D OP r D D θ θ ϕ θ ϕ = + . (II.34) 1 i
r+ , distance radiale à l’axe Oxdu point P est alors déterminée suivant la relation :
(
2 2 2)
121 sin ( ) 2 sin( )cos
i i i
r+ = r +D θ + r D θ ϕ (II.35)
On obtient ici la première composante de redistribution de la matrice de transfert radiatif. A partir de la valeur de ri+1on peut en effet déterminer la cellule n’dans laquelle a eu lieu la réabsorption.
Dans le cas du calcul du facteur d’échappement, il nous faut redéfinir l’angle azimutal. En effet, l’angle ϕ du photon incident étant défini par rapport à la direction de i ridans le plan yz, il est également recalculé en i +1selon la relation suivante:
'
i i p
ϕ ϕ ϕ= −
, (II.36)où ϕp =
(
OP j ',)
est l’angle azimutal entre l’axe y et la direction de OP' avec P’ la projection de P dans le plan yz (cf. Figure II.1). Soit OP' =ri+1
. On a donc : ' 1 1 sin( )sin( ) sin i i i D r θ ϕ ϕ ϕ − + = − (II.37)
Avec θi , cet angle définit le vecteur directeur '
i
n
du photon avant absorption par rapport à ri+1
. Il est nécessaire au calcul de la redistribution fréquentielle partielle (PFR).
Calcul de la fréquence du photon réémis
II.2.9.
Cette partie est uniquement destinée au calcul du facteur d’échappement, où l’on suit le temps de vie d’un photon au cours de ses différents cycles d’émission-absorption.
La fréquence du photon réémis dépend de l’occurrence ou non d’une modification de la vitesse de l’atome émetteur entre l’instant d’absorption et celui d’émission. Cette modification de vitesse est provoquée par une collision élastique (par rapport à l’atome
émetteur), puisque dans le cas inélastique il n’y a plus possibilité d’émission, l’état excité étant détruit.
Probabilités de collision II.2.9.1.
Les collisions élastiques considérées ont été décrites dans la partie II.2.2 lorsqu’on a décrit l’élargissement collisionnel du profil spectral de la transition. C’est justement, à partir de ces élargissements collisionnels, et notamment à partir de leurs ratios, que l’on va définir la probabilité d’occurrence de chaque type de collision. Considérons pour cela un atome dans un état excité résonant.
La probabilité que cet atome subisse une collision résonante durant son temps de vie est définie comme [20]: res ij res rad res ij ij P ν ν ν ∆ = ∆ + ∆ (II.38)
Lors de ces collisions, on considère que l’excitation est redistribuée entre isotopes selon leurs proportions respectives. C’est un mécanisme supplémentaire de redistribution isotopique. La probabilité qu’une collision avec un atome d’hélium (force de Van der Waals) ait lieu s’il n’y a pas eu de collision résonante est [20] :
vw ij vw rad vw ij ij P ν ν ν ∆ = ∆ + ∆ (II.39)
Les deux relations précédentes mènent à la probabilité qu’aucune collision n’ait lieu durant le temps de vie de l’état excité :
L 1 ( ) rad ij nc res vw P = − P +P =∆νν ∆ (II.40)
Choix de l’algorithme de réémission fréquentielle II.2.9.2.
Pour choisir le cas de redistribution fréquentielle à partir des probabilités ci-dessus, on tire un nombre aléatoire w6 uniformément réparti entre 0 et 1:
• Si 0≤w6≤Pres, une collision résonante a lieu. Dans ce cas, la fréquence du photon réémis est choisie aléatoirement sur le profil spectral. C’est le cas de redistribution fréquentielle complète (CFR). De plus, une redistribution isotopique a lieu selon les proportions de chaque isotope.
• Si Pres <w6≤Pvw une collision avec un atome d’hélium a lieu. La fréquence du photon réémis est également choisie aléatoirement (CFR).
• Si Pres <w6 ≤1 aucune collision n’a lieu. La fréquence du photon réémis dépend dans ce cas de la vitesse de l’atome. Nous sommes dans le cas d’une redistribution fréquentielle partielle (PFR).
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II.2.9.2.1. Processus de CFR
Lorsque l’atome excité subit une collision élastique durant le temps de vie de son état excité, on considère que la fréquence de réémission du photon est totalement décorrelée de sa fréquence d’absorption car la vitesse de l’atome à l’instant de l’absorption diffère de celle au moment de l’émission. La détermination de la fréquence de réémission se fait alors suivant le profil de Voigt. Dans ce cas, les profils d’émission et d’absorption sont identiques.
Suite à cette réémission, l’algorithme revient à son étape initiale et suit les différentes étapes déjà décrites :
• tirage aléatoire de la direction d’émission du photon • calcul de sa distance avant absorption en i+2
• choix de l’isotope absorbeur • calcul des probabilités de collision
• choix de l’algorithme de redistribution fréquentielle.
II.2.9.2.2. Processus de PFR
Ce cas intervient lorsqu’aucune collision n’a lieu durant le temps de vie radiatif de l’état excité. Dans ce cas, la vitesse de l’atome reste constante entre l’instant d’absorption et celui d’émission. Via l’effet Doppler, une corrélation existe donc entre la fréquence du photon absorbée et celle du photon réémis. Pour connaître cette dernière, il est nécessaire de connaître la vitesse de l’atome absorbeur, et notamment sa composante dans la direction de propagation du photon émis à l’étape i, direction dans laquelle un décalage Doppler est introduit (II.23).
Calcul de la fréquence de réémission II.2.9.3.
A partir de la vitesse de l’atome et en fonction de la direction d’émission du photon réémis en i+1, un calcul du décalage doppler lors de la réémission peut alors être effectué. Pour cela nous suivons [11], qui définit la fréquence du photon réémis selon la relation suivante :
( )
2 1 ' ' 1 1 ( . 1) 1 . i V V a i i t i i x+ x u n n u n n + + = + − + − (II.41) où i1 Vx+ est la fréquence du photon réémis en P etxVest la fréquence du photon absorbé. ni+1
est le vecteur directeur du photon réémis au point P de manière isotrope avec les angles
1, 1
i i
θ ϕ+ + , déterminés selon la méthode expliquée précédemment. '
i
n
est le vecteur directeur du photon absorbé en ri+1 et défini précédemment (cf. II.2.8).
a
u est la composante de la vitesse de l’atome, dirigée selon la direction d’absorption '
i
n
, et ut
sa composante transverse. A noter que ces vitesses sont normalisées parυP.
II.2.9.3.1. Cas limites
Le produit scalaire entre la direction d’absorption donnée par '
i
net la direction de réémission suivant ni+1
est donnée par la relation suivante [11]:
' '
1. cos( )cos( ) sin( )sin( )cos(1 1 1 )
i i i i i i i i
n n+ = θ+ θ + θ+ θ ϕ+ −ϕ
(II.42)
On peut alors distinguer 3 cas limites :
( )
( )
( )
' 1 1 ' 1 1 ' 1 1 1) . 0 2) . 2 3) . 2 i i i V V i i i V V a t i i i V V a n n x x n n x x u u n n x x u π π + + + + + + = ⇒ = = ⇒ = − + = ⇒ = − (II.43)Dans le premier cas, si les vecteurs directeurs d’absorption et de réémission sont de même sens, aucun décalage Doppler n’est introduit, la fréquence de réémission est égale à la fréquence d’absorption. Dans le cas inverse, si les deux directions sont orthogonales, alors un décalage Doppler a lieu selon les deux directions, transverses et longitudinales. Enfin, si les deux vecteurs directeurs sont de même direction mais de sens opposés, un décalage doppler est introduit uniquement dans la direction longitudinale.
Pour déterminer i1
V
x+ il est donc nécessaire de connaître les composantes longitudinale ( ua) et transverse (ut) de la vitesse de l’atome.
II.2.9.3.2. Composantes longitudinale et transverse de la vitesse de l’atome absorbeur
La première suit une loi de probabilité décrite par la fonction suivante, connaissant la fréquence du photon absorbé :
2 3/2 2 2 exp( ) 1 ( / ) ( ) ( ) V a a V V V V V a a u p u x L x π a x u − = + − (II.44)
On reconnait ici dans le terme entre parenthèses le profil de Voigt (II.11). La corrélation entre la fréquence du photon absorbé et la vitesse de l’atome absorbeur est ici bien visible. Par le biais du paramètre VoigtaV cette probabilité dépend également du type d’élargissement du profil spectral (Doppler, Lorentzien, ou Voigt). Il est cependant difficile d’obtenir analytiquement une expression pouruaà partir de (II.44). Il est donc nécessaire d’utiliser des algorithmes numériques afin de la déterminer. Nous suivons la démarche proposée dans [21, 22, 23] et qui a été reprise dans le code original [11].
Cet algorithme différencie trois cas. Le premier où la fréquence du photon satisfait la condition 0≤ xV <1.5 donc émis principalement au centre du profil. Le deuxième correspond à une émission sur les ailes du profil 1.5≤ xV ≤5. Le dernier correspond à des fréquences très éloignées du centre x >V 5. Nous verrons que dans le premier cas, la probabilité p u( )a
peut être approximée par une fonction de Lorentz centrée en xV. En revanche, dans le dernier cas la corrélation entre la vitesse xVet la vitesse uaest beaucoup plus faible. Dans ce cas ua
est distribué selon une Gaussienne centrée en x =V 0. Le second cas est alors un cas intermédiaire avec la présence simultanée du pic Lorentzien et de la Gaussienne.
La composante transverse utest logiquement indépendante de la fréquence du photon dans la direction longitudinale (décalage Doppler nul). Par conséquent, utest déterminée à partir d’un tirage aléatoire sur une distribution Maxwellienne.
Calcul de
'x
υ
II.2.10.
Le cas du transfert radiatif ne nécessite pas de passer par l’étape II.2.9 puisqu’on analyse seulement un cycle d’émission-absorption du photon. Les collisions ne sont donc pas prises en compte dans l’algorithme de transfert radiatif puisqu’on analyse ce qu’il se passe « avant ». Cependant, il n’est pas question de les négliger pour autant. Celles-ci seront donc incluses dans le modèle d’amplification laser afin de prendre en compte la modification du profil fréquentiel du gain qu’elles peuvent engendrer.
Dans cette partie, nous nous intéressons seulement à la redistribution fréquentielle liée au transport de rayonnement. Nous cherchons donc à déterminer la vitesse '
x
υ de l’atome absorbeur dont la position ri+1 est maintenant connue. L’intérêt de l’algorithme de redistribution fréquentielle partielle (PFR) est qu’il est basé sur la détermination de la vitesse de l’atome absorbeur dans la direction de propagation du photon ( '
i
n
) définie par les angles sphériques (θ ϕi, i'). Nous allons donc le réutiliser pour ce calcul.
A partir du vecteur directeur '
i
n
nous définissons un référentiel local à l’atome absorbeur que l’on nommeRAavec (k k k x, ,y z) formant un trièdre direct. On définit kzorienté selon '
i
n
. De ce fait,kyappartient au plan yz du capillaire. On cherche alors à calculer le vecteur vitesse de l’atome dans ce référentiel. Comme on l’a vu précédemment, uaest la composante en vitesse selonkz . Dans chaque autre direction, orthogonales à la direction de propagation, nous assumons une distribution Maxwellienne en vitesse. Nous déterminons alors les composantes selonkxet kyaléatoirement de la même façon que l’a étéutprécédemment. Le vecteur vitesse de l’atome dansRAest alors défini comme:
a x x y y a z
U=a k a k u k+ +
(II.45) La composante '
x
υ de l’atome dans le repère du laboratoire est alors obtenue en projetant Ua
selon ux, orienté selon l’axe du capillaire (Figure II.1). A partir de l’orientation de RA décrite ci-dessus on obtient alors selon la formule suivante :
' sin( ) cos( )
x ax i ua i
υ = θ + θ (II.46)
Logiquement, cette vitesse ne dépend pas de la composante selon ky puisque ce vecteur directeur est compris dans le plan transverse à l’axe du capillaire. Pour une émission vers l’axe du capillaire, i.e. θ =0, la vitesse d’absorption est simplement donnée par la valeur de
a
u , l’axe orienté suivant kz et l’axe du capillaire étant confondus. La vitesse '
x
υ est alors distribuée selon la relation précédente (II.44) et est donc dépendante de la fréquence du photon absorbé xV et du paramètre de Voigt aV . Dans l’autre cas limite, i.e. θ π= 2, le photon est émis dans le plan transverse à l’axe du capillaire, c’est-à-dire que l’axe orienté selon kxet l’axe du capillaire sont confondus. La vitesse '
x
υ est, dans ce cas, distribuée selon une Maxwellienne.