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Modélisation du fonctionnement d’un gyrolaser He-Ne
de très haute précision
Jean-Sébastien Macé
To cite this version:
UNIVERSITE PARIS-SUD
ÉCOLE DOCTORALE Ondes et Matière
Laboratoire de Physique des Gaz et des Plasmas
Discipline : Physique des Plasmas
THÈSE DE DOCTORAT
soutenue le 21 juillet 2014 par
Jean-Sébastien MACÉ
Modélisation du fonctionnement d’un gyrolaser
He-Ne de très haute précision
Directeur de thèse : Gilles Maynard Directeur de recherche au CNRS, LPGP, Orsay Composition du jury :
Président du jury : Fabien Bretenaker Directeur de recherche au CNRS, LAC, Orsay
Rapporteurs : Leanne Pitchford Directeur de recherche au CNRS, LAPLACE, Toulouse
Stéphane Pellerin Professeur, GREMI, Bourges
Examinateurs : Philippe Robert Ingénieur, Sagem, Montluçon
REMERCIEMENTS
Je souhaite tout d’abord remercier les deux personnes à l’origine de cette thèse. En premier lieu mon directeur de thèse Gilles Maynard, directeur du laboratoire de Physique des Gaz et des Plasmas, à côté duquel il a été très enrichissant de travailler au cours de ces trois années, tant sur le point de vue physique que sur la modélisation. Merci à mon encadrant Sagem, Albin Virdis, pour ses nombreux conseils aussi bien sur le plan professionnel que personnel. Le bon déroulement de cette thèse est lié à la confiance qu’ils m’ont accordée dès le début, puis tout au long de ces trois années et au suivi régulier de ce travail dont ils ont fait preuve. Je remercie également l’entreprise Sagem pour m’avoir fait confiance et pour avoir financé ce travail avec l’appui de l’ANRT. Plus personnellement, je remercie l’ensemble des ingénieurs Sagem avec qui j’ai pu collaborer au cours de ces trois années : Philippe Robert, Jean-Baptiste Le Bihan, Vincent Lena, Anass Aïssi, Bruno Letourneur et Patrick Fragnon.
Je souhaite sincèrement remercier les membres du jury, Leanne Pitchford, Stéphane Pellerin et Fabien Bretenaker pour avoir analysé ce travail et permis l’amélioration de certains aspects du manuscrit.
Je remercie également Caroline Boisse-Laporte et Jean Bretagne, anciens chercheurs du LPGP, et Tiberiu Minea, futur directeur du laboratoire, personnes avec qui j’ai pu entretenir certaines discussions sur le sujet notamment concernant la partie « plasma ».
Merci à l’ensemble du personnel administratif du LPGP, pour leur professionnalisme dans l’ensemble des démarches que j’ai pu leur soumettre mais pas seulement : merci à Nicolas Dessaints pour les cafés quotidiens « dès l’aube » et à Thierry Devillers pour ces nombreux moments de rigolade.
Je remercie l’ensemble des ingénieurs du laboratoire, et plus particulièrement, Michel Fleury et Olivier Antonin pour avoir permis le bon déroulement des différentes manips. Egalement, un grand merci à Marc Bisson et à Michel Pascanu, pour l’accès au matériel informatique, aux logiciels et pour la gestion du serveur de calcul.
Merci à l’ensemble des doctorants, post-doctorants, permanents et non-permanents du LPGP que j’ai pu côtoyer tout au long de ces trois années : Fred, Jinchuan, Bruno, Bhooshan, Adrien, Claire, Wilfried, Ouya, Alexis, Serhiy, Eduardo, Ismaël, Catalin, Daniel, Katell, Lise, Lionel, Olivier et d’autres que j’oublie probablement.
Merci à toute ma famille et notamment à mes parents qui m’ont permis d’accéder à ce grade de docteur en me donnant la possibilité de mener ces longues études, même si ce travail de thèse à l’heure actuelle reste encore assez obscur pour eux…
A mes amis, avec qui j’ai partagé des moments de détente au cours de ces trois années et qui m’ont toujours soutenu : Martin, Laurent, Bérangère, Thierry, Ingrid, Nicolas et Fred, un grand merci à vous. A ceux qui m’ont soutenu de plus loin, Arnaud et Corinne notamment, Willy et Camille également.
Enfin, merci à toi Sonia, pour avoir subi mes moments de doutes, mes périodes intensives de travail ainsi que pour avoir géré énormément de choses à certaines périodes. Je te dois beaucoup.
RÉSUMÉ
Les gyromètres laser He-Ne sont des senseurs inertiels dont la fiabilité et la précision sont reconnues depuis le milieu des années 1980. Leur grande sensibilité leur permet de mesurer des vitesses de rotation avec une précision qui atteint 10-3 °/h dans le domaine aéronautique. Cependant, du fait d’un fonctionnement complexe basé sur une physique riche et variée, ses performances sont fortement dépendantes des conditions de fonctionnement et de toute modification du processus de fabrication. Dans ce cas, un travail de modélisation prend tout son sens, puisqu’il permet, outre une compréhension claire et précise des différents phénomènes physiques, un accès à des études paramétriques non envisageables expérimentalement. La modélisation globale du fonctionnement d’un gyrolaser He-Ne a ainsi été l’objectif principal de la collaboration entre la société Sagem (groupe Safran), un des leaders mondiaux dans le domaine des senseurs inertiels, et le Laboratoire de Physique des Gaz et des Plasmas (LPGP).
Cette modélisation est « multiphysique » du fait de la diversité des domaines que couvre la physique du gyrolaser (Plasma, Physique Atomique, Lasers). C’est pourquoi nous avons développé trois modèles spécifiquement adaptés à chaque domaine. Le premier décrit la modélisation de la colonne positive du plasma de décharge dans une approche fluide. Ce modèle permet une description quantitative du plasma et l’accès aux grandeurs telles que la densité électronique et la fonction de distribution en énergie des électrons. Ces grandeurs sont les entrées nécessaires au second modèle qui traite la cinétique des états excités du plasma He-Ne. Un modèle collisionnel-radiatif à 1 dimension radiale (1D-CRM) a ainsi été développé. L’aspect 1D se justifie par l’importance des phénomènes de transport d’atomes et de rayonnement pouvant influer sur le profil radial de l’inversion de population du laser. Le transfert radiatif par auto-absorption des transitions radiatives résonantes a notamment été modélisé en résolvant l’équation de Holstein-Biberman à partir d’une méthode Monte-Carlo. Cet aspect constitue un élément majeur de ce travail de thèse. La diffusion des atomes excités du mélange He-Ne a également été prise en compte en résolvant l’équation de diffusion avec différentes conditions au bord à la surface du capillaire.
A partir des populations et des taux cinétiques de peuplement et dépeuplement calculés par 1D-CRM, l’amplification laser dans la cavité a été modélisée dans le cadre d’une approche Maxwell-Bloch à 2 niveaux (NADIA) en incluant la saturation inhomogène du gain c’est-à-dire en tenant compte de la vitesse des atomes émetteurs dans la c’est-à-direction de propagation des faisceaux lasers. La cinétique de NADIA a été optimisée et les processus de transports dans l’espace des phases ont également été implémentés. Ce modèle a été utilisé pour étudier les performances du gyrolaser liées au milieu amplificateur et pour dériver les paramètres physiques nécessaires au développement d’un simulateur du gyrolaser.
Dans ce simulateur, un modèle physique simplifié dérivé de NADIA, a été couplé à des modules « systèmes » dans le but de reproduire en sortie le signal opérationnel d’un gyrolaser. Ceci nous a permis de réaliser des études paramétriques sur les grandeurs caractérisant les performances d’un gyrolaser notamment le biais dynamique et le Random-Walk. Nous montrons en particulier que les performances de notre simulateur sont en bon accord avec celles observées en conditions opérationnelles. De plus, nos résultats montrent que ce simulateur est également un outil puissant pour l’analyse de données expérimentales.
ABSTRACT
Ring laser gyros (RLG) are inertial sensors whose reliability and accuracy have been recognised since the mid-1980s. Their high sensitivity enables them to measure angular velocity with an accuracy of 10-3 °/h in aeronautics. However, because of a complex functioning based on a rich and varied physics, their performances are highly dependent on the working conditions and on any modification in the manufacturing process. In this case, a numerical modelling is pertinent since it allows both a clear understanding of the ring laser physics and parametric studies which are not experimentally feasible. The global modelling of a He-Ne RLG has been the main objective of the collaboration between Sagem (Safran group), which is one of the world leader in the inertial sensors field, and the Gas and Plasma Physics Laboratory (LPGP).
This modelling is “multi-physics” since RLG physics involves several disciplines (plasma, atomic and laser physics). Therefore we have developed three models specifically adapted to each field. The first one describes the modelling of the positive column of the glow discharge following a fluid approach. This model allows a quantitative description of the plasma and gives access to fundamental quantities like the electron density or the electron energy distribution function. These quantities are the required inputs for the second model which treats the kinetics of the excited states inside the He-Ne plasma. For this, a collisional-radiative model in a radial geometry (1D-CRM) has been developed. The radial geometry is justified by the importance of the transport processes of atoms and radiations which can influence the radial profile of the population inversion. Notably, the radiative transfer by self-absorption of the resonant radiative transitions has been modelled by solving the Holstein-Biberman equation by a Monte-Carlo method. This aspect is a major component of this PhD work. Diffusion of excited atoms inside the plasma has also been taken into account by solving the diffusion equation with different boundary conditions at the capillary surface. From the populations and the kinetic rates computed by 1D-CRM, the laser amplification inside the cavity has been modelled using a two-level Maxwell-Bloch approach (NADIA) taking into account the inhomogeneous gain saturation, which means to consider the thermal speed of the atoms in the direction of propagation of the laser beams. The kinetics of NADIA has been optimized and transport processes in the phase space have also been implemented. This model has been used to study the performances of the RLG linked to the amplifying medium and to derive the physical parameters needed for the development of a simulator. Concerning this simulator, a simplified physical model from NADIA has been coupled to system modules in order to reproduce the operating signal of a RLG. This allows to conduct parametric studies on the quantities defining the RLG performance in particular the dynamic bias and the so-called “Random Walk”. We showed notably that the results of our simulator are in good agreement with experimental measurements in operating conditions. Moreover, our results show that this simulator is a powerful tool for analysing experimental data.
Table des matières
INTRODUCTION ... 13
Chapitre I. Modélisation du plasma de décharge et de la cinétique réactionnelle
... 19
I.1. Introduction sur la décharge ... 19
I.2.Modélisation du plasma de la colonne positive ... 22
I.2.1. Modèle Théorique ... 22
Introduction ... 22
I.2.1.1. Hypothèses du modèle ... 22
I.2.1.2. Equation de Boltzmann et approximation à deux-termes ... 25
I.2.1.3. Equations fluides relatives aux électrons ... 27
I.2.1.4. Equations fluides relatives aux ions ... 28
I.2.1.5. Champ de charge d’espace ... 29
I.2.1.6. Détermination de la fonction de distribution en vitesse ... 29
I.2.1.7. Conditions aux bords ... 30
I.2.1.8. I.2.2. Résultats ... 31
Résultats obtenus pour le GLS32 ... 32
I.2.2.1. Effet de la variation du rayon du capillaire (GLC16) ... 41
I.2.2.2. I.3. Modélisation de la cinétique réactionelle de la colonne positive... 45
I.3.1. Introduction ... 45
Inversion de population ... 45
I.3.1.1. Modélisation collisionnelle-radiative ... 46
I.3.1.2. Transport d’atomes et de rayonnement par auto-absorption ... 46
I.3.1.3. I.3.2. Modèle Théorique ... 48
Processus collisionnels-radiatifs ... 48
I.3.2.1. Equation générale d’évolution des populations ... 53
I.3.2.2. Processus de transport ... 54 I.3.2.3. Résolution numérique ... 57 I.3.2.4. I.4. Conclusion ... 58 I.5. Bibliographie ... 59
Chapitre II. Modélisation du transfert radiatif ... 61
II.1. Introduction ... 61
II.1.1. Problématique et objectifs ... 61
II.1.2. Impacts du transfert radiatif ... 62
Effet temporel ... 62
II.1.2.1. Effet spatial ... 62
II.1.2.2. Redistribution en vitesse des atomes ... 63
II.1.2.3. II.1.3. Etat de l’art sur la modélisation du transfert radiatif ... 63
II.1.4. Méthode utilisée et adaptation au cas du mélange He-Ne ... 64
II.2. Modèle théorique ... 65
Hypothèses ... 65
II.2.1.1. Calcul des facteurs d’échappements ... 65
II.2.1.2. Calcul du transfert radiatif ... 66
II.2.1.3. II.2.2. Profil spectral d’émission ... 66
Elargissement naturel ... 66
II.2.2.1. Elargissement collisionnel ... 67
II.2.2.2. II.2.3. Géométrie du modèle ... 70
II.2.4. Position d’émission du photon ... 70
Dans le cas du transfert radiatif ... 70
II.2.4.1. Dans le cas du calcul du facteur d’échappement ... 71
II.2.4.2. II.2.5. Direction du photon émis ... 71
II.2.6. Fréquence d’émission du photon ... 72
II.2.7. Probabilité d’absorption et distance d’absorption ... 73
Cas général ... 73
II.2.7.1. Cas du mélange He-Ne du gyrolaser ... 74
II.2.7.2. II.2.8. Calcul des coordonnées de l’atome absorbeur (i+1) ... 75
II.2.9. Calcul de la fréquence du photon réémis ... 75
Probabilités de collision ... 76
II.2.9.1. Choix de l’algorithme de réémission fréquentielle ... 76
II.2.9.2. Calcul de la fréquence de réémission ... 77
II.2.9.3. II.2.10. Calcul de ' x
υ
... 79II.2.11. Calcul de la matrice de transfert ... 80
II.2.12. Calcul du temps d’échappement ... 80
II.2.13. Détermination statistique du facteur d’échappement ... 81
II.2.14. Validation du code ... 81
II.3. Résultats du modèle ... 82
II.3.1. Facteurs d’échappement, dépendances et caractéristiques des transitions auto-absorbées ... 82
Libre parcours moyen et facteur d’échappement de plusieurs transitions du néon ... 82
II.3.1.1. Effet des collisions He-Ne ... 86
II.3.1.2. Effet de la PFR sur le facteur d’échappement ... 88
II.3.1.3. Spectre fréquentiel en sortie du plasma ... 89
II.3.1.4. II.3.2. Transfert radiatif de la transition résonnante du niveau haut laser ... 91
Profils d’absorption des isotopes ... 91
II.3.2.1. Profil de redistribution de la vitesse ua de l’atome absorbeur ... 92
II.3.2.2. Profils de redistribution de la vitesse υx ... 93
II.3.2.3. Profils de redistribution spatiale ... 96
II.3.2.4. Matrice de transfert de la transition 2p55s'[1P 1]-1S0 ... 98
II.3.2.5. II.4. Conclusion ... 100
II.5. Bibliographie ... 101
Chapitre III. Résultats du code 1D-CRM ... 105
III.1. Introduction ... 105
III.1.1. Cinétique du laser He-Ne ... 105
III.1.3. Modèle à N niveaux du laser He-Ne ... 106
III.1.4. Etat de l’art ... 106
III.2. Populations des niveaux excités du mélange He-Ne ... 107
III.2.1. Niveaux métastables ... 107
Taux de peuplement et profil radial de densité des métastables de l’hélium ... 107
III.2.1.1. Taux de peuplement et profil radial de densité des métastables du néon ... 110
III.2.1.2. Estimation de l’influence de l’ionisation depuis certains niveaux métastables et radiatifs .... 111
III.2.1.3. Evolution des populations avec le courant de décharge ... 114
III.2.1.4. III.2.2. Niveaux lasers ... 115
Taux de peuplement et profil radial de densité du niveau haut ... 115
III.2.2.1. Taux de peuplement et profil radial de densité du niveau bas ... 117
III.2.2.2. Evolution des populations avec le courant de décharge ... 118
III.2.2.3. III.2.3. Taux de peuplement et populations des niveaux radiatifs résonants du néon .... 119
III.3. Inversion de population et gain du laser He-Ne ... 120
III.3.1. Inversion de population laser ... 120
Profil radial de l’inversion de population à faible signal ... 120
III.3.1.1. Evolution avec le courant de décharge... 121
III.3.1.2. III.3.2. Gain à faible signal ... 122
Evolution avec le courant de décharge... 123
III.3.2.1. Evolution avec le waist du faisceau laser ... 123
III.3.2.2. III.3.3. Gain saturé ... 125
Variation du gain avec l’intensité laser dans un modèle à 2 niveaux ... 125
III.3.3.1. Effet du transport sur la saturation du gain : taux de recouvrement ... 125
III.3.3.2. Profil radial de l’inversion de population saturée ... 126
III.3.3.3. Influence du waist sur le taux de recouvrement du gain ... 127
III.3.3.4. Influence globale du transport sur la saturation du gain ... 128
III.3.3.5. III.3.4. Effet de la paroi sur la cinétique de l’amplification laser ... 129
Effet de la réflexion à la paroi sur le profil radial des métastables ... 129
III.3.4.1. Variation du gain due à l’auto-absorption ... 130
III.3.4.2. III.4. Conclusion ... 131
III.5. Bibliographie ... 133
Chapitre IV. Modélisation de l’amplification laser dans la cavité gyrolaser .... 135
IV.1. Introduction ... 135
IV.2. Généralités sur l’amplification laser ... 136
IV.2.1. Emission et amplification du rayonnement en espace libre ... 136
Processus stimulés ... 136
IV.2.1.1. Evolution de l’intensité du rayonnement en fonction de la longueur de plasma ... 137
IV.2.1.2. Diminution de la longueur d’amplification ... 140
IV.2.1.3. IV.2.2. Amplification dans la cavité ... 140
Equation de propagation du champ ... 140
IV.2.2.1. Développement selon la base de mode-propres Hermite-Gauss ... 141
IV.2.2.2. Gain du milieu amplificateur et puissance des faisceaux... 142
IV.2.2.3. IV.2.3. Modes propres de la cavité ... 143
Conditions d’amplification ... 144
IV.2.3.1. Fréquences des modes transverses et longitudinaux ... 145
IV.2.3.2. IV.2.4. Filtrage des modes transverses par le diaphragme ... 145
Condition d’existence sur le gain d’un mode HG ... 145
IV.2.4.1. Condition pour une amplification monomode ... 146
IV.2.4.2. IV.2.5. Diffraction et rétrodiffusion ... 146
Types de diffraction ... 146
IV.2.5.1. Origines de la diffraction et de la rétrodiffusion dans la cavité ... 147
IV.2.5.2. Prise en compte dans le calcul ... 147
IV.2.5.3. IV.3. Spécificités de l’amplification laser dans la cavité gyrolaser ... 148
IV.3.1. Effet Sagnac ... 148
IV.3.2. Milieu amplificateur ... 151
Dépendances de l’inversion de population ... 151
IV.3.2.1. Elargissement collisionnel de la transition laser ... 151
IV.3.2.2. Elargissement inhomogène ... 152
IV.3.2.3. Couplage fréquentiel des faisceaux ... 154
IV.3.2.4. IV.3.3. Modes de la cavité gyrolaser ... 156
Waist et longueurs de Rayleigh dans le GLS32 ... 156
IV.3.3.1. Variation des waists dans la cavité : réduction à 1 dimension ... 157
IV.3.3.2. Fréquence des modes propres ... 157
IV.3.3.3. IV.4. Modèle théorique de l’amplification laser : NADIA ... 158
IV.4.1. Hypothèses ... 158
Géométrie du modèle ... 158
IV.4.1.1. Amplification monomode ... 158
IV.4.1.2. IV.4.2. Equations d’évolution du champ de chaque onde ... 159
Equation d’onde dans un référentiel tournant ... 159
IV.4.2.1. Prise en compte de la rétrodiffusion ... 160
IV.4.2.2. Projection de l’équation d’onde sur le mode fondamental de la cavité ... 161
IV.4.2.3. Condition de phase dans la cavité en anneau ... 162
IV.4.2.4. Contribution aux gains complexes ... 162
IV.4.2.5. Equations découplées sur l’amplitude et la phase de chaque faisceau ... 164
IV.4.2.6. Equation sur la différence de phase des faisceaux ... 164
IV.4.2.7. IV.4.3. Equation sur la susceptibilité ou ‘gain complexe’ ... 165
Modèle semi-classique du dipôle atomique ... 165
IV.4.3.1. Approximation de l’enveloppe lentement variable (AELV) et approximation adiabatique .. 166
IV.4.3.2. Susceptibilité du milieu amplificateur ... 166
IV.4.3.3. IV.4.4. Détermination de l’inversion de population ... 167
Non-adiabaticité ... 168
IV.4.4.1. Bilan des processus cinétiques de peuplement des niveaux laser et taux associés ... 168
IV.4.4.2. Taux de pompage du niveau haut ... 169
IV.4.4.3. Désexcitation radiative du niveau haut ... 169
IV.4.4.4. Emission stimulée ... 170
IV.4.4.5. Absorption stimulée ... 170
IV.4.4.6. Gain radiatif du niveau bas ... 171
IV.4.4.7. Pertes radiatives du niveau bas ... 172
IV.4.4.8. Gain du niveau bas par collisions électroniques ... 172
IV.4.4.9. Pertes du niveau bas par collisions électroniques ... 172
IV.4.4.10. Diffusion ... 173
IV.4.4.11. Cross-relaxation par collisions élastiques ... 173
IV.4.4.12. Transfert radiatif ... 174
IV.4.4.13. Equations bilan ... 175
IV.4.4.14. IV.5. Résultats du modèle d’amplification pour le GLS32 ... 176
IV.5.1. Populations des niveaux lasers ... 176
IV.5.2. Inversion de population ... 177
Local vs non-local : Effets du transfert radiatif et de la diffusion ... 177 IV.5.2.1.
‘Refroidissement‘ des raies ... 179
IV.5.2.2. Effet de la cross-relaxation ... 181
IV.5.2.3. IV.5.3. Profil fréquentiel du gain ... 182
IV.5.4. Saturation du milieu amplificateur ... 183
Inversion de population saturée ... 183
IV.5.4.1. Evolution temporelle du gain et des puissances lasées ... 185
IV.5.4.2. Caractéristique gain-puissance ... 186
IV.5.4.3. IV.5.5. Calibration du modèle ... 187
Calibration par la puissance lasée ... 188
IV.5.5.1. Evolution relative de la puissance lasée avec le courant de décharge ... 189
IV.5.5.2. Rapport des puissances ‘bi-branches/monobranche’ ... 190
IV.5.5.3. IV.5.6. Calcul du gain à faible signal expérimental ... 191
Détermination point-par-point ... 191
IV.5.6.1. Détermination expérimentale de ci ... 192
IV.5.6.2. Résultats sur le gain à faible signal en fonction de l’exposant ci ... 194
IV.5.6.3. IV.6. Performances liées au milieu amplificateur ... 196
IV.6.1. Termes de biais du milieu amplificateur ... 196
Cas dissymétrique ... 197
IV.6.1.1. Cas symétrique ... 198
IV.6.1.2. IV.6.2. Flux de Langmuir ... 198
Caractérisation expérimentale ... 198
IV.6.2.1. Origine physique ... 198
IV.6.2.2. Intégration dans NADIA ... 199
IV.6.2.3. Résultats obtenus par la modélisation NADIA ... 199
IV.6.2.4. IV.6.3. Mode-Pulling/Pushing : Variation du facteur d’échelle ... 200
Mise en équation ... 200
IV.6.3.1. Variation du facteur d’échelle avec le niveau de saturation ... 201
IV.6.3.2. Etude de la variation du facteur d’échelle avec NADIA... 201
IV.6.3.3. IV.6.4. Biais statique lié à une dissymétrie des pertes ... 203
IV.7. Conclusion ... 205
IV.8. Bibliographie ... 206
Chapitre V. Simulateur gyrolaser et analyse expérimentale ... 209
V.1. Introduction ... 209
V.2. Description du simulateur du gyrolaser ... 210
V.2.1. Mise en équations du modèle M3EQ ... 210
Système sur les puissances et le déphasage des faisceaux ... 210
V.2.1.1. Linéarisation du gain et couplage des faisceaux ... 212
V.2.1.2. Signaux de Winking ... 213
V.2.1.3. Système d’équations ‘symétrique’ sur les signaux de Winking et la différence de phase: V.2.1.4. M3EQ-SYM ... 213
Systèmes d’équations ‘non-symétrique’ : M3EQ-NSYM ... 215
V.2.1.5. Amplitude des signaux de Winking ... 216
V.2.1.6. V.2.2. Couplage par rétrodiffusion : conservatif et dissipatif ... 217
Origines des types de couplage ... 217
V.2.2.1. Déphasage des faisceaux ... 218
V.2.2.2. V.2.3. Aspects opérationnels liés à la rétrodiffusion ... 220
Zone aveugle ... 220
V.2.3.1. Correction positive du facteur d’échelle ... 223 V.2.3.2.
Dépendance des coefficients de couplage à la distance entre coupleurs ... 224
V.2.3.3. V.2.4. Modules systèmes ... 226
Module de traitement des franges d’interférences ... 226
V.2.4.1. Module d’asservissement de longueur de cavité (ALC) ... 227
V.2.4.2. Dither ... 228
V.2.4.3. V.2.5. Bruit de Random Walk : Approche analytique ... 229
V.2.6. Etude paramétrique du biais dynamique et du Random Walk ... 233
Méthode de calcul du Random Walk et du biais dynamique ... 233
V.2.6.1. Dépendance du biais dynamique aux coefficients de couplage ... 233
V.2.6.2. Dépendance du Random-Walk aux coefficients de couplage ... 235
V.2.6.3. Dépendance du biais dynamique et du Random-Walk à l’amplitude du Dither ... 236
V.2.6.4. Dépendance du Random-Walk à la valeur du bruit injecté δad ... 237
V.2.6.5. V.3. Mesures expérimentales des paramètres du simulateur M3EQ ... 239
V.3.1. Dispositif expérimental et mesures effectuées ... 239
Photodiodes ... 239
V.3.1.1. Systèmes d’acquisitions des signaux ... 240
V.3.1.2. Mesures réalisées ... 241 V.3.1.3. V.3.2. Méthodes d’analyses ... 242 Autocorrélation de X et Y ... 242 V.3.2.1. FFT des signaux et analyse ... 244
V.3.2.2. Résumé du traitement des données d’un gyrolaser ... 248
V.3.2.3. V.3.3. Résultats expérimentaux ... 249
Y Ω en fonction du courant de décharge ... 249
V.3.3.1. X Ω en fonction du courant de décharge. ... 251
V.3.3.2. Y Ω en fonction de la fréquence laser ... 253
V.3.3.3. β en fonction du courant de décharge et de la fréquence laser ... 256
V.3.3.4. α en fonction du courant de décharge et de la fréquence laser ... 258
V.3.3.5. V.4. Conclusion ... 259
V.5. Bibliographie ... 260
CONCLUSION ET PERSPECTIVES ... 263
LISTE DES COMMUNICATIONS SCIENTIFIQUES...………... 269
ANNEXES………... 271
INTRODUCTION
i. Navigation inertielle et types de senseurs
La navigation est un domaine très ancien remontant aux premières volontés de l’homme de se déplacer. Elle est littéralement définie comme étant la science et l’ensemble des techniques permettant de connaître la position, à un instant souhaité, d’un mobile dans un référentiel donné ou en fonction d’une position connue. Ce domaine s’est très largement développé au fur et à mesure des avancées technologiques. De la première boussole utilisée par les marins il y a plusieurs siècles, en passant par le gyroscope mécanique inventé par Foucault dans les années 1850, la navigation moderne utilise actuellement le GPS « Global Positioning System », démocratisé dans le secteur civil (Automobile), et les centrales inertielles dans le domaine de l’aviation civile et de la défense.
Les centrales de navigation inertielle sont des instruments de navigation composés de plusieurs senseurs inertiels : trois accéléromètres et trois gyromètres. Un calculateur embarqué permet l’intégration des mesures de chaque instrument (accélération et vitesse angulaire) afin de déterminer à un instant donné l’orientation du mobile (angle de roulis, de tangage et de cap), pour son contrôle d’attitude, ainsi que sa vitesse et sa position pour la navigation. Un tel système présente un avantage certain par rapport au GPS : son autonomie. A la différence du GPS, nécessitant la communication vers des satellites, la centrale inertielle est en effet indépendante de tout système externe au mobile. Le GPS peut être toutefois utilisé pour un recalage de la position, on parle alors de système hybride.
ainsi que les performances atteintes par certains concepts (0.05°/h) [1] en font une technologie très intéressante pour les centrales inertielles futures.
ii. Gyromètre laser
L’avancée vers la technologie gyrolaser, s’est faite grâce à l’avènement du premier laser à gaz à la fin des années 1960, en l’occurrence le laser He-Ne et en lui appliquant un principe daté du début du XXe siècle, l’effet Sagnac [2]. Celui-ci stipule que dans une cavité où se propagent deux faisceaux dans des directions opposées, l’application d’une rotation à cette cavité engendre une variation temporelle du déphasage entre les deux faisceaux, proportionnelle à la vitesse de rotation du système. La mesure du déplacement des franges d’interférence obtenues après recombinaison permet donc la mesure de la vitesse de rotation. On voit donc ici tout l’intérêt de ce principe pour la navigation. Il est de ce fait à la base du gyrolaser qui constitue avec le GRH et le FOG, deux des types de senseurs dans lesquels la société Sagem (groupe Safran) a développé un savoir-faire mondial reconnu.
Le schéma d’un type de gyrolaser développé et commercialisé par la société Sagem est présenté sur la figure INT-1. D’un périmètre de quelques dizaines de cm, la cavité laser est usinée dans un bloc de céramique (ZERODUR®) dans lequel des capillaires de quelques mm de
diamètre permettent la propagation de faisceaux lasers contra-propageants. Ces derniers sont amplifiés dans deux branches de plasma He-Ne créées par deux décharges à courant continu, de part et d’autre d’un axe de symétrie reliant la cathode commune et le dispositif de mesure des franges d’interférences. Celui-ci, destiné à mesurer la fréquence de défilement des franges et donc la vitesse de rotation du mobile, est placé en sortie du miroir sphérique partiellement transmettant. Deux miroirs plans, de très faibles pertes, placés aux autres extrémités assurent à la cavité un facteur de qualité élevé. Enfin, un diaphragme placé au waist de la cavité permet d’assurer un fonctionnement monomode du laser.
A ces éléments, s’ajoutent plusieurs aspects techniques afin d’optimiser les performances. Un oscillateur mécanique (Dither) placé sur l’axe sensible du gyrolaser assure un mouvement oscillatoire permanent qui permet d’augmenter la sensibilité de la mesure à basse vitesse de rotation. Egalement, par le biais d’actionneurs piézoélectriques sur les miroirs plans, la longueur de cavité est accordée pour assurer un maximum d’amplification laser afin de contrer tout effet de contraction ou de dilatation de la cavité, lié par exemple à des variations de températures en conditions opérationnelles.
L’utilisation du gyrolaser dépasse cependant le cadre de la navigation inertielle. Depuis le milieu des années 1990, plusieurs groupes de recherche ont exploité un des aspects fondamentaux de l’effet Sagnac, à savoir que la sensibilité du gyrolaser augmente avec la taille de la cavité. De ce fait, cet aspect a donné naissance à plusieurs gyrolasers de très grande taille allant de quelques dizaines à plusieurs centaines de m2 [3]. Les domaines d’étude concernent notamment la géodésie pour la mesure de variations de la vitesse de rotation de la terre ou bien encore la géophysique avec comme exemple d’application, la détection d’ondes sismiques [4].
iii. Problématique et objectifs de la collaboration entre SAGEM et le
LPGP
Le gyrolaser a été commercialisé au début des années 80, après des études intensives au cours des années 1960 et 1970, menées notamment par F. Aronowitz à qui l’on doit un nombre important de publications sur le sujet et résumées notamment dans [5],[6]. A cette époque, l’approche choisie est bien évidemment expérimentale, la modélisation et les outils numériques étant très peu répandus. Cette approche a permis d’atteindre les niveaux de performances requis pour les utilisations de l’époque. Par la suite, les performances du gyrolaser n’ont cessé de croître du fait de certaines améliorations techniques (Dither, traitement du signal) ou sur la meilleure maîtrise de certains procédés, par exemple le dépôt de couches minces pour les miroirs diélectriques, réduisant ainsi le nombre de défauts. Cependant, du fait d’un fonctionnement complexe basé sur une physique riche et variée, ces performances sont également fortement dépendantes des conditions expérimentales et de toute modification du processus de fabrication. Dans ce cas, un travail de modélisation présente un avantage certain puisqu’il peut permettre d’appréhender certains problèmes ou de répondre à certaines questions tout en minimisant les ressources humaines, temporelles et physiques. Un exemple concret est le dimensionnement du diaphragme qui peut être calculé à partir du profil radial de gain, donné par la modélisation. Expérimentalement, il nécessite l’usinage et le test de plusieurs blocs optiques.
C’est dans ce cadre qu’a débuté en 2008 une collaboration entre la société Sagem et le Laboratoire de Physique des Gaz et des Plasmas (LPGP) ayant comme objectif le développement d’une modélisation globale du fonctionnement d’un gyrolaser He-Ne.
L’intérêt d’un tel outil pour Sagem peut se présenter selon plusieurs points :
• La compréhension de l’influence de phénomènes physiques impactant les performances d’un gyrolaser.
• L’accès à des études paramétriques non-envisageables expérimentalement.
• L’accroissement de la base de capitalisation des connaissances
• La formation de personnel sur ces problématiques
Figure INT-1: Schéma descriptif d’un gyrolaser pour centrale de navigation inertielle.
Pour le LPGP les intérêts de cette modélisation sont :
• L’amélioration de la compréhension de phénomènes physiques dans un plasma
• L’utilisation des données de haute précision du gyrolaser pour la calibration de modèles physiques potentiellement utilisables pour d’autres applications.
iv. Stratégie de la modélisation
Ce travail de modélisation présente deux problématiques. La première est la problématique « multi-physique » puisque le fonctionnement du gyrolaser fait intervenir plusieurs domaines de la physique : la physique des plasmas de décharge, la physique atomique et la physique de l’amplification laser. La seconde est la problématique « multi-échelle ». En effet, en conditions opérationnelles, les performances d’un gyrolaser se caractérisent sur des temps de l’ordre de l’heure. Or, par exemple, le temps caractéristique de la variation d’intensité du laser est de l’ordre de la µs.
La stratégie adoptée pour ce travail est donc de séparer la modélisation globale en deux types de simulation en fonction des besoins. Cette stratégie est illustrée par le diagramme de modélisation sur la Figure INT-2. D’un côté, on distingue une simulation aux « temps courts » basée sur une approche « ab-initio » et modélisant au niveau microscopique et sur les premières ms du fonctionnement: le plasma de décharge, la cinétique atomique du plasma et l’amplification laser dans la cavité. Un des objectifs de cette approche est par exemple, de décrire précisément les profils radial et fréquentiel du gain laser afin de dériver certains paramètres physiques nécessaires au fonctionnement d’un modèle simplifié. L’approche utilisée ici est de traiter de manière indépendante ces 3 aspects par trois codes séparés. Nous verrons tout au long de ce manuscrit, les différentes étapes et les hypothèses de la construction de cette modélisation ab-initio.
De l’autre côté, on distingue un simulateur, basé sur un modèle physique réduit, et dans lequel sont intégrés plusieurs aspects systèmes permettant de reproduire le comportement opérationnel et le signal de sortie du gyrolaser. Ce simulateur permet d’accéder aux temps longs et d’analyser au travers d’études paramétriques, certains aspects des performances du gyrolaser, comme l’incertitude sur la mesure du gyrolaser à savoir le bruit de Random-Walk. Un autre intérêt de ce simulateur est, comme nous le verrons, qu’il permet une analyse précise de données expérimentales issues de gyrolasers et donc l’obtention de paramètres physiques permettant de valider certains aspects de la modélisation ab-initio.
Figure INT-1 : Diagramme de la modélisation globale du fonctionnement du gyrolaser.
v. Objectifs de la thèse et plan du manuscrit
Ce travail s’inscrit dans la continuité du travail effectué entre 2008 et 2011, notamment durant le post-doctorat de A. Aissi, période durant laquelle une première version du modèle d’amplification laser NADIA a été développée. Ces travaux se basent sur ceux de Wilkinson [7]. Cet auteur a été l’un des premiers à développer un modèle physique pour le gyrolaser, mais seulement du point de vue de l’amplification laser, les aspects plasma et de cinétique atomique n’étant pas traités. Le travail du LPGP se distingue donc par la prise en compte de ces trois aspects de manière globale. Suite à ces travaux montrant la faisabilité de cette modélisation globale, les objectifs de la thèse ont notamment été :
• D’améliorer le modèle physique, notamment sur l’aspect de la description des profils radial et fréquentiel du gain laser.
o Pour cela, le développement d’un modèle de cinétique atomique à 1 dimension radiale (1D-CRM) s’est révélé nécessaire.
o De même que le développement de modèles décrivant les phénomènes de transport d’atomes et de rayonnement.
• De coupler les modules physiques et systèmes pour construire le simulateur, pour ensuite permettre des études paramétriques sur les performances du gyrolaser.
• De valider expérimentalement les modèles physiques utilisés, notamment NADIA et M3EQ.
• De mettre à profit les outils de modélisation développés, pour répondre à certains problèmes observés en production.
Nous allons dans ce manuscrit décrire les différentes étapes de cette modélisation globale, en suivant le diagramme de modélisation :
• Dans le chapitre I, nous nous intéresserons à la description de la colonne positive du plasma d’hélium-néon en présentant le modèle utilisé ainsi que les résultats obtenus. Dans ce même chapitre, nous présenterons le modèle collisionnel-radiatif à 1 dimension (1D-CRM), développé au cours de cette thèse pour traiter la cinétique atomique du plasma.
• L’aspect 1D dans le modèle 1D-CRM se justifie par la prise en compte de phénomènes de transport dans la cinétique du plasma qu’il a été jugé nécessaire d’inclure au début de cette thèse au vu des confrontations expérience-modélisation, de l’effet qu’ils peuvent avoir sur les profils radial et fréquentiel du gain et de par l’aspect scientifique qu’ils représentent. Ces phénomènes concernent notamment le transfert radiatif d’une transition radiative du plasma He-Ne. Le modèle physique développé au cours de cette thèse pour traiter ce problème, ainsi que les résultats obtenus font l’objet du chapitre II.
• Dans le chapitre III, nous étudierons les différents aspects de la cinétique atomique menant à l’inversion de population laser dans le plasma du gyrolaser en présentant les résultats du code 1D-CRM incluant les résultats du transfert radiatif obtenus au chapitre II. L’effet des processus de transport sur le profil radial du gain est alors présenté.
• Le chapitre IV s’intéresse au modèle d’amplification laser NADIA. Il détaille les principes de l’amplification laser appliqué au cas spécifique du gyromètre laser. Les résultats obtenus sur les grandeurs telles le gain ou la puissance lasée sont exposés et confrontés à des résultats expérimentaux obtenus sur gyrolasers. Les différents aspects des performances du gyrolaser liés au milieu amplificateur sont également exposés.
• Enfin, le dernier chapitre présente le simulateur du gyrolaser, en détaillant d’une part le modèle physique utilisé (M3EQ) et les différents modules systèmes associés. D’autre part, les différents aspects essentiels des performances du senseur sont caractérisés à partir de ce modèle. Une étude paramétrique sur les grandeurs relatives aux performances du senseur, comme le bruit de Random Walk, est également présentée. Dans la seconde partie de ce chapitre, nous présentons l’aspect expérimental de ce travail de thèse. Notamment, le principe des mesures effectuées, les méthodes d’analyses développées au LPGP sont présentés. Les résultats obtenus sont détaillés et le cas échéant, confrontés à ceux de la modélisation.
Bibliographie
[1] M. Larsen and M. Bulatowicz. Nuclear magnetic resonance gyroscope: For darpa’s micro-technology for positioning, navigation and timing program. In Frequency Control Symposium (FCS), 2012 IEEE International, pages 1–5, May 2012.
[2] G. Sagnac. L’éther lumineux démontré par l’effet du vent relatif d’éther dans un interféromètre en rotation uniforme. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, 157:708, 1913.
[3] Karl Ulrich Schreiber and Jon-Paul R. Wells. Invited review article: Large ring lasers for rotation sensing. Review of Scientific Instruments, 84(4):041101, 2013.
[4] D.P. McLeod. Seismic Effects in Ring Lasers and Transverse Mode Selection in Helium-Neon Lasers. PhD thesis, University of Canterbury, 2000.
[5] Frederick Aronowitz. The laser gyro. Laser applications, 1:133, 1971.
[6] Frederick Aronowitz. 3. fundamentals of the ring laser gyro. Gyroscopes optiques et leurs applications, (339):15, 1999.
[7] J.R. Wilkinson. Ring lasers. Progress In Quantum Electronics, 11(1):1–103, 1987.
Chapitre I. Modélisation du plasma de décharge et de la
cinétique réactionnelle
Le but de ce chapitre est de décrire les modèles qui ont été développés pour traiter les deux premiers aspects de la modélisation globale du gyrolaser : le plasma dans la zone d’amplification des faisceaux laser et la cinétique atomique qui y est associée. Comme exposé en introduction, le but de la description du plasma est de donner accès à la densité et à la distribution en énergie des électrons. A partir de ces grandeurs, le traitement de la cinétique atomique a pour but de calculer la densité des états excités du mélange d’hélium-néon et les différents taux de collisions qui permettront de définir les caractéristiques de l’amplification laser, en particulier, l’inversion de population de la raie laser à 632.8 nm. Cette grandeur constitue une entrée majeure du code d’amplification laser, dernière étape de la modélisation globale.
Introduction sur la décharge
I.1.
La décharge créant le plasma est une décharge à courant continu entre deux électrodes, une anode de polarité positive et une cathode de polarité négative dans un mélange de gaz d’hélium-néon à une pression modérée (quelques mbars). La caractéristique courant-tension d’un tel type de décharge est illustrée sur la Figure I-1.
Classiquement, on distingue trois catégories de régimes de fonctionnement d’une décharge DC. La première liée aux très faibles courants (<µA) est dénommée ‘décharge sombre’ (dark discharge) du fait de la quasi absence de rayonnement visible émis par le plasma. L’augmentation de la tension de décharge jusqu’au point A engendre la mise en mouvement des électrons et des ions naturellement présents dans le gaz et de ce fait crée un faible courant de décharge. L’augmentation continue de la tension à partir du point A engendre une saturation du courant de décharge ‘naturel’. Dans ce cas, l’énergie fournie aux ions et électrons n’est pas encore suffisante pour ioniser les atomes de gaz. Ces phénomènes d’ionisation nécessitent une tension plus élevée, typiquement de plusieurs centaines de V, et qui augmente avec la pression du gaz. Lorsque ce niveau de tension est atteint, l’énergie cinétique fournie par le champ aux électrons est suffisante pour ioniser le gaz engendrant alors une augmentation du courant de décharge. C’est le régime de Townsend. Dans cette zone, de B à D, le courant augmente rapidement avec la tension de décharge, les phénomènes d’avalanches apparaissent, multipliant par plusieurs ordres de grandeur la densité de particules chargées au sein du plasma et par conséquent les espèces excitées. Les désexcitations radiatives de ces derniers induisent alors un rayonnement visible du plasma, on parle donc de décharge luminescente (« glow discharge »). Cette région, couvrant les courants de quelques dixièmes de mA à quelques centaines de mA est divisée en deux parties. La première dite « normale » (normal glow discharge) est caractérisée par le fait qu’une augmentation importante du courant de décharge est possible pour une tension de décharge relativement faible (D-H). Dans la seconde région, appelée « anormale » (abnormal glow discharge), la tension de décharge augmente fortement avec le courant (H-I). Cette zone est la dernière avant le passage au troisième régime de décharge, l’arc, qui correspond au claquage : le plasma fortement ionisé a une résistance quasi-nulle et le courant devient très élevé I-J).
Figure I-1 : Caractéristique courant-tension typique d'une décharge de glow. Obtenue dans le néon pur à 1 Torr entre deux électrodes planes distantes de 50 cm [1].
La Figure I-1 nous montre que c’est le courant plutôt que la tension qui permet de fixer l’état du plasma, c’est pourquoi, en particulier dans le cas du gyrolaser, on utilise un générateur de courant pour alimenter la décharge. Les valeurs en tension et en courant indiquées sur la Figure I-1 ne sont qu’indicatives, elles dépendent en particulier de la pression et de la composition du gaz et également des dimensions de la décharge. Typiquement, pour un même courant, la tension augmente avec la pression du gaz et avec la distance entre les électrodes. Les décharges luminescentes se caractérisent par la succession de plusieurs zones d’intensité lumineuse différente. Ces zones reflètent des variations de potentiel et de champ électrique au sein de la décharge qui sont bien connues. Ces corrélations sont reportées sur la Figure I-2 [2].
Figure I-2: Corrélation entre la distribution de champ et de potentiel au sein du plasma et l'intensité lumineuse de la décharge [2].
nécessaires à l’alimentation de la décharge, et par excitation, l’émission de rayonnement du « negative glow ». Un phénomène similaire mais de plus faible ampleur a lieu du coté anodique.
Dans la direction transverse il existe également un gradient de potentiel, celui du plasma étant plus élevé que celui des parois isolantes des tubes. Cette différence de potentiel sert à contrecarrer la différence de mobilité entre les ions et les électrons pour assurer un flux total de charges nul à la surface des isolants. On a donc également une gaine sombre dans la région proche des parois, dont l’épaisseur dépend principalement de la densité et de l’énergie moyenne des électrons du plasma.
Comme indiqué dans l’introduction générale, le gyrolaser comporte deux décharges DC identiques, de part et d’autre de l’axe liant la cathode au miroir sphérique. Celles-ci sont bien visibles sur Figure I-3 qui montre le gyrolaser en fonctionnement. Dans le cas du gyrolaser étudié, de forme triangulaire, la cathode commune aux deux décharges est creuse. Par conséquent les zones de « negative glow » sont confinées à l’intérieur de celle-ci. L’équivalent sur le gyrolaser de la ‘Faraday dark zone’ indiquée Figure I-2 est le bas de la réserve de gaz accolée à la cathode. Quant aux régions d’anode glow, du fait de la forte luminosité de la colonne positive, celles-ci ne sont pas visibles. La colonne positive, zone la plus importante spatialement dans le plasma, est quant à elle, bien visible sur la Figure I-3. Elle est confinée dans les capillaires de faible diamètre, et a une longueur totale de l’ordre de 5 cm par décharge si l’on néglige les zones plus larges proches des miroirs où la luminosité du plasma chute fortement. On observe dans cette région et à l’intérieur des capillaires que le plasma apparaît comme très uniforme axialement. De ce fait, il est généralement admis que les grandeurs physiques du plasma dans cette colonne positive, plus précisément les champs électriques longitudinal et transverse, les densités de courant, la densité de particules chargées ainsi que leur énergie ont une symétrie axiale et azimutale.
Figure I-3: Gyrolaser en fonctionnement
Dans le gyrolaser, la cinétique atomique interne à la colonne positive est à l’origine de l’inversion de population ou gain laser, nécessaire à l’amplification de la transition laser. Cette grandeur est proportionnelle à la longueur du plasma créée, et par conséquent à la longueur de la colonne positive. On suppose que la contribution des zones moins lumineuses proches des miroirs est négligeable. La colonne positive correspond également à la zone du plasma que rencontrent majoritairement les deux faisceaux contrarotatifs au cours de leur propagation dans la cavité et où par conséquent le couplage laser-plasma est le plus important. La modélisation du plasma de décharge et de sa cinétique va donc se focaliser sur la colonne positive. Nous allons voir comment il est possible de découpler ces deux aspects dans le cas d’un plasma faiblement ionisé, caractéristique de celui du gyrolaser en s’intéressant dans une première partie, à la modélisation de la décharge et de la cinétique des électrons, et dans un second temps en développant la modélisation de la cinétique atomique du plasma d’He-Ne.
Modélisation du plasma de la colonne positive
I.2.
Modèle Théorique
I.2.1.
Introduction I.2.1.1.Les décharges DC dans une colonne positive constituent probablement le sujet d’étude le plus étudié en physique des décharges. De nombreux modèles ont été proposés soit analytiques pour certains cas limites, soit faisant appel à des simulations numériques plus ou moins complexes, de type fluide, particulaire ou hybride [3]. Le modèle choisi pour modéliser cette décharge a été largement utilisé dans la communauté. Il a été développé en particulier au LPGP dans les années 2000 par G. Gousset en collaboration avec L.L. Alves. Le code numérique dérivé a été adapté au mélange He-Ne en 2009-2010 par l’équipe du LPGP avec A. Aissi de Sagem lors de la première étude sur le gyrolaser.
Le problème physique à résoudre est le suivant : on considère une tranche de plasma de la colonne positive dont le rayon du capillaire, la composition et la pression du gaz, de même que le courant de décharge sont fixés. La grande sensibilité des performances du gyrolaser à ces paramètres fait, qu’expérimentalement, ces paramètres sont connus avec une grande précision. En revanche, d’autres ont une influence plus limitée sur la décharge en elle-même. C’est le cas notamment de la température. Expérimentalement, on constate par exemple que la variation relative du potentiel entre les électrodes du capteur présenté à la Figure I-3 est inférieure à 2x10-4 V/K. D’autre part, du fait des faibles valeurs du courant, le chauffage du gaz est relativement limité et les gradients de densité associés aux gradients de température sont également faibles, nous supposons donc la température et la densité du gaz uniforme. Du fait du grand rapport longueur sur rayon des capillaires, nous négligeons les effets de bord. C’est-à-dire que le champ axial est également supposé uniforme, et en particulier indépendant de la distance à l’axe du capillaire. Par ailleurs, notons qu’ici encore les faibles valeurs considérées nous permettent de négliger l’influence du champ magnétique créé par le courant de décharge.
Les inconnues du problème sont donc les fonctions de distributions en vitesse et en position des différentes espèces (électrons, ions et atomes excités), la valeur du champ électrique axial, et le profil du champ électrique radial. Comme le montreront les résultats obtenus, dans nos conditions, il est possible de simplifier fortement la problématique en traitant séparément l’aspect décharge relatif aux espèces chargées (ions et électrons) de celui des espèces atomiques excitées qui sera calculé par le modèle cinétique, une fois résolu le modèle de la décharge détaillé ci-dessous.
Hypothèses du modèle I.2.1.2.
I.2.1.2.1. Approximation fluide
telle approche lourde à mettre en œuvre, ne se justifiant pas dans le cadre de cette étude, une approche plus simple de type fluide a été choisie.
La particularité du modèle fluide est que chaque espèce chargée du plasma, électrons et ions, est considérée comme un fluide en mouvement sous l’action du champ électrique. Cette méthode introduit l’approximation locale, c’est-à-dire en particulier que les coefficients de transport doivent être écrits comme des fonctions explicites des propriétés locales du plasma indépendamment de la valeur des gradients. La condition nécessaire pour que cette approximation locale soit valide est que les libres parcours moyens λ des ions et des électrons soient petits devant la longueur de gradient des différentes grandeurs physiques, qui peut être approximée dans notre cas au rayon du tube R. Le rapport entre cette grandeur et le libre parcours moyen peut être estimé en calculant le produit NR exprimé en 1016 cm-2, où N est la densité du gaz, multiplié par la section efficace de collisions σ :
R NRσ
λ = (I.1)
Les principales sections efficaces de collisions étant de l’ordre de grandeur de 10 cm−16 2la
condition de validité de l’approximation fluide peut s’exprimer ainsi commeNR >>1. Dans les conditions nominales du gyrolaser, c’est-à-dire une pression comprise entre 5 et 10 mbar et un rayon du capillaire légèrement supérieur au mm, nous avons NR ≈3. Bien que située à la limite du domaine de validité, l’approche fluide est a priori justifiée d’autant plus que pour l’amplification laser, comme nous le verrons plus loin, la zone la plus importante est celle proche de l’axe où les gradients sont les plus faibles.
Le modèle fluide repose sur le calcul des premiers moments de l’équation de Boltzmann : la densité, l’impulsion et l’énergie pour les électrons. Les ions ayant leur masse proche de celle des différents neutres, ils échangent efficacement leur énergie avec les atomes du plasma. Dans la colonne positive les ions ont ainsi une dispersion en énergie proche de la température du gaz, qui est très faible par rapport à l’énergie électrostatique. Dans le modèle utilisé, on néglige cette dispersion en énergie des ions, approximation dite des ions froids [4]. Pour les ions, on ne calcule donc que les deux premiers moments de l’équation de Boltzmann. Au total les équations fluides du plasma se composent de cinq équations de transport radial, trois équations pour les électrons (densité, impulsion et énergie) et deux équations pour les ions (densité et impulsion).
I.2.1.2.2. Coefficients de transport
La détermination des coefficients de transport (coefficients de diffusion et mobilités) introduits dans les équations fluides est un aspect central, ayant une forte influence sur la précision du modèle. Concernant les électrons, un point très important est que leur fonction de distribution s’écarte fortement d’une Maxwellienne, notamment aux énergies intervenant pour le peuplement des atomes excités. Ceci est dû à la faible ionisation du plasma. La fonction de distribution est donc gouvernée par les collisions électron-neutre beaucoup plus fréquentes que les collisions électron-électron, on parle dans ce cas de plasma hors équilibre. Se pose donc la question de déterminer la fonction de distribution des électrons pour calculer les coefficients de transport. Ceci est réalisé en résolvant l’équation de Boltzmann dans l’approximation locale c’est-à-dire à 0 dimension (0D), ce qui simplifie déjà fortement le problème. D’autre part, nous faisons l’approximation, justifiée dans le cas de la colonne positive, des champs faibles : la perturbation introduite par le champ est suffisamment faible pour que la fonction de distribution reste quasi-isotrope. Le traitement de l’équation de
Boltzmann locale est alors fait au premier ordre d’anisotropie, on parle d’approximation à deux termes [5, 4].
I.2.1.2.3. Cinétique du plasma
Plusieurs distinctions apparaissent lorsque l’on compare un plasma à un fluide. La première étant que le plasma est un milieu réactif et chargé où il existe un transfert d’énergie entre les particules chargées, dans notre cas les électrons, et les atomes neutres du gaz. Il est ainsi nécessaire de réaliser le bilan des collisions inélastiques en termes d’énergie et de création d’espèces chargées. Ces collisions vont « dessiner » la fonction de distribution des particules et doivent par conséquent être pris en compte dans la résolution de l’équation de Boltzmann. Le cas considéré de la colonne positive du gyrolaser permet cependant d’introduire plusieurs hypothèses simplificatrices justifiées. La première est que nous considérons un état d’équilibre stationnaire : en chacun des points, les densités, la distribution en énergie et les flux des particules chargées ou neutres sont constantes.
Une autre simplification importante provient du fait que le gyrolaser opère dans le domaine des pressions modérées et surtout des faibles courants. Le taux d’ionisation observé est suffisamment faible (~10−5) pour pouvoir négliger les collisions entre électrons et états excités du gaz. De ce fait, seuls les processus d’excitation et d’ionisation par des électrons collisionnant avec des atomes de gaz dans leur état fondamental seront considérés, la cinétique complète des états excités du mélange de gaz sera elle, traitée dans le code cinétique décrit dans la seconde moitié de ce chapitre. Comme nous l’avons indiqué, la probabilité de collisions entre électrons est faible, ce qui explique le caractère hors-équilibre du plasma. Dans notre cas elle peut même être négligée. En effet, ce processus a dans les décharges DC, un impact limité sur la fonction de distribution des électrons, tant que le taux d’ionisation ne dépasse pas 10−5
[6] et sera donc négligé dans notre modèle.
Le fort ratio He:Ne (>10) du mélange de gaz montre que l’hélium va jouer un rôle dominant. L’effet du néon sur le comportement de la décharge électrique et sur des grandeurs moyennes telle que la ‘température’ électronique est limité (voir par exemple les résultats de [7]). Cependant, la présence même faible du néon, peut modifier de façon significative la fonction de distribution en énergie des électrons dans les régions proches du maximum d’excitation des espèces qui nous intéressent. C’est pourquoi ce modèle considère le mélange dans le cadre d’un atome moyen. C’est-à-dire que les différents taux d’excitation et d’ionisation de He et Ne sont introduits en prenant en compte les proportions de chacun des gaz. De même, la contribution de chacun des gaz est introduite dans la détermination de la mobilité moyenne des ions.
Les taux d’excitation et d’ionisation moyens contrôlant la cinétique des électrons dans le modèle fluide sont déterminés à partir de la fonction de distribution des électrons. Le code de résolution de l’équation de Boltzmann est donc utilisé d’une part dans le modèle plasma pour déterminer les coefficients de transport et ensuite par le code cinétique pour déterminer, pour chaque position radiale, les différents taux de collisions électron-atome.
I.2.1.2.4. Gaine radiale
l’équation de Poisson liant la densité de charge dans la gaine et le potentiel de charge d’espace créé. Le caractère isolant des parois du capillaire va introduire une condition sur les flux de particules chargées arrivant sur ces parois. C’est la condition d’avoir une densité de courant radial nulle au niveau du diélectrique qui va en fait nous permettre de déterminer la valeur du champ axial pour une valeur de courant donnée.
La modélisation de la colonne positive d’une décharge DC, en couplant les équations fluides, l’équation de Boltzmann homogène ou inhomogène et l’équation de Poisson est aujourd’hui un cas bien connu, presque standard. Le même type de code que celui développé au LPGP est utilisé par plusieurs groupes. La théorie sur laquelle repose ce modèle est donc largement bien exposée et bien détaillée dans la littérature, notamment dans [5, 8, 6, 4] [9], nous nous contenterons donc d’exposer dans les parties suivantes les points importants de la mise en œuvre du modèle, en donnant le détail des calculs en Annexe I.
Equation de Boltzmann et approximation à deux-termes I.2.1.3.
L’approche fluide est basée sur la résolution d’équations de transport hydrodynamiques pour chaque espèce chargée dérivées de l’équation de Boltzmann correspondante. Notre modèle utilise l’équation de Boltzmann dans un cas stationnaire, reportée ci-dessous [4] :
( )
. r . c q E f f f mα α tα α α υ υ ∂ ∂ ∇ + = ∂ ∂ , (I.2)où fαest la fonction de distribution en énergie des électrons (α =e), ou des ions (α =i) dans
l’espace des phases ( , )r υ . Son intégrale sur l’espace des vitesses mène à la densité de particules : ( ) ( , ) n rα f r dα υ υ +∞ −∞ =
∫
.
(I.3)mαetqαsont respectivement la masse et la charge électrique des particules chargées.E
est le champ électrique total, c’est-à-dire la somme du champ longitudinal suivant l’axe du capillaire x et du champ transverse de charge d’espace suivant l’axe r.
Le terme de gauche dans l’équation de Boltzmann est en fait la dérivée totale dans l’espace des phases de la fonction de distribution, où le terme temporel est nul (cas stationnaire) :
( )
. . y x z x y z r d d d dF f f dx f dy f dz f f f dt t x dt y dt z dt dt dt dt q E f = f mα α α α υ υ υ υ υ υ υ υ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ + ∂ (I.4)
où l’on pose selon le principe fondamental de la dynamique et les forces en présence :
d m q E dt α α υ =
(I.5) Le terme de droite de l’équation de Boltzmann stationnaire rend compte des variations temporelles de la fonction de distribution des particules, liées aux collisions entres espèces chargées ou avec les atomes neutres et excités du mélange de gaz. De ce fait, l’équation de
Boltzmann dans notre cas correspond à un équilibre de la fonction de distribution dans l’espace des phases, entre la diffusion (termes de gauche) et les collisions (termes de droite). Comme nous l’avons vu dans l’introduction de ce chapitre, la colonne positive et uniforme suivant x et admet une symétrie axiale autour de l’axe du capillaire qui dès lors, réduit l’espace des positions à trois dimensions ( , , )x y z à un espace à une dimension en r. Dans cette configuration le champ électrique total s’écrit alors :
( ) x x r( ) r E r =E u E r u+
,
(I.6) oùEx est le champ électrique longitudinal supposé uniforme et Er
le champ radial de charge d’espace.
L’équation de Boltzmann permet, à partir du calcul de ses premiers moments, de dériver les équations de transport des espèces chargées du modèle fluide. Elle est également utilisée pour déterminer les coefficients de transport et les taux de collisions relatifs à la cinétique des électrons et nécessaires à la résolution de ce modèle. Ce calcul est effectué dans l’approche locale, c’est-à-dire en considérant un plasma uniforme en présence d’un champ électrique statique et en utilisant l’approximation de faible anisotropie valable pour les faibles valeurs de champ. L’orientation de cette anisotropie, notée ua, est due à l’action combinée du champ
total (axial et radial) et de son gradient.
L’approximation de faible anisotropie consiste à développer autour de cette direction et selon des polynômes de Legendre (harmoniques sphériques), la fonction de distribution en énergie des électrons [4]. Au premier ordre la fonction de distribution devient alors :
1 0 ( , ) e ( , ) ( / ). ( , ),e e f rυ f rυ + υ υ f r υ
(I.7) où 0 e
f est le terme isotrope de la distribution et 1( , ) 1( , ).
e e a
f rυ = f rυ u
le terme anisotrope. L’introduction de cette approximation dans l’équation de Boltzmann (I.2) conduit au système de deux équations:
(
)
2 1 1 3 0 0 2 0 1 0 1 . . 3 3 e e e e e r e e c x I e r c e e m e f E f f q v f m M f e f f E m υ υ ν υ ν υ υ ν υ υ ∂ ∇ − + = − − ∂ ∂ = − ∇ + ∂ ,
(I.8)où eest la charge de l’électron et M la masse moyenne des atomes de gaz en tenant compte des proportions relatives respectives de He et Ne dans le mélange de gaz. νcest la fréquence
de transfert de quantité de mouvement par collisions électrons-neutres, νxla fréquence de
collision inélastiques entre les électrons et les neutres provoquant l’excitation vers l’ensemble des états excités du mélange de gaz et vIla fréquence d’ionisation des atomes neutres par des
électrons. Ces processus vont avoir pour effet de dépeupler la fonction de distribution pour des électrons d’énergies supérieures aux énergies d’excitation et d’ionisation. Cette diffusion des électrons de haute énergie vers une énergie plus faible εsuite aux collisions inélastiques est prise en compte par l’opérateur q .
l’espace des vitesses liés à l’accélération des électrons suivant le champ, et aux collisions élastiques électrons-neutres. La somme de ces flux égale les termes de gains et de pertes liés aux collisions inélastiques (terme de droite) pour chaque point de l’espace des phases.
La seconde équation, ou « équation anisotrope », montre que le terme d’anisotropie de la fonction de distribution est lié à un terme de flux dans l’espace des configurations de la partie isotrope et est associé à un flux dans l’espace des vitesses lié au champ électrique.
La fonction de distribution en énergie radiale des électrons fr( )ε , grandeur importante à
déterminer pour la suite du travail de modélisation est définie suivant la partie isotrope de la fonction de distribution des électrons dans l’espace des phases selon la relation
0( , )4 2 ( ) ( ) e r e f r v d f d n r πυ υ ε ε ε =
,
(I.9)oùεest l’énergie des électrons. fr( )ε satisfait la condition de normalisation suivante :
1/2 0 ( ) 1 r f ε ε dε ∞ =
∫
(I.10)
Equations fluides relatives aux électrons I.2.1.4.
Les équations de transport des électrons et des ions sont calculées à partir des premiers moments de l’équation régissant chaque espèce, l’équation de Boltzmann pour les électrons (EBE, (I.8)) et celle des ions (EBI, (I.2)).
Le premier moment de l’équation isotrope de l’EBE est calculé en intégrant cette équation sur l’espace des vitesses (cf. Annexe I). Elle permet de dériver l’équation de continuité de la densité des électrons sur la dimension radiale :
. r r n νe I
∇ Γ = (I.11)
Cette équation montre que la variation du flux radial d’électrons est compensée dans le cas stationnaire par la création d’électrons par ionisation.
Le moment d’ordre 1 de l’équation anisotrope de l’EBE permet de déterminer le flux radial d’électrons Γr:
(
)
,r r D ne e n Ee eµ r
Γ = −∇ − (I.12)
où De est le coefficient de diffusion des électrons et µ leur mobilité. A noter que ces e
grandeurs admettent une dépendance radiale au travers de l’énergie moyenne. Le premier terme correspond donc au terme de diffusion sous l’effet du gradient de densité, ou loi de Fick, et le second au terme de transport sous l’effet du champ de charge d’espace.
Le calcul du moment d’ordre 2 de l’équation isotrope de l’EBE permet de déterminer l’équation de conservation de l’énergie des électrons. Celle-ci est reportée ci-dessous :
