E6906 – Zig joue la Pythie [**** à la main]
Zig annonce à Puce : « J’ai classé selon mon bon vouloir les entiers naturels allant de 1 à un million en deux catégories : les bons et les mauvais ».
Puce : « Comment puis-je savoir si un entier n quelconque est bon ou mauvais »
Zig (à la manière de la Pythie de Delphes) : « Je ne répondrai jamais directement sur la nature de ce nombre n. Pour tout entier k que tu choisis, distinct ou non de n, la seule question que tu pourras me poser sera de la forme : quelle est la somme des bons entiers diviseurs de l’entier k ?
En réponse, je te donnerai cette somme.
Supposons, juste à titre d’exemple, que j’ai décidé que 1 et 6 sont bons et que 2 et 3 sont mauvais et supposons que tu choisisses k = 6, à la question : quelle est la somme des bons entiers diviseurs de 6, ma réponse serait 7.
En posant autant de questions que tu le souhaites avec des entiers k de ton choix, tu dois parvenir à identifier la nature de l’entier n que tu as initialement choisi. »
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n avec lesquels une seule question permet à Puce de savoir s’ils sont bons ou mauvais.
Q₂ Puce peut-il savoir en une seule question si l’entier 2019 est bon ou mauvais ? si l’entier 2020 est bon ou mauvais ?
Q₃ Trouver un entier n > 2020 pour lequel Puce doit poser deux questions afin de connaître sa nature.
Q4 Trouver un entier n, si possible le plus petit, pour lequel Puce doit poser trois questions afin de connaître sa nature.
Q5 Démontrer que pour tout n inférieur ou égal à un million, Puce peut connaître sa nature en posant quatre questions au plus.
Solution proposée par Daniel Collignon
Q1
Pour un nombre premier p, à la question "quelle est la somme des bons entiers diviseurs de l'entier p ?", Zig répondra 1 (p est mauvais) ; p ou p+1 (p est bon).
Comme il y a une infinité de nombres premiers, cela répond à la question.
Q2
2019=3*673
A la question "quelle est la somme des bons entiers diviseurs de l'entier 2019 ?", 2019 sera bon si Zig répond une somme >=2019. En effet le résultat est acquis grâce à l'inégalité 1+3+673 < 3*673.
Pour 2020=2²*5*101, si cela était possible en 1 question, alors il serait nécessaire d'avoir un multiple de 2020 dans la question. Mais si Zig répond 2020, alors nous ne pourrons pas connaître la nature de 2020, en raison de l'égalité 2020 = 101 + 404 +505 + 1010 (20*101 = 101 + 4*101 + 5*101 + 10*101).
Q3
2022 = 2*3*337 nécessite 2 questions.
Comme pour 2020 si cela était possible en 1 question, alors il serait nécessaire d'avoir un multiple de 2022 dans la question. Mais si la réponse est comprise entre 2022 et 2034, alors nous ne pourrons pas connaître la nature de 2022, en raison de l'égalité 2022 = 337+674+1011 (6*337 = 337+2*337+3*337).
En deuxième question, cherchons à déterminer la nature de 337 (premier donc cf Q1) :
- si 337 est bon, alors nous en déduisons que la réponse à la première question correspond au membre de droite (2022 mauvais).
- sinon, comme 1011+674+6+3+2+1 < 2022, la réponse à la première question correspond au membre de gauche (2022 bon).
Q4
24 = 2^3*3
Il y a une plus grande ambiguïté si la réponse vaut par exemple 24 = 12+8+4 = 12+6+4+2 = 12+6+3+2+1 = 8+6+4+3+2+1
Même si avec une deuxième question, on parvenait à déterminer la nature de 12, 8, 6, 4, 3, 2 ou 1, cela resterait insuffisant.
Remarque : lien avec les nombres surabondants ?
