Durée : une heure. Calculatrices autorisées.

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Devoir n˚2

Durée : une heure. Calculatrices autorisées.

I) 4 points

Soitf la fonction définie sur

−3 2;∗∞

parf(x) = x² 2x+ 3.

Déterminer l’équation de la tangenteT à la courbe def au point d’abscisse−1 Existe-t-il un autre point pour lequel la tangente à la courbe def est parallèle àT?

II) 4 points

Résoudre :

1. 3e^2x+ 6 = 9e^x 2. e^2x+e^x<2

III) 5 points

1. Soitaun réel etg la fonction définie parg(x) =e^x−e^ax+e^a(a−1).

Etudier le sens de variation de get en déduire le signe deg(x)

2. SoitT la tangente à la courbe de l’exponentielle au point d’abscisse 1.

En utilisant le résultat précédent, déterminer la position de la courbe par rapport à T

IV) 7 points

Soitg la fonction définie surRparg(x) = (x+ 1)e^−x+ 1.

1. Démontrer que, pour x>0, on ag(x)>0.

2. On admettra qu’il existe un unique réelatel queg(a) = 0 Etudier le sens de variation de get en déduire le signe deg(x) 3. Soitf la fonction définie surRparf(x) = x

e^−x+ 1.

Calculer la dérivée de f, et en déduire le sens de variation def.