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Devoir n˚ 2
Durée : 1 heure. Calculatrices autorisées
I)
Soitu, v et wtrois fonctions définies sur l’intervalle]0; +∞[par u(x) = 3x−2,v(x) = 1
x etw(x) =√ x.
On considère la fonction composéef définie par :f =w◦v◦u 1. Déterminer l’intervalle sur lequelf est définie et déterminerf(x).
Pour que p
v(u(x)) soit défini il faut et il suffit que v(u(x)) soit défini et que v(u(x))>0.
Pour que 1
u(x) soit défini il faut et il suffit queu(x)soit défini et queu(x)6= 0.
u(x)est défini pour toutxréel (polynôme).
Donc les conditions de définition sont :3x−26= 0et 1
3x−2 >0, ce qui revient à : x6= 2
3 etx> 2
3, ce qui équivaut finalement à x > 2 3 . Donc le domaine de définition est
2 3; +∞
2. Pourx > 2
3, on a 1
3x−2 >0et3x−26= 0, donc d’après les règles sur les opérations et la composition des fonctions usuelles,f est dérivable sur son domaine.
f0(x) =· · ·=− 3 2√
3x−2(3x−2) (on utilise les formules des dérivées de 1 U et
√U)
II)
Soitf(x) = x2
3−x définie pourx6= 3
Quelle est la plus petite valeur prise parf(x)lorsquexvarie de 4 à 8 ? Et la plus grande ? (justifier)
III)
On admettra que lim
x→−∞ex= 0, lim
x→+∞ex= +∞, lim
x→+∞
ex
x = +∞.
Soitf la fonction définie surRparf(x) = 2xe−x/2
Déterminer le tableau de variations complet de la fonctionf, avec les limites.Justifier les résultats
IV)
Soitula fonction définie surRpar :u(x) = (2−x)ex−1.
On admettra que uest strictement croissante sur]− ∞; 1]et strictement décroissante sur[1; +∞[et qu’elle s’annule seulement en deux pointsαetβ, avecα <1< β.
On admettra queex> xpour toutxréel.
Déterminer le sens de variation de la fonctionf définie surRparf(x) = ex−1 ex−x
