Modèle Théorique I.2.1

Modèle Théorique

I.2.1.

Introduction I.2.1.1.

Les décharges DC dans une colonne positive constituent probablement le sujet d’étude le plus étudié en physique des décharges. De nombreux modèles ont été proposés soit analytiques pour certains cas limites, soit faisant appel à des simulations numériques plus ou moins complexes, de type fluide, particulaire ou hybride [3]. Le modèle choisi pour modéliser cette décharge a été largement utilisé dans la communauté. Il a été développé en particulier au LPGP dans les années 2000 par G. Gousset en collaboration avec L.L. Alves. Le code numérique dérivé a été adapté au mélange He-Ne en 2009-2010 par l’équipe du LPGP avec A. Aissi de Sagem lors de la première étude sur le gyrolaser.

Le problème physique à résoudre est le suivant : on considère une tranche de plasma de la colonne positive dont le rayon du capillaire, la composition et la pression du gaz, de même que le courant de décharge sont fixés. La grande sensibilité des performances du gyrolaser à ces paramètres fait, qu’expérimentalement, ces paramètres sont connus avec une grande précision. En revanche, d’autres ont une influence plus limitée sur la décharge en elle-même. C’est le cas notamment de la température. Expérimentalement, on constate par exemple que la variation relative du potentiel entre les électrodes du capteur présenté à la Figure I-3 est inférieure à 2x10^-4 V/K. D’autre part, du fait des faibles valeurs du courant, le chauffage du gaz est relativement limité et les gradients de densité associés aux gradients de température sont également faibles, nous supposons donc la température et la densité du gaz uniforme. Du fait du grand rapport longueur sur rayon des capillaires, nous négligeons les effets de bord. C’est-à-dire que le champ axial est également supposé uniforme, et en particulier indépendant de la distance à l’axe du capillaire. Par ailleurs, notons qu’ici encore les faibles valeurs considérées nous permettent de négliger l’influence du champ magnétique créé par le courant de décharge.

Les inconnues du problème sont donc les fonctions de distributions en vitesse et en position des différentes espèces (électrons, ions et atomes excités), la valeur du champ électrique axial, et le profil du champ électrique radial. Comme le montreront les résultats obtenus, dans nos conditions, il est possible de simplifier fortement la problématique en traitant séparément l’aspect décharge relatif aux espèces chargées (ions et électrons) de celui des espèces atomiques excitées qui sera calculé par le modèle cinétique, une fois résolu le modèle de la décharge détaillé ci-dessous.

Hypothèses du modèle I.2.1.2.

I.2.1.2.1. Approximation fluide

De façon générale, les deux équations à résoudre pour déterminer l’état d’un plasma sont d’une part l’équation de Boltzmann pour les fonctions de distribution des espèces chargées et d’autre part l’équation de Poisson pour le champ électrique, ces deux équations étant couplées. La résolution directe de l’équation de Boltzmann à 1 dimension d’espace reste un problème complexe, résolu le plus souvent par des méthodes numériques de type particules en cellule associées à une approche Monte-Carlo pour traiter les collisions (codes PIC-MC). Une 22

telle approche lourde à mettre en œuvre, ne se justifiant pas dans le cadre de cette étude, une approche plus simple de type fluide a été choisie.

La particularité du modèle fluide est que chaque espèce chargée du plasma, électrons et ions, est considérée comme un fluide en mouvement sous l’action du champ électrique. Cette méthode introduit l’approximation locale, c’est-à-dire en particulier que les coefficients de transport doivent être écrits comme des fonctions explicites des propriétés locales du plasma indépendamment de la valeur des gradients. La condition nécessaire pour que cette approximation locale soit valide est que les libres parcours moyens λ des ions et des électrons soient petits devant la longueur de gradient des différentes grandeurs physiques, qui peut être approximée dans notre cas au rayon du tube R. Le rapport entre cette grandeur et le libre parcours moyen peut être estimé en calculant le produit NR exprimé en 1016 cm-2, où N est la densité du gaz, multiplié par la section efficace de collisions σ :

R NRσ

λ ^{= (I.1)}

Les principales sections efficaces de collisions étant de l’ordre de grandeur de 10 cm−16 2la condition de validité de l’approximation fluide peut s’exprimer ainsi commeNR >>1. Dans les conditions nominales du gyrolaser, c’est-à-dire une pression comprise entre 5 et 10 mbar et un rayon du capillaire légèrement supérieur au mm, nous avons NR ≈3. Bien que située à la limite du domaine de validité, l’approche fluide est a priori justifiée d’autant plus que pour l’amplification laser, comme nous le verrons plus loin, la zone la plus importante est celle proche de l’axe où les gradients sont les plus faibles.

Le modèle fluide repose sur le calcul des premiers moments de l’équation de Boltzmann : la densité, l’impulsion et l’énergie pour les électrons. Les ions ayant leur masse proche de celle des différents neutres, ils échangent efficacement leur énergie avec les atomes du plasma. Dans la colonne positive les ions ont ainsi une dispersion en énergie proche de la température du gaz, qui est très faible par rapport à l’énergie électrostatique. Dans le modèle utilisé, on néglige cette dispersion en énergie des ions, approximation dite des ions froids [4]. Pour les ions, on ne calcule donc que les deux premiers moments de l’équation de Boltzmann. Au total les équations fluides du plasma se composent de cinq équations de transport radial, trois équations pour les électrons (densité, impulsion et énergie) et deux équations pour les ions (densité et impulsion).

I.2.1.2.2. Coefficients de transport

La détermination des coefficients de transport (coefficients de diffusion et mobilités) introduits dans les équations fluides est un aspect central, ayant une forte influence sur la précision du modèle. Concernant les électrons, un point très important est que leur fonction de distribution s’écarte fortement d’une Maxwellienne, notamment aux énergies intervenant pour le peuplement des atomes excités. Ceci est dû à la faible ionisation du plasma. La fonction de distribution est donc gouvernée par les collisions électron-neutre beaucoup plus fréquentes que les collisions électron-électron, on parle dans ce cas de plasma hors équilibre. Se pose donc la question de déterminer la fonction de distribution des électrons pour calculer les coefficients de transport. Ceci est réalisé en résolvant l’équation de Boltzmann dans l’approximation locale c’est-à-dire à 0 dimension (0D), ce qui simplifie déjà fortement le problème. D’autre part, nous faisons l’approximation, justifiée dans le cas de la colonne positive, des champs faibles : la perturbation introduite par le champ est suffisamment faible pour que la fonction de distribution reste quasi-isotrope. Le traitement de l’équation de

Boltzmann locale est alors fait au premier ordre d’anisotropie, on parle d’approximation à deux termes [5, 4].

I.2.1.2.3. Cinétique du plasma

Plusieurs distinctions apparaissent lorsque l’on compare un plasma à un fluide. La première étant que le plasma est un milieu réactif et chargé où il existe un transfert d’énergie entre les particules chargées, dans notre cas les électrons, et les atomes neutres du gaz. Il est ainsi nécessaire de réaliser le bilan des collisions inélastiques en termes d’énergie et de création d’espèces chargées. Ces collisions vont « dessiner » la fonction de distribution des particules et doivent par conséquent être pris en compte dans la résolution de l’équation de Boltzmann. Le cas considéré de la colonne positive du gyrolaser permet cependant d’introduire plusieurs hypothèses simplificatrices justifiées. La première est que nous considérons un état d’équilibre stationnaire : en chacun des points, les densités, la distribution en énergie et les flux des particules chargées ou neutres sont constantes.

Une autre simplification importante provient du fait que le gyrolaser opère dans le domaine des pressions modérées et surtout des faibles courants. Le taux d’ionisation observé est suffisamment faible (~10−⁵) pour pouvoir négliger les collisions entre électrons et états excités du gaz. De ce fait, seuls les processus d’excitation et d’ionisation par des électrons collisionnant avec des atomes de gaz dans leur état fondamental seront considérés, la cinétique complète des états excités du mélange de gaz sera elle, traitée dans le code cinétique décrit dans la seconde moitié de ce chapitre. Comme nous l’avons indiqué, la probabilité de collisions entre électrons est faible, ce qui explique le caractère hors-équilibre du plasma. Dans notre cas elle peut même être négligée. En effet, ce processus a dans les décharges DC, un impact limité sur la fonction de distribution des électrons, tant que le taux d’ionisation ne dépasse pas 10−5

[6] et sera donc négligé dans notre modèle.

Le fort ratio He:Ne (>10) du mélange de gaz montre que l’hélium va jouer un rôle dominant. L’effet du néon sur le comportement de la décharge électrique et sur des grandeurs moyennes telle que la ‘température’ électronique est limité (voir par exemple les résultats de [7]). Cependant, la présence même faible du néon, peut modifier de façon significative la fonction de distribution en énergie des électrons dans les régions proches du maximum d’excitation des espèces qui nous intéressent. C’est pourquoi ce modèle considère le mélange dans le cadre d’un atome moyen. C’est-à-dire que les différents taux d’excitation et d’ionisation de He et Ne sont introduits en prenant en compte les proportions de chacun des gaz. De même, la contribution de chacun des gaz est introduite dans la détermination de la mobilité moyenne des ions.

Les taux d’excitation et d’ionisation moyens contrôlant la cinétique des électrons dans le modèle fluide sont déterminés à partir de la fonction de distribution des électrons. Le code de résolution de l’équation de Boltzmann est donc utilisé d’une part dans le modèle plasma pour déterminer les coefficients de transport et ensuite par le code cinétique pour déterminer, pour chaque position radiale, les différents taux de collisions électron-atome.

I.2.1.2.4. Gaine radiale

La seconde distinction avec un fluide est que, en plus du champ longitudinal lié à la différence potentiel appliquée entre les deux électrodes, les espèces chargées du plasma vont créer et interagir avec un champ latéral, ou champ de charge d’espace, modifiant leur profil radial. Ce champ de charge d’espace vient en réponse à la séparation de charge générée par la grande différence de mobilité entre les ions et les électrons. Le modèle utilisé doit donc résoudre 24

l’équation de Poisson liant la densité de charge dans la gaine et le potentiel de charge d’espace créé. Le caractère isolant des parois du capillaire va introduire une condition sur les flux de particules chargées arrivant sur ces parois. C’est la condition d’avoir une densité de courant radial nulle au niveau du diélectrique qui va en fait nous permettre de déterminer la valeur du champ axial pour une valeur de courant donnée.

La modélisation de la colonne positive d’une décharge DC, en couplant les équations fluides, l’équation de Boltzmann homogène ou inhomogène et l’équation de Poisson est aujourd’hui un cas bien connu, presque standard. Le même type de code que celui développé au LPGP est utilisé par plusieurs groupes. La théorie sur laquelle repose ce modèle est donc largement bien exposée et bien détaillée dans la littérature, notamment dans [5, 8, 6, 4] [9], nous nous contenterons donc d’exposer dans les parties suivantes les points importants de la mise en œuvre du modèle, en donnant le détail des calculs en Annexe I.

Equation de Boltzmann et approximation à deux-termes I.2.1.3.

L’approche fluide est basée sur la résolution d’équations de transport hydrodynamiques pour chaque espèce chargée dérivées de l’équation de Boltzmann correspondante. Notre modèle utilise l’équation de Boltzmann dans un cas stationnaire, reportée ci-dessous [4] :

( )

. r . c q E f f f m^{α α} t^α α α υ υ ∂ ∂  ∇ + _∂ = _{ ∂} _     , (I.2)

où f_αest la fonction de distribution en énergie des électrons (α =e), ou des ions (α =i) dans l’espace des phases ( , )r^{ }υ . Son intégrale sur l’espace des vitesses mène à la densité de particules : ( ) ( , ) n r_α ^+∞ f r d_α υ υ −∞ =

∫

   

.

(I.3)

m_αetq_αsont respectivement la masse et la charge électrique des particules chargées.^Eest le champ électrique total, c’est-à-dire la somme du champ longitudinal suivant l’axe du capillaire x et du champ transverse de charge d’espace suivant l’axe r.

Le terme de gauche dans l’équation de Boltzmann est en fait la dérivée totale dans l’espace des phases de la fonction de distribution, où le terme temporel est nul (cas stationnaire) :

( )

. . y x z x y z r d d d dF f f dx f dy f dz f f f dt t x dt y dt z dt dt dt dt q E f = f m^{α α} α α υ υ υ υ υ υ υ υ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ + ∂    

(I.4)

où l’on pose selon le principe fondamental de la dynamique et les forces en présence :

d m q E dt α α υ _{= }

(I.5)

Le terme de droite de l’équation de Boltzmann stationnaire rend compte des variations temporelles de la fonction de distribution des particules, liées aux collisions entres espèces chargées ou avec les atomes neutres et excités du mélange de gaz. De ce fait, l’équation de

Boltzmann dans notre cas correspond à un équilibre de la fonction de distribution dans l’espace des phases, entre la diffusion (termes de gauche) et les collisions (termes de droite). Comme nous l’avons vu dans l’introduction de ce chapitre, la colonne positive et uniforme suivant x et admet une symétrie axiale autour de l’axe du capillaire qui dès lors, réduit l’espace des positions à trois dimensions ( , , )x y z à un espace à une dimension en r. Dans cette configuration le champ électrique total s’écrit alors :

( ) _{x x r}( ) _r

E r =E u E r u+

  

,

(I.6)

oùE^_xest le champ électrique longitudinal supposé uniforme et ^E_r le champ radial de charge d’espace.

L’équation de Boltzmann permet, à partir du calcul de ses premiers moments, de dériver les équations de transport des espèces chargées du modèle fluide. Elle est également utilisée pour déterminer les coefficients de transport et les taux de collisions relatifs à la cinétique des électrons et nécessaires à la résolution de ce modèle. Ce calcul est effectué dans l’approche locale, c’est-à-dire en considérant un plasma uniforme en présence d’un champ électrique statique et en utilisant l’approximation de faible anisotropie valable pour les faibles valeurs de champ. L’orientation de cette anisotropie, notée u^a, est due à l’action combinée du champ total (axial et radial) et de son gradient.

L’approximation de faible anisotropie consiste à développer autour de cette direction et selon des polynômes de Legendre (harmoniques sphériques), la fonction de distribution en énergie des électrons [4]. Au premier ordre la fonction de distribution devient alors :

1 0 ( , ) _e ( , ) ( / ). ( , ),_e e f rυ f rυ + υ υ f r υ 

(I.7) où 0 e

f est le terme isotrope de la distribution et f r¹_e( , )υ = f r_e1( , ).υ ua

le terme anisotrope. L’introduction de cette approximation dans l’équation de Boltzmann (I.2) conduit au système de deux équations:

( )

2 1 1 _{3 0 0} 2 0 1 ₀ 1 . . 3 3 e e e e e r _{e e c x I} e r c e e m e f E f f q v f m M f e f f E m υ υ _{ν υ ν} υ υ ν υ υ   ∂ ∇ − _ + _= − − ∂   ∂ = − ∇ + ∂       

,

(I.8)

où eest la charge de l’électron et M la masse moyenne des atomes de gaz en tenant compte des proportions relatives respectives de He et Ne dans le mélange de gaz. νcest la fréquence de transfert de quantité de mouvement par collisions électrons-neutres, νxla fréquence de collision inélastiques entre les électrons et les neutres provoquant l’excitation vers l’ensemble des états excités du mélange de gaz et vIla fréquence d’ionisation des atomes neutres par des électrons. Ces processus vont avoir pour effet de dépeupler la fonction de distribution pour des électrons d’énergies supérieures aux énergies d’excitation et d’ionisation. Cette diffusion des électrons de haute énergie vers une énergie plus faible εsuite aux collisions inélastiques est prise en compte par l’opérateur q .

Le premier terme de la première équation ou « équation isotrope » rend compte du flux d’électrons suivantr, alors que les second et troisième termes correspondent aux flux dans 26

l’espace des vitesses liés à l’accélération des électrons suivant le champ, et aux collisions élastiques électrons-neutres. La somme de ces flux égale les termes de gains et de pertes liés aux collisions inélastiques (terme de droite) pour chaque point de l’espace des phases.

La seconde équation, ou « équation anisotrope », montre que le terme d’anisotropie de la fonction de distribution est lié à un terme de flux dans l’espace des configurations de la partie isotrope et est associé à un flux dans l’espace des vitesses lié au champ électrique.

La fonction de distribution en énergie radiale des électrons f_r( )ε , grandeur importante à déterminer pour la suite du travail de modélisation est définie suivant la partie isotrope de la fonction de distribution des électrons dans l’espace des phases selon la relation

0( , )4 2 ( ) ( ) e r e f r v d f d n r πυ υ ε ε ε =

,

(I.9)

oùεest l’énergie des électrons. f_r( )ε satisfait la condition de normalisation suivante :

1/2 0 ( ) 1 r f ε ε dε ∞ =

∫

(I.10)

Equations fluides relatives aux électrons I.2.1.4.

Les équations de transport des électrons et des ions sont calculées à partir des premiers moments de l’équation régissant chaque espèce, l’équation de Boltzmann pour les électrons (EBE, (I.8)) et celle des ions (EBI, (I.2)).

Le premier moment de l’équation isotrope de l’EBE est calculé en intégrant cette équation sur l’espace des vitesses (cf. Annexe I). Elle permet de dériver l’équation de continuité de la densité des électrons sur la dimension radiale :

. r r n ν_{e I}

∇ Γ = 

(I.11) Cette équation montre que la variation du flux radial d’électrons est compensée dans le cas stationnaire par la création d’électrons par ionisation.

Le moment d’ordre 1 de l’équation anisotrope de l’EBE permet de déterminer le flux radial d’électrons Γr :

( )

, r r D n_{e e} n E_{e e}µ r Γ = −∇  −  (I.12) où De est le coefficient de diffusion des électrons et µ leur mobilité. A noter que ces e

grandeurs admettent une dépendance radiale au travers de l’énergie moyenne. Le premier terme correspond donc au terme de diffusion sous l’effet du gradient de densité, ou loi de Fick, et le second au terme de transport sous l’effet du champ de charge d’espace.

Le calcul du moment d’ordre 2 de l’équation isotrope de l’EBE permet de déterminer l’équation de conservation de l’énergie des électrons. Celle-ci est reportée ci-dessous :

2 _{. .} 2 _e x r r r j I e e c e j i e j m n E E n v v n M ε µ − Γ − ∇ Γ = εν +^_ Ε + Ε ^_ 

∑

     

(I.13) 27

Le premier terme du membre de gauche de l’équation (I.13) correspond au chauffage des électrons par le champ électrique longitudinal. Le second correspond au refroidissement des électrons par le champ de charge d’espace radial. En effet, nous verrons un peu plus bas, que le flux d’électrons et le champ radial sont positifs. Enfin, le dernier correspond à la divergence du flux d’énergie Γε

dont l’équation est décrite dans le paragraphe suivant. Les termes de droite correspondent aux termes de pertes collisionnelles. Le premier est lié aux pertes d’énergies par collision élastique à un taux moyen εν_{c. Le second correspond aux pertes par}

collisions inélastiques engendrant : l’excitation vers un niveau excité jd’énergieΕ_jà un taux moyen vjet l’ionisation, dont l’énergie de première ionisation estΕ_i, à un taux moyenv . I

L’équation sur le flux en énergieΓε

est obtenue en calculant le moment d’ordre 3 de l’équation anisotrope de l’EBE. Cela donne :

( )

2 ₁ 3 0 4 2 3 e r _{e e} e m _{f d D n n E} e ε ^∞ υ πυ υ _ε ε µ ε_ε Γ =

∫

= ∇ −    

(I.14)

Cette équation similaire dans sa construction à celle sur le flux d’électrons montre que le transport non local d’énergie est lié : au phénomène de diffusion, ou conductivité, reflétée par le premier terme du membre de droite, où D_ε est le coefficient de conductivité, et à un transport d’énergie liée à la diffusion par le champ électrique avec une mobilitéµ_ε. A noter que dans l’équation (I.13) seule la composante radiale de ce terme intervient puisque la composante longitudinale disparaît lors du produit scalaire avec l’opérateur divergence∇r.

Equations fluides relatives aux ions I.2.1.5.

Comme discuté en introduction de cette partie, la dispersion en énergie des ions est négligée, i.e. , avec T_ietT respectivement la température des ions et du gaz. Par conséquent, _g seules les équations de continuité de la densité et de la quantité de mouvement sont traitées pour les ions.

L’équation de continuité de la densité d’ions est dérivée, en Annexe I, à partir de l’EBI (I.2). Elle est similaire à l’équation (I.11) :

.( )

r n_iυi n_{e I}ν

∇ =

 

(I.15)

Cette équation montre que, localement, la variation radiale du flux d’ions est égale à la création nette d’ions.

Le calcul du moment d’ordre un permet de dériver l’équation de transport de la quantité de mouvement des ions dans la direction radiale :

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