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Devoir n˚4
Durée : une heure. Calculatrices autorisées
I) 5 points
Soit la suiteudéfinie paru1= 2 et, pour toutn>1,un= 2un−1 1 + un
n+ 1 1. Calculer sous forme de fractions irréductibles u2, u3, u4 etu5
On vérifiera que u5= 1,2
2. Conjecturer l’écriture directe deun en fonction denpour n>1 3. Démontrer cette conjecture par récurrence
II) 6 points
On place 10 000 euros sur un compte rémunéré à 3% et on réalise à la fin de chaque année un retrait de 200 euros. On appellecn le capital à la fin de l’annéen, avecc0= 10000.
1. Déterminer une formule de récurrence donnantcn+1 en fonction decn. On vérifiera que cette formule donne bienc2= 10203.
2. Démontrer que, pour toutnentier naturel,cn>10000 3. Déterminer le sens de variation de la suite c.
III) 6 points
Soitf la fonction définie surRparf(x) =x3+ 2x−3.
Soitula suite définie surNparu0= 1et un+1=f(un)
1. Comparerun et 1 (conjecturez d’abord le résultat, puis démontrez-le) 2. Déterminer le sens de variation deu
IV) 3 points
Soitula suite définie paru0= 1 etun+1=un+1 2n−1
Démontrer que la formule directe deuest de la formeun=an2+bn+c.
