En déduire l'ensemble E des points M dont l'image M' est située sur l'axe des imaginaires purs. Dessiner l'ensemble E.

c . En déduire l'ensemble F des points M dont l'image M' est située sur l'axe des réels. Dessiner l'ensemble F.

III - Complexes ( Équations )

Pour tout nombre complexe Z on pose : PZ=Z⁴−4 1. Factoriser PZ

2. Résoudre l'équation Z²2=0 .

3. En déduire les solutions, dans l'ensemble des complexes, de l'équation PZ=0 d'inconnue Z.

4. Déduire de la question précédente les solutions de l'équation d'inconnue z :





IV – (Suites arithmético-géométrique)

On considère la suite ^un_n0 définie par u₀=1 et la relation de récurrenceu_n1=1

3u_n2. 1. Représenter graphiquement les trois premiers termes de la suite.

2. Calculer u₁ et u₂.

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3. On considère la suite v_n_n0 définie par v_n=u_n−3 .

a . Démontrer que v_n_n0 est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v₀.

b . En déduire l'expression de v_n en fonction de n, puis la limite de v_n en ∞. c . Calculer la somme

∑

k=0 n

v_k.

4. a . Déduire de la question 3. l'expression de u_n en fonction de n, puis la limite de u_n en ∞. b . Calculer la somme

∑

k=0 n

u_k.

V - (Récurrence)

On considère la suite S_n_n1 définie par S_n=2²4²6²⋯2n².

Démontrer par récurrence que , pour tout n1 , on a S_n=2nn12n1

3 .

Bon courage.

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