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Devoir n˚5
Durée : une heure. Calculatrices autorisées
I) 6 points
Soitf la fonction définie surRparf(x) = (x−3)ex+ 1.
1. Etudier le sens de variation et les limites def
2. Déterminer le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 et donner une valeur approchée à10−2près de la plus petite d’entre elles.
II) 6 points
On admet que la quantité de principe actif d’un médicament dans le sang d’un patient est une fonction du temps t (exprimé en minutes) qui vérifie l’équation différentielle (E):4y0+y= 0,002t+ 2,992
On admettra que la fonction g définie parg(t) = 3−0,002t est une solution de cette équation.
1. Démontrer l’équivalence suivante :
hest solution de l’équation(E)⇔(h−g)est solution de4y0+y= 0 2. En déduire la solutionqde l’équation (E)qui vérifie de plusy(0) = 0.
3. Au bout de combien de temps qest-elle maximale (à partir de l’instant 0) ?
III) 4 points
Soitz=
√6−√ 2
2 +i
√6 +√ 2 2
Calculerz2 et donner sa forme exponentielle.
En déduire la forme exponentielle dez.
IV) 4 points
SoitAle point d’affixe 2, B le point d’affixe√
3 +ietC le milieu de[AB].
Démontrer que le triangleAOB est isocèle et en déduire l’argument dezC. En déduire la valeur exacte (formule) decosπ
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