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Devoir n˚7
Durée : une heure. Calculatrices autorisées
I)
Soitf la fonction définie sur]0; +∞[− {1}parf(x) =xx−11
1. Déterminer les limites def aux bornes de son ensemble de définition (bien justifier en citant des théorèmes précis du cours)
2. Soitg la fonction définie sur]0; +∞[parg(x) =x−1−xln(x) Etudier les variations de g.
3. Etudier les variations de f
II)
Soita, bet cdes réels strictement positifs. Comparer a+b+c 3 et √3
abc
On admettra la propriété suivante : tout triangle formé avec 3 points de la courbe de la fonctionln se trouve entièrement en-dessous de cette courbe (à part les 3 points).
Appliquer cette propriété au centre de gravité d’un tel triangle.
III)
Etudier les variations de la fonctionf définie sur]0; +∞[parf(x) = ln(x) x . Prouver quenn1 6313 pour toutnentier naturel non n nul.
IV)
On définit sur l’intervalle]0; +∞[la fonctionf :x7→x−13ln(x) 1. Calculer les limites def en 0 et en+∞
2. Etudier les ens de variation de f
3. Soit(C)la courbe de f et T la tangente à(C)au point d’abscisse 1.
Etudier les positions relatives de(C)et de (T)sur]0; 2[.
On admettra quef0 est décroissante sur]0; 2[.
