Durée : 1 heure. Calculatrices autorisées

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Devoir n˚5

Durée : 1 heure. Calculatrices autorisées

I) 6 points

1.

n 2 3 4 5 un

3 2

4 3

5 4

6 5 On vérifie queu5=6

5 = 1,2 2. On conjecture queun=n+ 1

n pourn>1 3. Par récurrence :

notation : P_n : «u_n=n+ 1 n » initialisation : P₁s’écrit «u₁= 1 + 1

1 », ce qui est vrai d’après l’énoncé (u₁= 2).

hérédité : Soitntel queu_n= n+ 1

n , a-t-on, pour cen,u_n+1= n+ 2 n+ 1? un+1= 2un−1

1 + un

n+ 1

d’après l’énoncé.

On remplaceun en utilisant l’hypothèse de récurrence : un+1=

2n+ 1 n −1 1 +

n+ 1 n n+ 1

= 2n+ 1

n −1 1 + 1

n

= 2(n+ 1)−n

n+ 1 =n+ 2 n+ 1

On sait bien quel résultat il faut trouver, alors montrez que vous avez vraiment fait le calcul.

conclusion : d’après le principe de récurrence, un=n+ 1

n pourn>1

II) 5 points

1. Démontrons par récurrence que, pour toutnentier naturel,un >2 PosonsPn : «un>2»

initialisation : P0 : «u0>2». C’est vrai caru0= 2 hérédité : Soitntel que un >2. A-t-onun+1>2?

un+1=u³_n+un−2 d’après l’énoncé.

Puisqueu_n>2 (hypothèse de récurrence), on au³_n >2³ car la fonction cube est croissante sur[0; +∞[.

Doncun+1>8 + 2−2, soit un >8, et donc à plus forte raisonun+1 >2.

DoncPn⇒Pn+1

On aurait pu utiliser le fait que f est croissante sur R : si u_n > 2, alors f(u_n)>f(2), soit u_n+1>8

conclusion : D’après le principe de récurrence,un>2 pour toutn.

2. un+1−un=u³_n−2. Orun>2, doncu³_n>8, doncun+1−un>2>0, doncuest strictement croissante.

III) 4 points

1. v_n+1=u_n+1+ 1 = 1 2u_n+1

2 = 1

2(u_n+ 1) = 1 2v_n Donc v est une suite géométrique de raison 1

2 2. Puisquev est une suite géométrique,v_n=v₀

1

2 n

Orv0=u0+ 1 =−1, doncvn =−

1

2 ⁿ

Donc un =vn−1 =−1−

1

2 n

.

La raison de v est dans ] −1; 1[, donc la limite de v est 0 et par suite la limite deuest−1

IV) 5 points

1. vn=an+b, doncvest une suite arithmétique de raisona, avecv0=b.

Devoir n˚5 page 2 de 2 Donc d’après la somme des termes d’une suite arithmétique,

v0+v1+· · ·+vn−1=nv₀+v_n−1

2 =n(b+ (n−1)a+b) 2

Mais d’autre part

v0+v1+· · ·+vn−1=u1−u0+u2−u1+· · ·+un−un−1=un−u0

car les termes s’éliminent deux à deux sauf les termes extrêmes.

2. Donc en identifiant les deux expressions de la somme : un=u0+n(b+ (n−1)a+b)

2 = u0+n(n−1)a 2 +nb Remarque : u_n est un trinôme du second degré : a

2n²+ b−a

2

n+u₀