Math 101 : Calculus Université Paris–Sud Orsay Notes de cours

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Math 101 : Calculus Université Paris–Sud Orsay

Notes de cours

D. Le Peutrec

(d’après des notes de J.-C. Léger, F. Menous, C. Pallard et P. Kerdhelue)

13 juillet 2017

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Table des matières

1 Rappels et compléments sur les fonctions réelles 7

1.1 Fonctions réelles d’une variable réelle . . . 7

1.1.1 Définitions . . . 7

1.1.2 Graphes . . . 8

1.1.3 Fonctions croissantes et décroissantes . . . 8

1.1.4 Fonctions usuelles . . . 10

1.1.5 Composition de fonctions . . . 14

1.1.6 Fonction injective, surjective et bijective ; fonction réciproque . . . 16

2 Suites numériques 19 2.1 Premières définitions . . . 19

2.2 Limite d’une suite réelle . . . 20

2.3 Premières propriétés des limites . . . 22

2.3.1 Unicité . . . 22

2.3.2 Théorème des gendarmes . . . 23

2.3.3 Opérations sur les limites . . . 24

2.4 Propriété de la borne supérieure . . . 27

2.4.1 Borne supérieure . . . 27

2.4.2 Application aux suites . . . 30

2.5 Suites extraites et valeurs d’adhérence . . . 31

2.6 Suites de Cauchy . . . 32

3 Limite d’une fonction réelle 35 3.1 Limite finie d’une fonction en un pointx₀ deR . . . 35

3.1.1 Voisinage . . . 35

3.1.2 Définition . . . 35

3.1.3 Caractérisation séquentielle . . . 37

3.1.4 DL à l’ordre0 . . . 37

3.2 Propriétés . . . 38

3.2.1 Unicité . . . 38

3.2.2 Théorème des gendarmes . . . 38

3.2.3 Deux résultats utiles . . . 39

3.2.4 Opérations sur les limites . . . 40

3.2.5 Composition . . . 40

3.2.6 Limites à droite et à gauche enx0 . . . 42

3.3 Limites en+∞, en−∞et limites infinies . . . 42

3.3.1 Voisinages de l’infini . . . 42

3.3.3 Opérations . . . 43

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3.3.4 Limites infinies . . . 43

3.3.5 Quelques remarques finales concernant les opérations . . . 44

3.4 Croissance et limite . . . 45

4 Continuité 47 4.1 Fonction continue enx₀ . . . 47

4.1.2 Prolongement par continuité . . . 48

4.1.3 Continuité à droite et à gauche enx0. . . 48

4.1.4 Reformulation de résultats vus dans le chapitre précédent . . . 49

4.2 Fonction continue sur un intervalle . . . 49

4.2.2 Propriétés . . . 50

4.2.3 Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : version 1 . . . 51

4.2.4 TVI : version 2 . . . 51

4.2.5 TVI : version 3 . . . 51

4.2.6 Fonction continue sur un segment . . . 52

4.3 Preuve du théorème 4.15 . . . 53

5 Dérivabilité 55 5.1 Dérivée en un point et interprétation géométrique . . . 55

5.1.2 Interprétation géométrique . . . 55

5.1.3 Tangente verticale . . . 56

5.1.4 DL d’ordre1 . . . 56

5.1.5 Dérivabilité et continuité . . . 57

5.1.6 Dérivabilité à droite et à gauche . . . 57

5.1.7 Opérations algébriques . . . 57

5.1.8 Composition . . . 57

5.2 Fonction dérivable sur un intervalle, fonction de classeC¹ sur un intervalle . . . 58

5.2.2 Opérations . . . 59

5.3 Dérivées d’ordren, fonctions de classeCⁿ . . . 59

5.4 Utilisation de la dérivée . . . 62

5.4.1 Extrema et points critiques . . . 62

5.4.2 Le lemme de Rolle et le théorème des accroissements finis . . . 62

5.4.3 L’inégalité des accroissements finis . . . 63

5.4.4 Croissance d’une fonction et signe de la dérivée . . . 64

5.4.5 Prolongement de la dérivée . . . 65

5.4.6 Convexité . . . 66

6 Suites récurrentes (d’ordre un) 69 6.1 Définition . . . 69

6.2 Suites arithmético-géométriques . . . 69

6.2.1 Suite arithmétiques . . . 69

6.2.2 Suite géométriques . . . 70

6.2.3 Cas général, lorsqueα6= 1 . . . 70

6.3 Généralités . . . 70

6.4 Points fixes . . . 72

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7 Fonctions réciproques 75

7.1 Rappels et généralités . . . 75

7.1.1 Bijection . . . 75

7.1.2 Application réciproque . . . 75

7.1.3 Bijections et graphes . . . 76

7.1.4 Composées de bijections . . . 76

7.2 Propriétés de régularité des fonctions réciproques . . . 77

7.2.1 Le théorème de continuité . . . 77

7.2.2 Détermination de l’intervalle image . . . 77

7.2.3 Le théorème de dérivabilité . . . 78

7.3 Les fonctions racinen-ième, √ⁿ x . . . 79

7.3.1 Rappel : Les fonctions « puissance » d’exposant entier . . . 79

7.3.2 Le casnimpair . . . 80

7.3.3 Le casnpair . . . 80

7.3.4 Puissances rationnelles . . . 80

7.4 Les fonctions logarithme et exponentielle . . . 81

7.4.1 Rappels : fonctions logarithme et exponentielle . . . 81

7.4.2 Croissances comparées . . . 83

7.4.3 Exponentielles et logarithmes de basea >0, fonctionsx7→x^αavecα∈R . 84 7.5 Fonctions trigonométriques réciproques . . . 85

7.5.1 La fonctionarctan . . . 85

7.5.2 La fonctionarcsin . . . 86

7.5.3 La fonctionarccos . . . 87

7.6 Transformation polaires/cartésiennes . . . 88

8 Primitives et Intégrales 91 8.1 Primitives : définition et premières propriétés . . . 91

8.2 Intégrale de Riemann d’une fonction continue . . . 93

8.2.1 Sommes de Darboux et intégrale de Riemann . . . 93

8.2.2 Propriétés fondamentales de l’intégrale de Riemann . . . 97

8.2.3 Intégrale d’une fonction continue par morceaux . . . 101

8.3 Techniques de calcul . . . 102

8.3.1 Intégration par parties . . . 102

8.3.2 Changement de variables . . . 103

8.3.3 Intégration des fractions rationnelles . . . 105

8.3.4 Intégration des polynômes et fractions rationnelles encosetsin . . . 112

9 Développements limités 117 9.1 Formules de Taylor avec reste intégral . . . 117

9.1.1 Formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 2 . . . 117

9.1.2 Formule de Taylor avec reste intégral à l’ordren≥1 . . . 118

9.2 Formules de Taylor-Young . . . 119

9.2.1 A l’ordre 2 . . . 119

9.2.2 A l’ordren≥0 . . . 119

9.2.3 Exemples classiques . . . 120

9.2.4 Formule de Taylor-Young enx0 . . . 121

9.3 Développements limités . . . 122

9.3.1 Définition et propriétés générales . . . 122

9.3.2 Calculs directs de développement limités . . . 124

9.3.3 Utilisation des DL . . . 129 A Pour aller un peu plus loin sur... la continuité (uniforme) 133 B Pour aller un peu plus loin sur... la convexité 137

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Chapitre 1

Rappels et compléments sur les fonctions réelles

1.1 Fonctions réelles d’une variable réelle

1.1.1 Définitions

Commençons par une définition informelle : nous avons à disposition deux ensembles de nombres réels, deux parties de R, l’ensemble de tous les nombres réels, D et A. Une fonction ouapplication,f, deD versA, est un « objet mathématique » qui, à tout nombre, tout élément deD, associe ou fait correspondre un unique élément deA.

1. Dest appeléensemble de départ,sourceoudomaine de définition de la fonctionf. 2. Aest appeléensemble d’arrivéeoubutde la fonction f.

3. Sixest un élément deD, on note f(x)l’élément de A associé àxpar la fonction f. Cet élémentf(x)est appeléimagedexparf.

4. On appelleantécédentd’un élément y∈Aparf tout élémentx∈D tel quef(x) =y.

5. On appelle image de f l’ensemble des images par f des éléments de D, i.e. l’ensemble des éléments f(x)pour x∈D, ou encore l’ensemble des éléments de A qui admettent un antécédent parf :

A ⊃ Imf = f(D) = {f(x) ; x∈D} = {y∈A tels que∃x∈D , f(x) =y} ¹. Exemples et Remarques

1. La fonctionf est « de variable réelle » car le domaine dans lequel varie son argument, sa sourceD, est une partie deR. Elle est « à valeurs réelles » car son butAest une partie de R.

2. Si on écrit « Soit une fonctionf :D→A... », on entend par là « Considérons une fonction f, dont l’ensemble de départ estD et l’ensemble d’arrivée est A», et, à moins que ce ne soit précisé ultérieurement, cette fonction n’a aucune propriété particulière hormis le fait d’être un objet qui satisfait à notre définition informelle.

3. Soulignons que sif :D→A est une fonction, sixest un nombre n’appartenant pas àD alorsf(x)n’est pas défini. Par exemple, si on écrit « Soit la fonctionf : [0,1]→Rdéfinie parf(x) = 2x²−1pour toutx∈[0,1]», on considère un objet mathématique uniquement défini : la fonctionf, dont l’ensemble de départ est l’intervalle [0,1], l’ensemble d’arrivée est Rtout entier et qui associe à tout élémentxde[0,1]l’unique nombre réel calculé par la formule ci-avant. En particulier,f(2)n’a pas de sens même si 2×2²−1en a un.

1. le quantificateur logique «∃» signifie « il existe ».

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4. Sif : D → A est une fonction et si D⁰ est un sous-ensemble de D (i.e. si D⁰ ⊂ D), on définit larestrictiondef à D⁰ par

f _D₀ :

D⁰ → A x 7→ f(x) On la note parfois abusivement toujoursf.

5. L’ensemble de définition est souvent déduit de la formule def(x)lorsque celle-ci est donnée (en tenant compte que toute division par0est interdite, qu’une racine carrée doit avoir un argument positif ou nul, etc.).

Exemple : DonnerDfle domaine de définition de la fonctionf définie parf(x) =

√1−x² x . Il est sous-entendu : « quel est le plus grand sous-ensemble deRsur lequel on peut définir f par cette formule ? » Ici,

Df =

x∈Rt.q.x6= 0et1−x²≥0 ={x∈Rt.q.x6= 0et x∈[−1,1]}= [−1,0[∪]0,1].

1.1.2 Graphes

Définition 1.1 Soitf :D→A une fonction réelle de variable réelle. Son graphe est la partieG de l’ensemble-produit² D×Adéfinie par

G={(x, f(x)), x∈D}={(x, y)∈D×A, y=f(x)}

Gest donc l’ensemble detousles couples possibles formés d’une valeurxprise dans D et de son image f(x).

Gest une partie de l’ensembleD×Aqui est lui-même une partie deR×R=R². On représente graphiquement (une partie de)R²sur une feuille quadrillée de la façon que vous connaissez bien : le couple de réels(x, y)est représenté par le point de coordonnées(x, y)relativement au quadrillage.

L’usage veut que l’axe des abscisses (coordonnéex) soit représenté horizontalement, orienté de la gauche vers la droite et que l’axe des ordonnées (coordonnéey) soit représenté verticalement, orienté du bas vers le haut. Certaines situations peuvent forcer à adopter d’autres conventions.

En retournant notre manche, on peut maintenant préciser l’« objet mathématique³» dont nous parlions dans la définition informelle de fonction.

Définition 1.2 SoientD et A deux parties de R, une fonction f deD vers A est une partie G deD×Aayant la propriété suivante :

Pour toutx∈D, il existe un uniquey∈Atel que (x, y)∈G.

L’astuce réside en ceci, qu’étant donnée une telle partie G, on peut définir, pour x∈D,f(x) comme étant l’unique y ∈ A tel que (x, y) ∈ G. On a alors défini sans ambiguïté une fonction f :D→A. Il s’avère a posteriori queGest le graphe def.

Ce que dit la définition, c’est très exactement qu’une fonction f, c’est son graphe. L’usage montre cependant qu’utiliser le graphe de la fonction est assez malcommode alors que la notation f(x)est très parlante.

1.1.3 Fonctions croissantes et décroissantes

Définition 1.3 SoitD⊂Ret f une fonction à valeurs réelles définie surD. On dit que : 1. f estcroissantesur D si, pour tousx, y∈D :x < y impliquef(x)≤f(y),

2. D×Aest l’ensemble de tous les couples(x, y)pouvant être formés avec une valeurxdansDet une valeury dansA.

3. Assez curieusement, quasiment tous les objets mathématiques peuvent être vus comme des ensembles, y compris les nombres...

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-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x

y y=f(x)

Figure1.1 – Représentation du graphe def : [0,1]→R,x7→2.x²−1

-2 -1 0 1 2

x y

Figure 1.2 – Ceci n’est pas le graphe d’une fonction y = f(x) : certaines verticales coupent l’ensemble en plus de deux points

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2. f estdécroissante sur D si, pour tousx, y∈D :x < y impliquef(x)≥f(y),

3. f eststrictement croissantesur D si, pour tousx, y∈D :x < y impliquef(x)< f(y), 4. f eststrictement décroissantesurDsi, pour tousx, y∈D:x < yimpliquef(x)> f(y), 5. f estmonotonesur D sif est soit croissante, soit décroissante surD,

6. f eststrictement monotonesurDsif est strictement croissante ou décroissante surD.

Exemples et Remarques

1. La fonction carré reistreinte àR⁺, R⁺ →R, x 7→x² est croissante et même strictement croissante.

2. La fonction carré,R→R, x7→x² n’est par contre pas monotone. En effet, elle n’est pas décroissante car est strictement croissante une fois restreinte àR⁺ et n’est pas croissante car−2<1et (−2)²>1².

1.1.4 Fonctions usuelles

1. FonctionId_A :siAest une partie deR, il s’agit de la fonctionId_A:

A → R x 7→ x . Par exemple,Id_[−1

2,³₂]:

A → R

x 7→ x a pour graphe :

•

2. Fonction constantecA:siAest une partie deRetc∈R, il s’agit de la fonction constante égale àcsurA,cA:

A → R

x 7→ c . Ici, le graphe de1_[−1 2,³₂] :

• •

3. Valeur absolue :| · |:







R → R x 7→

x si x≥0

−x si x <0

4. Fonctions polynomiales :Ce sont les fonctionsf :R→Rde la forme f(x) =a0 +a1x+· · · +aNx^N où (a0, . . . , aN)∈R^N+1 ou encoref(x) =

N

P

k=0

akx^k pour une notation⁴ plus compacte.

Exemple : la fonction carré(·)²:

R → R x 7→ x²

5. Fonction racine carrée⁵ : √

·:

R⁺ → R

x 7→ leréel positify t.q.y²=x Soulignons ici l’égalité suivante :

Pour toutx∈R, √

x² = |x| 6= xsix <0 ! !

4. «P

» est le symbole « somme ». Sii≤jsont deux entiers, il est défini par

j

X

k=i

f(k) :=f(i) +f(i+ 1) +· · ·+f(j)

5. Cette fonction – ainsi que les fonctionsx7→x^α pourα /∈Z– ne sera en fait définie rigoureusement qu’au chapitre 7 sur les fonctions réciproques

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6. Fonctions exponentielle et logarithme népérien⁶ :

i) La fonction exponentielleexpa pour domaine de définitionRet vérifie :

— exp(x)>0pour toutx∈R(on note aussi e^x)

— exp(0) = 1etexp(1) :=

défe ' 2.72

— expest strictement croissante surR, lim

x→−∞exp(x) = 0⁺ et lim

x→+∞exp(x) = +∞

— expest dérivable surRde fonction dérivéeexp, ce qui conduit en particulier à :

x→0,x6=0lim

exp(x)−1

x = lim

x→0,x6=0

exp(x)−exp(0)

x−0 = exp⁰(0) = exp(0) = 1

— Pour tousx, y∈R,exp(x+y) = exp(x).exp(y)

— Pour toutx∈R,αrationnel,exp(α.x) = (exp(x))^α

ii) La fonction logarithmeln a pour domaine de définitionR^+∗ et vérifie :

— ln 1 = 0et lne= 1

— lnest strictement croissante surR^+∗, lim

x→0⁺lnx=−∞et lim

x→+∞lnx= +∞

— lnest dérivable surR^+∗ de fonction dérivéex7→_x¹, ce qui conduit en particulier à :

x→0,x6=0lim

ln(1 +x)

x =

y=1+x lim

y→1,y6=1

ln(y)

y−1 = lim

y→1,y6=1

ln(y)−ln(1)

y−1 = ln⁰(1) = 1 1 = 1

— Pour tousx, y >0,ln(xy) = lnx+ lny

— Pour toutx >0,αrationnel,ln(x^α) =αlnx

iii) Les fonctions exponentielle et logarithme sont réciproques⁷ l’une de l’autre :

∀x∈R, ln(exp(x)) = x et ∀x∈R^+∗ , exp(lnx) = x On a donc en particulier : pour toutx >0,αrationnel,x^α= exp(αlnx) iv) Voir le tracé de leurs graphes ci-dessous.

7. Fonctions sinus, cosinus et tangente :

Définition 1.4 (Fonction T-périodique) Soitf :D→Aune fonction de variable réelle etT 6= 0. On dit que f est T-périodique si :

— pour toutxdeD, on ax+T ∈D et,

— pour toutxdeD,f(x+T) =f(x).

Considérons, dans le plan muni de son repère orthonormé usuel, le cercle unité C, i.e. le cercle de centre l’origineOet de rayon1. On rappelle qu’une équation cartésienne deCest donnée par :

C =

(x, y)∈R² ; x²+y² = 1 .

Pour toutθdansR, soitA_θ le point deCtel que l’angle orientéIOA[ soitθ (exprimé ici en radians), oùI désigne le point du plan de coordonnées (1,0). Le cosinus et le sinus deθ, notéscosθet sinθ, sont alors respectivement définis comme l’abscisse et l’ordonnée deA_θ, i.e.A_θest le point du plan de coordonnées(cosθ,sinθ). Tout cela est rendu plus lisible par la figure 1.4.

Les fonctions sinus et cosinus sont donc des fonctions réelles définies surR. Elles sont de plus 2π-périodiques, sachantAθ+2π =Aθ. Elles satisfont par ailleurs les propriétés suivantes :

i) la fonctioncosest paire et la fonctionsinest impaire, i.e.

∀x∈R, cos(−x) = cosx et sin(−x) = −sinx

6. Ces fonctions ne seront aussi définies rigoureusement qu’au chapitre 7. Leurs propriétés seront donc admises pour le moment.

7. Cette notion sera définie dans la dernière partie de ce chapitre.

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0 1 e

y= lnx y=e^x y=x

Figure1.3 – Courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme ii) — Pour toutx∈R,cos²x+ sin²x= 1⁸ (donc−1≤cosx≤1 et−1≤sinx≤1)

— Sia²+b²= 1, alors il existe θ∈R, unique à2πprès⁹, tel que

cosθ = a sinθ = b

— Pour toutθ∈R,

cosx = cosθ ssi x∈ {θ+ 2kπ , k∈Z} ∪ {−θ+ 2kπ , k∈Z} = {±θ+ 2kπ , k∈Z} et

sinx= sinθ ssi x∈ {θ+ 2kπ , k∈Z} ∪ {π−θ+ 2kπ , k∈Z} iii) Pour toutx∈R,

cos(x±π

2) = ∓sinx , sin(x±π

2) = ±cosx , cos(x±π) = −cosx , sin(x±π) = −sinx¹⁰ iv) — cos 0 = 1,cos^π₆ =

√3

2 ,cos^π₄ =

√2

2 ,cos^π₃ = ¹₂,cos^π₂ = 0,cosπ=−1

— sin 0 = 0,sin^π₆ = ¹₂,sin^π₄ =

√ 2

2 ,sin^π₃ =

√ 3

2 ,sin^π₂ = 1, sinπ= 0

v) Les fonctionssin etcos sont dérivables surRde dérivées respectives coset −sin. Cela conduit en particulier à :

x→0,x6=0lim sinx

x = lim

x→0,x6=0

sinx−sin 0

x−0 = sin⁰(0) = cos(0) = 1 vi) — Pour tousx, y∈R,

cos(x±y) = cosxcosy∓sinxsiny et sin(x±y) = sinxcosy±cosxsiny

8. C’est une conséquence immédiate du théorème de Pythagore !

9. Cela signifie que les autresθ⁰le vérifiant sont lesθ⁰=θ+ 2kπpourk∈Z. 10. Ici, l’égalitécos(x±^π

2) = ∓sinxpar exemple, signifie, en regardant les signes+et−de « même hauteur », que l’on a à la fois les deux égalitéscos(x+^π₂) = −sinxetcos(x−^π₂) = + sinx. De même,sin(x±^π₂) = ±cosx signifie quesin(x+^π₂) = cosxetsin(x−^π₂) = −cosx.

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— Cela implique : cosxcosy = 1

2 cos(x+y) + cos(x−y)

, sinxsiny = 1

2 cos(x−y)−cos(x+y) et

sinxcosy = 1

2 sin(x+y) + sin(x−y)

— En particulier :

cos(2x) = cos²x−sin²x =

cos²+ sin²=1

2 cos²x−1

1−2 sin²x , sin(2x) = 2 sinxcosx et

cos²x = cos(2x) + 1

2 et sin²x = 1−cos(2x) 2 vii) Voir le tracé de leurs graphes à la figure 1.5.

x y

cosθ sinθ

tanθ

θ= ^π₂ + 2kπ

•

θ= 0 + 2kπ θ=π+ 2kπ •

•

θ=−^π₂ + 2kπ

•

θ rad

C =

(a, b) ∈ R

²

; a

²

+ b

²

= 1

• Aθ

•

Figure1.4 – Cercle unité et définition des fonctionssinet cos La fonction tangente, notée tan, est définie par la formule

tanx = sinx cosx.

Sachant les propriétés des fonctions sinus et cosinus rappelées ci-dessus, elle vérifie donc les pro- priétés suivantes (on renvoie aussi à la figure 1.4 pour une interprétation géométrique) :

i) La fonctiontan :x7→ _cos^sinx_x est définie pour toutx∈Rtel que cosx6= 0, i.e.

Dtan = n

x∈R; x6=±π

2 + 2kπ , k∈Z o

= R\nπ

2 +kπ , k∈Z o

= [

k∈Z

−π 2+kπ,π

2+kπ

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ii) La fonctiontanest impaire etπ-périodique : pour toutx∈Dtan on a

−x∈Dtan et tan(−x) = sin(−x)

cos(−x) = −sinx

cosx =−tanx et

x+π∈Dtan et tan(x+π) = sin(x+π)

cos(x+π) = −sinx

−cosx = tanx iii) tan 0 = 0,tan^π₆ =

√3

3 ,tan^π₄ = 1,tan^π₃ =√ 3, lim

x→^π₂⁻tanx= +∞

iv) Pour toutx∈Dtan,

1 + tan²x = cos²x+ sin²x

cos²x = 1

cos²x v) — Pour tousx, y∈Dtan tels quex+y∈Dtan,

tan(x+y) = tanx+ tany 1−tanxtany

— En particulier, pour toutx6=^π₄ +k^π₄,k∈Z,

tan(2x) = 2 tanx 1−tan²x

— Et pour toutx∈Dtan,

cos(2x) =

cos(2x)=2 cos²x−1

2

1 + tan²x−1 = 1−tan²x 1 + tan²x et

sin(2x) =

sin(2x)=2 sinxcosx

2 tanxcos²x = 2 tanx 1 + tan²x vi) Voir le tracé de son graphe à la figure 1.5.

1.1.5 Composition de fonctions

Définition 1.5 SoientA, B, C , Ddes parties de Retf :A→B,g:C→D deux fonctions.

Si pour tout élément x de A, f(x) (qui est élément de B à coup sûr) appartient à C (i.e. si f(A)⊂C), alors on peut calculer g(f(x))pour toutx∈A. On peut donc associer à tout x∈A, g(f(x))∈D et donc définir une nouvelle fonction, notée g◦f, dont la source est A et le but est D :

g◦f :

A −→ D

x 7−→ (g◦f)(x) :=g(f(x)) . Exemples et Remarques

1. La définition deg◦f n’a de sens que sif(A)⊂C(i.e. sif(Df)⊂Dg)! !

2. Dès que l’on écrit une formule imbriquant des fonctions élémentaires, on est en train de faire un certain nombre de compositions.

3. Exercice résolu en cours.DonnerDf pour la fonctionfdéfinie parf(x) =p

−ln(x²−1).

Encore une fois, il est ici sous-entendu : « quel est le plus grand sous-ensemble de Rsur lequel on peut définirf par cette formule ? » Pour quef(x)soit défini, il faut (et il suffit) que

et (a) x²−1>0 car le domaine de définition deln est]0,+∞[.

(b) −ln(x²−1)≥0 car le domaine de définition de√

est[0,+∞[.

(15)

x y

1

π

2 π

−1

−^π₂

−^3π₂ −π ^3π₂

C

sin

x y

1

π

2 π

−1

−^π₂

−^3π₂ −π ^3π₂

C

_cos

x y

1

π

2 π

−1

−^π₂ ⁻^π4

π

−π 4

−^3π₂ ^3π₂

C

tan

Figure1.5 – Graphes des fonctionssin, cosettan

(16)

On tombe donc sur un système d’inéquations d’inconnue t ∈ R qu’il faut résoudre. Ce système est équivalent à

et (a) x >1oux <−1

(b) x²−1≤1 carlnX ≤0si et seulement siX ≤1 c’est-à-dire

et (a) x >1oux <−1 (b) −√

2≤x≤√ 2 Pour résumer, on a doncD=

−√ 2,−1

∪ 1,√

2 .

4. On peut aussi utiliser des définitions par morceaux (i.e. définir une fonction par des formules différentes sur des parties deRdisjointes). Déterminons par exemple le domaine de définitionD_g de

g(t) = p

−ln(t²−1) sit >0 tant sit∈]−π,0[

Pour queg(t)soit défini, il faut (et il suffit) que

et (a) soitt >0et p

−ln(t²−1) est bien défini (b) soitt∈]−π,0[et tantest bien défini c’est-à-dire

et

(a) soitt >0ett∈h

−√ 2,−1h

∪i 1,√

2i

(on se sert ici de l’exemple précédent) (b) Soitt∈]−π,0[ett6=−π

2 (quel est le domaine de définition de la tangente ?) En résumé, le domaineDcherché est

D=i

−π,−π 2

h∪i

−π 2,0h

∪i 1,√

2i .

1.1.6 Fonction injective, surjective et bijective ; fonction réciproque

Définition 1.6 Soitf :D →A une fonction de variable réelle. On dit quef est injective (ou que c’est une injection) si tout élément de A a au plus un antécédent par f, ou encore si deux éléments deD distincts ont des images distinctes par f, i.e.¹¹

f est injective ⇐⇒ ∀x, x⁰ ∈D , f(x) =f(x⁰)⇒x=x⁰

⇐⇒ ∀x, x⁰ ∈D , x6=x⁰⇒f(x)6=f(x⁰)

Définition 1.7 Soitf :D→Aune fonction de variable réelle. On dit quef estsurjective (ou que c’est une surjection) si tout élément de Aadmet (au moins) un antécédent par f. Autrement dit :

f est surjective ⇐⇒ ∀y∈A , ∃x∈D t.q.f(x) =y

⇐⇒ Imf = f(D) = A Exemples et Remarques

1. L’application carréf :R→R,x7→x²n’est ni surjective, ni injective.

— Elle n’est pas surjective car par exemple−1(et en fait touty <0) n’a aucun antécédent parf carf(x)≥0pour toutx∈R.

11. les quantificateurs logiques «⇔», «⇒» et «∀» employés ci-dessous signifient respectivement « si et seulement si », « implique » et « pour tout ».

(17)

— Elle n’est pas injective car par exemplef(1) =f(−1)(et−16= 1...).

2. Il faut faire très attention aux ensembles de départ et d’arrivée utilisés dans la définition de la fonction étudiée. Par exemple :

— f :

R → R

x 7→ x² n’est pas surjective mais g :

R → R⁺

x 7→ x² l’est. Or il s’agit

« presque » de la même fonction puisque D_f = D_g = R et f(x) = g(x) pour tout réel x.

— f :

R → R

x 7→ x² n’est pas injective mais sa restriction àR⁻,f R⁻:

R⁻ → R x 7→ f(x) l’est (comme sa restriction à R⁺ d’ailleurs).

3. De façon générale, sif :D→Aest une fonction donnée, alorsf˜:

D → Imf =f(D) x 7→ f(x)

est surjective.

4. Toute fonction strictement monotonef :D→Aest injective. En effet, si elle est strictement croissante, alors si x 6= y, on a soit x < y donc f(x) < f(y), soit x > y auquel cas f(x)> f(y), donc dans tous les casf(x)6=f(y). Le casf strictement décroissante s’obtient en inversant les inégalités strictes.

Définition 1.8 Soitf :D →A une fonction de variable réelle. On dit quef est bijective (ou que c’est une bijection) si elle est à la fois injective et surjective. Autrement dit, si tout élémenty deAadmet un unique antécédentx∈D par f :

f est bijective ⇐⇒ ∀y∈A , ∃!x∈D t.q. f(x) =y¹²

Sif :D→Aest bijective, alors on peut définir une fonction deAdansDde la façon suivante : à tout y ∈ A, on associe l’unique x∈D tel que f(x) =y. On appelle cette fonction bijection réciproquedef et on la notef⁻¹. Elle est caractérisée par la proposition suivante :

Proposition 1.9 (Caractérisation de la bijection réciproque) Soit f : D → A une fonction bijective. Alors sa bijection réciproquef⁻¹:A→D est caractérisée par

∀(x, y) ∈D×A , y = f(x) ⇐⇒ x = f⁻¹(y) Preuve. Cela découle de la définition def⁻¹:

A → D

y 7→ lex∈D tel quef(x) =y . Exemples et Remarques

1. De part cette caractérisation,f⁻¹:A→D est également bijective et f⁻¹⁻¹

=f. 2. Sif :D→Aest bijective, alorsf⁻¹◦f = IdD etf ◦f⁻¹= IdA. Autrement dit :

∀x∈D , f⁻¹(f(x)) = x et ∀y∈A , f(f⁻¹(y)) = y .

3. En pratique, on peut trouver f⁻¹ : A →D en résolvant l’équation f(x) = y, d’inconnue x∈D, pour chaque y∈A:

— Comme f : D → A est bijective, cette équation admet en effet pour unique solution x=f⁻¹(y)pour chaquey∈A¹³.

— Réciproquement, si cette équation admet une unique solutionx∈Dpour chaquey∈A, alors f : D → A est bijective (puisqu’alors, tout y ∈ A admet un unique antécédent dansDparf, à savoir l’unique solution de l’équation) et cette solution n’est donc autre quex=f⁻¹(y).

4. Sif :A→B et g:B →C sont bijectives, alorsg◦f :A→C est bijective et(g◦f)⁻¹= f⁻¹◦g⁻¹. En effet, on a :

∀(x, y)∈A×C , g◦f(x) =y ssi

gbijectivef(x) =g⁻¹(y) ssi

fbijectivex=f⁻¹(g⁻¹(y)) =f⁻¹◦g⁻¹(y) et l’équationg◦f(x) =y a, pour touty ∈C, une unique solution :x=f⁻¹◦g⁻¹(y)∈A.

12. le quantificateur logique «∃!» signifie « il existe un unique ».

13. de par la caractérisation def⁻¹ donnée à la proposition 1.9

(18)

5. Si f : D → A est injective, alors f˜ :

D → Imf

x 7→ f(x) est bijective (car injective et surjective). C’est en particulier le cas sif est strictement monotone surD!

6. ln :R^+∗→Rest bijective de bijection réciproqueexp :R→R^+∗. 7. (·)²:R⁺→R⁺, x7→x² est bijective de bijection réciproque√

·:R⁺→R⁺, x7→√ x.

8. (·)²:R⁻→R⁺, x7→x²est bijective de bijection réciproque−√

·:R⁺→R⁻, x7→ −√ x.

9. Exercice.Montrer quef :D→A est bijective ssi il existeh:A→D tel quef ◦h= IdA

eth◦f = IdDet qu’alorshest unique et vautf⁻¹.

10. Exercice résolu en cours.Montrer que la fonction sinus hyperbolique définie par sh :

R → R x 7→ ^e^x^−e₂^−x est bijective et donner l’expression def⁻¹.

Pour cela, on cherche donc à résoudre l’équation ^e^x^−e₂^−x =y d’inconnuex∈Rpoury∈R. Comme on a

e^x−e^−x

2 =y ssi

×2e^x6=0 e^2x−1 = 2ye^x ssi (e^x)²−2ye^x−1 = 0,

cela revient donc à résoudre l’équation X²−2yX−1 = 0 d’inconnueX =e^x ∈R^+∗. Le discriminant ∆ de ce polynôme vaut∆ = 4y²+ 4 >0 donc il admet deux racines réelles distinctes, à savoir

X₁ = 2y−p 4y²+ 4

2 = y−p

y²+ 1 et X₂ = 2y+p 4y²+ 4

2 = y+p

y²+ 1. Ainsix est solution de ^e^x^+e₂^−x =y ssi e^x =X₁ oue^x =X₂. Comme de plusp

y²+ 1 >

py²=|y| ≥y pour touty réel (par stricte croissance de√), on aX₁<0et X₂>0 donc e^x=X₁oue^x=X₂ ssie^x=X₂ et

xest solution de e^x−e^−x

2 =y ssi e^x = X2 = y+p y²+ 1 ssi x= ln(y+p

y²+ 1). La fonctionsh :R→Rest donc bijective, de bijection réciproque

R → R y 7→ ln(y+p

y²+ 1) .

(19)

Chapitre 2

Suites numériques

2.1 Premières définitions

Définition 2.1 On appelle suite à valeurs réelles une application deN, ou d’une partie de Nde la forme {n∈N ; n≥N}, dansR. On la note (u_n)_n∈_N ou(u_n)_n≥N.

1. Une suite réelle est donc une fonction u:

N(ou{n∈N; n≥N}) −→ R(ouC)

n 7−→ un=u(n)

notée(un)_n∈N (ou(un)_n≥N) au lieu deu.

2. un est la valeur de la suite au point n, c’est donc un nombre dépendant du paramètren, analogue pour les suites (qui sont des fonctions définies surNou{n∈N; n≥N}) def(x) pour les fonctions.

Définition 2.2 Une suite réelle(u_n)_n∈_N est dite i) majorée s’il existeM ∈Rtel que :

∀n∈N, un≤M.

ii) minorée s’il existe m∈Rtel que :

∀n∈N , un≥m.

iii) bornée s’il existeC∈Rtel que :

∀n∈N , |u_n| ≤C.

Remarque La suite (un)_n∈Nest donc bornée si et seulement si la suite(|un|)_n∈Nest majorée et on a la propriété suivante :

Proposition 2.3 Une suite réelle est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.

Preuve. Soit(un)n∈Nune suite réelle majorée parM et minoréem. Alors : siu_n≥0:|un|=u_n≤M et siu_n≤0:|un|=−un≤ −m.

Ainsi : |u_n| ≤max{−m, M}pour toutn∈N.

Réciproquement, soient (u_n)_n∈_N une suite réelle etC un réel tels que|un| ≤C pour toutn∈N.

Alors :−C≤u_n≤Cpour toutn∈N.

(20)

Définition 2.4 Une suite réelle(un)_n∈N est dite :

1. croissante si pour tout(p, q)∈N² :p < q impliqueu_p≤u_q,

2. strictement croissante si pour tout(p, q)∈N² :p < q impliqueup< uq, 3. décroissante si pour tout (p, q)∈N² :p < q impliqueup≥uq,

4. strictement décroissante si pour tout(p, q)∈N² :p < q impliqueup> uq, 5. stationnaire s’il existe N tel queu_p=u_N pour tout entier p≥N,

6. monotone si elle est croissante ou décroissante,

7. strictement monotone si elle est strictement croissante ou décroissante.

Une récurrence immédiate montre :

Proposition 2.5 Une suite réelle(u_n)_n∈_Nest croissante (resp. strictement croissante) si et seulement si :

∀n∈N: u_n+1≥u_n (resp.u_n+1> u_n).

Une suite réelle (un)n∈Nest décroissante (resp. strictement décroissante) si et seulement si :

∀n∈N: un+1≤un (resp.un+1< un).

2.2 Limite d’une suite réelle

Nous souhaitons maintenant définir «u_ntend vers`lorsquentend vers l’infini » en formalisant l’énoncé «u_nest aussi proche que l’on veut de`sinest assez grand ». Cela conduit à la définition suivante :

Définition 2.6 Une suite réelle(un)n∈N tend, ou converge, vers`∈Rsi :

∀ε >0, ∃Nε∈N t.q. ∀n∈N : n≥Nε⇒ |un−`| ≤ε.

On note alors lim

n→+∞un =` ou un −→

n→+∞`. On dit de plus que la suite (un)_n∈N est convergente (ou qu’elle converge) si elle converge vers un certain réel ` et qu’elle est divergente (ou qu’elle diverge) sinon.

×

× ×

×

× × × × × ×

× × ×

`= 1 ε

Nε

Figure2.1 – Définition de la limite d’une suite : pour tout choix deε >0, il existe un rangNεà partir duquel tous les termes de la suite sont dans la zone hachurée

1. Dire que(un)n∈N converge vers`∈ Rsignifie la chose suivante : pour toute erreur ε >0 donnée aussi petite soit-elle, il existe un rangNε(l’indiceεvisant à souligner le fait que ce rang dépend a priori deε) tel qu’à partir de ce rang, l’écart |un−`| entre` et n’importe quel valeur de la suiteu_n est majoré par cette erreur.

(21)

2. Vérifier que l’on obtient la même définition en requérant :

∀ε >0, ∃N_ε∈N t.q. ∀n∈N : n≥N_ε⇒ |u_n−`|< ε.

3. Par définition,(un)n∈Nconverge vers`∈Rssi(un−`)n∈Nconverge vers0.

4. La notation lim

n→+∞un=` signifie que(un)_n∈N admet une limite et que sa limite est`. On se gardera donc de l’utiliser avant d’avoir montré l’existence d’une limite. On verra par ailleurs au paragraphe suivant que si une suite(u_n)_n∈_Nadmet une limite, alors celle-ci est unique (i.e.(u_n)_n∈_Nne peut pas admettre deux limites différentes), ce qui autorise bien à parler desalimite.

5. Une suite stationnaire est convergente et converge vers sa valeur stationnaire. Considérons en effet une suite(u_n)_n∈_Ntelle queu_n =u_N pour tout entiern≥N. On a alors, pour toute valeurε >0fixée,|un−uN|= 0< εdès quen≥N. D’après la définition précédente, cela signifie que lim

n→+∞un=uN.

6. Dans l’exemple précédent, remarquons que l’entierNεpeut être choisi égal à N quelle que soit la valeur deε >0. Il ne dépend donc pas deεdans ce cas.

7. Montrons que la suite(_n¹)_n∈N^∗ converge vers0. Considérons pour celaε >0. Il s’agit donc de montrer qu’il existe un rangNε∈N^∗tel que|¹_n| ≤εpour toutn≥Nε. Or, pourn∈N^∗,

|¹_n| ≤εssi ¹_ε ≤n. Il suffit de choisir pourNεn’importe quel entier plus grand ou égal que

1

ε pour conclure. En effet, on a pour un tel entier :n≥Nεimpliquen≥εet donc|_n¹| ≤ε.

Remarquons enfin que le plus petitNε convenable est ici donné par ¹_ε si ce réel est entier et par sa partie entière plus un sinon.

8. La suite(un)_n∈N= ((−1)ⁿ)_n∈N est divergente. Pour`∈R, on a en effet :

— si` /∈ {−1,1},(u_n)_n∈_Nne converge pas vers `car pour toutn∈N,

|un−`| = |(−1)ⁿ−`| ≥ min{|`−1|,|`+ 1|}>0 et donc|un−`|n’est majorée par aucunε∈]0,min{|`−1|,|`+ 1|}[,

— si`=−1,(un)n∈N ne converge pas vers`=−1car pour toutn∈N,

|u2n−`| = |(−1)²ⁿ+ 1| = 2

et donc|u_n−`|n’est jamais majorée par1 pour toutnsuffisamment grand,

— si`= 1, on montre de même que(un)_n∈_N ne converge pas vers`.

On définit similairement le fait de tendre vers+∞ou−∞pour une suite : Définition 2.7 1. Une suite réelle(un)n∈N tend, ou diverge, vers+∞si :

∀A∈R, ∃NA∈N t.q. ∀n∈N : n≥NA⇒un≥A.

On note alors lim

n→+∞un= +∞ouun −→

n→+∞+∞.

2. Une suite réelle (un)_n∈N tend, ou diverge, vers−∞si :

∀B ∈R, ∃NB∈N t.q. ∀n∈N : n≥NB⇒un≤B.

On note alors lim

n→+∞u_n=−∞ouu_n −→

n→+∞−∞.

1. Dire que (u_n)_n∈_N tend vers +∞ signifie que : pour toute valeur A donnée aussi grande soit-elle, il existe un rangN_A à partir duquel toutes la valeursu_n sont minorées parA. Le nombreA∈Rde la définition peut donc par exemple être remplacé parA∈R⁺ouA >2.

2. (u_n)_n∈_Ntend vers−∞si et seulement si(−u_n)_n∈

Ntend vers+∞.

3. La suite(√

n)_n∈_Ntend vers+∞. En effet, comme√

n≥Assin≥A² pourA∈R⁺, on a, pour toutA∈R⁺ fixé,√

n≥Apour tout entiernsupérieur àA².

(22)

×

× ×

× × ×

×

× × × × × ×

A

NA

Figure 2.2 – Définition d’une limite infinie : pour tout choix de A∈R, il existe un rang NA à partir duquel tous les termes de la suite sont dans la zone hachurée

2.3 Premières propriétés des limites

2.3.1 Unicité

Proposition 2.8 (Unicité de la limite) Soient (un)n∈N une suite réelle et deux réels ` et `⁰. On suppose que

n→+∞lim un =` et lim

n→+∞un=`⁰. Alors`=`⁰.

Preuve. Supposons par l’absurde que `6=`⁰ et quitte à échanger ` et `⁰, que` < `⁰. Alors, en considérantε= ^`⁰^−`₃ >0, on déduit de lim

n→+∞u_n =`l’existence deN₁∈Ntel que|un−`|<^`⁰^−`₃ pourn≥N1. De même, lim

n→+∞un =`⁰implique l’existence deN2∈Ntel que|un−`|< ^`⁰₃^−` pour n≥N2. On a par conséquent pour tout entiern≥N3= max{N1, N2}:

`−`⁰−`

3 < u_n< `+`⁰−`

3 = `⁰+ 2`

2 et 2`⁰+`

3 =`⁰−`⁰−`

3 < u_n< `⁰+`⁰−` 2

d’oùun< ^`⁰^+2`₃ <^2`⁰₃^+` < un et donc une contradiction. On a donc nécessairement`=`⁰.

×

× ×

×

× × × × × ×

× × ×

`

`⁰

`⁰−`

3

N3

Figure2.3 – Unicité de la limite : à partir du rangN3, tous les termes de la suite ne peuvent être que dans l’une des deux zones hachurées !

Proposition 2.9 Toute suite convergente est bornée.

Preuve. Soit donc une suite(un)n∈N admettant une limite`. D’après la définition de la limite, il existeN ∈N^∗tel que|un−`| ≤1 pour toutn≥N. L’inégalité triangulaire conduit alors, pour toutn≥N, à

|un| = |un−`+`| ≤ |un−`|+|`| ≤ 1 +|`|.

(23)

Comme par ailleurs|un| ≤max{|u0|, . . . ,|u_N−1|}pour toutn∈ {0, . . . , N−1}, il vient :

∀n∈N: |un| ≤max{|u0|, . . . ,|uN−1|,1 +|`|}.

Remarque La réciproque est fausse comme le montre l’exemple de la suite (−1)ⁿ, bornée mais non convergente.

Proposition 2.10 Si(u_n)_n∈_Nconverge vers` >0, alors il existeN∈Ntel queu_n≥₂^` – et donc tel queu_n>0 – pour tout entiern≥N.

Preuve. On utilise la définition d’une limite avec ε= ₂^` et on obtient l’existence de N ∈Ntel que|un−`| ≤ ^`₂ – i.e. tel queu_n∈[^`₂,3₂^`]– pour tout entiern≥N.

2.3.2 Théorème des gendarmes

Théorème 2.11 (dit « des gendarmes ») Soient(u_n)_n∈_N,(v_n)_n∈_Net(w_n)_n∈_Ntrois suites réelles telles que :

∀n∈N, u_n ≤ v_n ≤ w_n. On a :

1. Si lim

n→+∞u_n= +∞, alors lim

n→+∞v_n= +∞(et lim

n→+∞w_n= +∞).

2. Si lim

n→+∞w_n=−∞, alors lim

n→+∞v_n =−∞(et lim

n→+∞u_n=−∞).

3. Si lim

n→+∞u_n=`et lim

n→+∞v_n=`⁰, alors `≤`⁰. 4. Si lim

n→+∞un=`et lim

n→+∞wn=`, alors lim

n→+∞vn=`.

1. Attention, le point 3. de ce théorème ne s’étend pas aux inégalités strictes, comme le montre l’exempleun= 0etvn= 1/n: bien queun< vn pour toutn∈N, leurs limites sont égales.

2. Ce théorème fournit laméthode fondamentale pour montrer que lim

n→+∞un =`∈R: il suffit d’après le point 4. de trouver une majoration du type

∀n≥N, |un−`| ≤n,

où (_n)_n∈_N est une suite de limite 0. On peut en général prendre une telle suite (_n)_n∈_N dans une liste de suites de référence : par exemple_n=Cn^−αavecα >0,C une constante positive.

3. Montrons par exemple que lim

n→+∞

n²+ 1

n²+n+ 2 = 1. On écrit pour cela :

∀n∈N^∗,

n²+ 1 n²+n+ 2 −1

=

−n−1 n²+n+ 2

= n+ 1

n²+n+ 2 ≤

n²+n+2≥n²+n

n+ 1 n²+n = 1

n, d’où la conclusion puisque(_n¹)_n∈_N^∗ converge vers0.

Preuve.

1. Pour toutA∈R, il existeN ∈Ntel queun≥A, et doncvn≥un ≥A, pour toutn≥N. 2. Pour toutA∈R, il existeN∈Ntel quew_n≤A, et doncv_n ≤w_n≤A, pour toutn≥N.

(24)

3. Supposons un instant que `⁰ < `. On a alors, comme dans la preuve de l’unicité d’une limite, l’existence de N1 ∈ N tel que |un−`| < ^`−`₂⁰ pour n≥ N1 et de N2 ∈N tel que

|vn−`⁰|< ^`⁰^−`₂ pourn≥N2. En particulier, on a pour tout entiern≥max{N1, N2}, un > `−`−`⁰

2 = `+`⁰

2 et vn < `⁰+`−`⁰

2 = `+`⁰ 2 d’où une contradiction avecun≤vn pour toutn∈N.

4. Soit ε > 0. Par définition de la limite, il existe deux entiers naturels N1 et N2 tels que

|un−`| ≤ε pour tout entier n≥N1 et |wn−`| ≤ε pour tout entiern ≥N2. On a par conséquent pour tout entiern≥max{N1, N2},

`−ε ≤ un ≤ vn ≤ wn ≤ `+ε et donc |vn−`|< ε.

Ainsi(v_n)_n∈_Nconverge vers`.

Corollaire 2.12

1. Si(u_n)_n∈_N est une suite croissante tendant vers une limite`, on au_n ≤`pour toutn∈N. 2. Si (u_n)_n∈_N est une suite décroissante tendant vers une limite `, on a u_n ≥ ` pour tout

n∈N. Preuve.

1. SoitN ∈N. Alorsu_n≥u_N pour tout entiern≥N et d’après le point 3. du théorème 2.11,

`≥u_N.

2. SoitN ∈N. Alorsu_n≤u_N pour tout entiern≥N et d’après le point 3. du théorème 2.11,

`≤u_N.

2.3.3 Opérations sur les limites

En général, on connaît un certain nombre de limites de suites « simples » : suites polynomiales, exponentielles, etc. et, comme les suites que nous étudions sont pour la plupart obtenues grâce à des sommes, produits, quotients, etc. de ces suites simples, on veut pouvoir calculer des limites grâce à des moyens « opératoires ».

Somme

Proposition 2.13 (Cas fini) Soient(u_n)_n∈_Net(v_n)_n∈_Ndeux suites réelles convergeant vers deux réels `et `⁰. Alors la suite (un+vn)_n∈_N converge vers`+`⁰.

Preuve. Soit ε > 0. Il existe N1 ∈ N tel que |un−`| ≤ ^ε₂ pour tout n ≥ N1 et N2 ∈ N tel que |un−`⁰| ≤ ^ε₂ pour tout n ≥ N2. On a donc, pour tout n ≥ max{N1, N2}, par l’inégalité triangulaire :

|(un+vn)−(`+`⁰)| = |(un−`) + (vn−`⁰)| ≤ |un−`|+|vn−`⁰| ≤ ε 2 +ε

2 = ε.

Proposition 2.14 (Cas non fini) Soient(u_n)_n∈_N et(v_n)_n∈_Ndeux suites réelles.

1. Si(u_n)_n∈_N et(v_n)_n∈_N tendent vers+∞, alors la suite (u_n+v_n)_n∈_N tend vers +∞.

2. Si(u_n)_n∈_N et(v_n)_n∈_N tendent vers−∞, alors la suite (u_n+v_n)_n∈_N tend vers −∞.

3. Si(u_n)_n∈_N tend vers+∞et(v_n)_n∈_Nest minorée, alors (u_n+v_n)_n∈_N tend vers +∞.

(25)

4. Si(un)_n∈N tend vers−∞et(vn)_n∈Nest majorée, alors (un+vn)_n∈Ntend vers −∞.

1. À titre d’exercice, le lecteur pourra démontrer que les deux derniers points impliquent les deux premiers.

2. Dans le cas où une suite tend vers +∞ et une autre vers −∞, on ne peut rien dire de leur somme : (2n) + (−n) tend vers +∞, (n) + (−2n) vers −∞, (n) + (−n) vers 0 et (n+ (−1)ⁿ) + (−n)n’a pas de limite.

Preuve. On ne traite que le cas 3. Soit donc A ∈R. La suite (vn)n∈N étant minorée, il existe m ∈ R tel que vn ≥ m pour tout n ∈ N. Comme (un)n∈N tend vers +∞, il existe par ailleurs N ∈N tel queu_n ≥A−mpour tout n≥N. Ainsi, sin≥N, u_n+v_n ≥A−m+m=Ad’où

n→+∞lim (u_n+v_n) = +∞.

Produit

Proposition 2.15 (Cas fini) Soient(un)n∈N et(vn)n∈N deux suites réelles.

1. Si(u_n)_n∈_N tend vers0 et(v_n)_n∈_Nest bornée, alors la suite (u_nv_n)_n∈_N tend vers 0.

2. Si(un)_n∈_N tend vers`∈Ret(vn)_n∈_Ntend vers `⁰∈R, alors la (unvn)_n∈_Ntend vers ` `⁰. Preuve.

1. Soient ε > 0 fixé et M ≥ 0 un majorant de (|un|)n∈N. Comme lim

n→+∞un = 0, il existe N ∈N tel que |un| ≤ _M^ε pour toutn ≥N. Ainsi |unvn| ≤ _M^ε M =ε pour n≥N donc

n→+∞lim unvn= 0.

2. On remarque que unvn−` `⁰ = (un−`)vn+`(vn −`⁰) et il suffit donc de montrer que chacune des deux suites de cette somme tend vers0. Comme lim

n→+∞un =`et (vn)_n∈Nest bornée (car convergente), c’est bien le cas de la première et c’est aussi le cas de la seconde puisque lim

n→+∞v_n =`⁰ (et la suite(`)_n∈_Nest bornée).

Proposition 2.16 (Cas non fini) Soient(un)_n∈N et(vn)_n∈Ndeux suites réelles.

1. Si(u_n)_n∈_N et(v_n)_n∈_N tendent vers+∞, alors le produit (u_nv_n)_n∈_N tend vers +∞.

2. Si (u_n)_n∈_N tend vers +∞ et (v_n)_n∈_N est minorée par une constante strictement positive, alors(unvn)_n∈_N tend vers +∞.

1. En passant à l’opposé, on peut remplacer+∞par−∞ou la minoration par une constante strictement positive par la majoration par une constante strictement négative.

2. On ne peut pas conclure dans le cas du produit d’une suite tendant vers0 par une suite tendant vers+∞:(n²)·(_n¹)tend vers+∞,(n)·(_n¹2)vers0,(n)·(_n¹)vers1et(n.(−1)ⁿ)·(¹_n) n’a pas de limite.

Preuve. Traitons le cas 2. SoitA >0fixé. Par hypothèse, il existem >0 tel quevn ≥mpour toutn∈Net, comme lim

n→+∞un= +∞, il existeN∈Ntel queun >_m^A >0pour toutn≥N. On a doncunvn≥m^A_m=Apour toutn≥N, d’où lim

n→+∞unvn = +∞.

Quotient

Proposition 2.17 (Cas fini) Soient(u_n)_n∈_N et(v_n)_n∈_N deux suites réelles.