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Devoir n˚4
Durée : 1 heure. Calculatrices autorisées
I) 3 points
Soitaet bréels etf la fonction définie par f(x) =ex2+ax+b. f admet un minimum au point de coordonnées
−1 2;√
e
Détermineraet b.
II) 4 points
On considère l’équation différentielle (E1) y0+y= (2x−1)2
1. Déterminer une fonctionu, trinôme du second degré, solution de(E1).
2. Soit l’équation différentielle (E2) y0+y= 0
Démontrer l’équivalence suivante, pour une fonctionf quelconque dérivable surR: Dire quef est solution de(E1)équivaut à dire quef−uest solution de(E2) 3. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation(E1)
III) 7 points
Soitf la fonction définie surRparf(x) = (2−x)(1−e−x) Soitg la fonction définie parg(x) =ex+x−3
1. a) Etudier les variations de get ses limites
b) Démontrer qu’il existe un unique réelαtel queg(a) = 0.
En donner un encadrement à10−1 près (justifier) c) Etudier le signe de get en déduire les variations def.
2. Démontrer que la droite d’équation y = 2−xest asymptote à la courbe de f en +∞
IV) 5 points
Soit une fonctionf deux fois dérivable surRvérifiantf00=f,f0(0) = 0et f(0) = 1 On poseu=f0+f etv=f0−f.
1. Déterminer une équation différentielle simple avec condition initiale vérifiée paru.
De même avecv.
2. En déduire l’expression def(x)
