Devoir n˚3 page 1 de 1
Devoir n˚3
Durée : une heure. Calculatrices autorisées
I) 4 points
Soit f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z du plan, associe le point M0 d’affixe z0 = 1
√2(1 +i) z−eiπ/4
et soit A, B et C trois points du plan, d’affixes respectiveseiπ/4,e−iπ/4 et2eiπ/4
1. Déterminer la nature def et donner ses éléments caractéristiques 2. Déterminer l’image de la médiatrice du segment [BC]parf
II) 4 points
SoitAet B les points d’affixes−1
2iet1 +i.
On considère l’applicationf du plan qui à un point M distinct deB d’affixezassocie le pointM0 d’affixez0= 2iz−1
2i−(1 +i)z
1. Exprimer |2iz−1|et|2i−(1 +i)z|en fonction deAM et BM
2. a) Déterminer géométriquement l’ensemble√ Cdes pointsM du plan tels que|z0|= 2
b) Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble des points M du plan tels que −→u ,−−−→
OM0
= π 4
III) 6 points
1. SoitA, B etC les points d’affixes respectivesa= 4;b= 1 +i√
3; etc= 1−i√ 3 Montrer que le triangleABC est équilatéral.
2. SoitK le point d’affixek=−√ 3 +i
On appelle F l’image deK par la rotation de centreO et d’angle π
3 et Gl’image deK par la translation de vecteur−−→
OB.
a) Quelles sont les affixes respectives deF et deG?
b) Montrer que les droites(OC)et(OF)sont perpendiculaires.
3. Soit H tel que AGH soit équilatéral direct. Quelle est la nature du quadrilatère COF H?
IV) 6 points
On considère les pointsA, BetCd’affixes respectivesa= 2−2i,b= 2 + 2ietc=−2√ 2 1. Conjecturer, puis déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle
ABC. Donner alors une équation paramétrique de ce cercle.
2. a) En utilisant 1., déterminer une mesure de l’angle−→
CA,−−→ CB
. En déduire une mesure de l’angle−→
AC,−−→ AB
.
b) Calculer b−a
c−a, et déduire de ce qui précède les valeurs exactes decos
3π
8
etsin
3π
8
