Puce trace à main-levée dans un triangle acutangle ABC les projections P,Q et R de l’orthocentre H sur les trois médianes AI,BJ et CK puis il trace les cercles circonscrits aux triangles ABP,BCQ et CAR. Zig se moque de lui car sa construction est approximative et les trois cercles ne passent pas par un même point. Justifier le brocard de Zig.
Soit S la symétrie par rapport au point I. Les cercles circonscrits à BCP, CAQ, ABR sont concourants en H, car P, Q, R appartiennent respectivement aux cercles circonscrits à BCH, CAH et ABH : en effet, si (O) est le cercle circonscrit au triangle ABC, de centre O : on a l’égalité vectorielle AH=2OI , AO et HI se coupent au point D transformé de H par S, qui est diamétralement opposé à A sur (O), puisque AO=OD et HI=ID. D se projette sur la médiane AI en un point du cercle (O) ; S transforme (O) en le cercle circonscrit à BHC, donc la projection P de H sur AI est située sur ce cercle, et HPB=HCB.
On a l’égalité angulaire APB=APH+HPB=APH+HCB=π/2+π/2-B=π-B (en notant A, B, C les mesures des angles du triangle ABC) ; de même BQC=π-C, CRA=π-A, et comme A+B+C=π, APB+BQC+CRA=2π. Les cercles circonscrits à ABP, BCQ et CAR sont donc concourants.
De fait, les cercles circonscrits aux triangles ABP, BCQ, CAR sont respectivement tangents à BC en B, CA en C et AB en A : ils sont donc concourants au point de Brocard, d’où le jeu de mot du titre...
