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Devoir n˚1
Durée : une heure. calculatrices autorisées
I) (4 points)
Soitf la fonction définie sur]0; +∞[parf(x) = 1
√x
1. En appliquant uniquement la définition de la dérivabilité, déterminer le nombre dérivé def en un réelx0strictement positif.
2. Retrouver le résultat en appliquant les formules du cours sur les fonctions usuelles.
II) (4 points)
On considère un cylindre droit de hauteurhet dont les disques des bases ont pour rayon r. On rappelle que son volume est le produit de l’aire d’une base par la hauteur, et que l’aire de la surface latérale est le produit du périmètre d’une base par la hauteur.
1. On suppose quehest constant etrvariable.
Le volume V est donc une fonctionf de la variabler.
Calculerf0(r). Quelle remarque peut-on formuler ? 2. On suppose querest constant ethvariable.
Le volume V est donc une fonctiongde la variableh.
Calculerg0(h). Quelle remarque peut-on formuler ?
III) (6 points)
Soientaetbdeux nombres réels .
On considère les courbesC1 et C2 représentant respectivement les fonctionsf1 définie surRparf1(x) = (x−a)(x−b)et f2 définie surR\ {b}parf2(x) = x−a
b−x
Démontrer que les deux courbes se coupent en un seul point, dont on déterminera les coordonnées et, qu’en ce point, les tangentes sont perpendiculaires.
On rappelle que deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à−1
Pour quels couples(a, b)ces tangentes sont-elles les bissectrices du repère ?
IV) (6 points)
Soitf la fonction définie surRparf(x) = x3 x2−3x+ 3.
On désigne par C la représentation graphique de f dans un plan muni d’un repère orthonormal.
1. Etudier la fonctionf (dérivée, sens de variation). Dresser le tableau de variations de la fonctionf. On ne demande pas les limites.
2. Soitgla fonction définie par g(x) =f
x+3 2
−9
2. On admettra que la fonction g est impaire.
Soitaun réel,Ale point d’abscisse 3
2+ade la courbe def, etA0le point d’abscisse 3
2−ade la courbe def.
Déterminer les coordonnées du milieu de[AA0]et en déduire une propriété géomé- trique de la courbe def.
