Les fonctions logarithme et exponentielle

Proposition 7.11 1. Siα= 0, la fonctionx7→x^αest la fonction constante égale à 1.

2. Siα6= 0,pαest une bijection de ]0,+∞[ sur]0,+∞[, de bijection réciproquep1 α. 3. Siα <0,lim^x→0

x>0 x^α= +∞,lim_x→+∞x^α= 0. La fonction pα est strictement décroissante sur ]0,+∞[.

4. Si α >0, limx→0 x>0

x^α = 0,lim_x→+∞x^α= +∞, p_α se prolonge par continuité en 0 en une fonction de classeC⁰ sur[0,+∞[, strictement croissante.

5. Siα≥1,pαse prolonge par continuité en 0 en une fonction de classeC¹ sur [0,+∞[.

6. Si0< α <1,pα n’est pas dérivable en0. Son graphe y admet une demi-tangente verticale.

7.4 Les fonctions logarithme et exponentielle

7.4.1 Rappels : fonctions logarithme et exponentielle

Dans certains ouvrages, dont celui-ci, le logarithme népérien est défini comme étant la primi-tives’annulant en1 dex7→ ¹_x sur l’intervalle]0 +∞[. Cette définition nécessite la connaissance du théorème d’existence des primitives de fonctions continues, ce que nous n’aborderons que dans le chapitre 8.2.

Théorème 7.12 (et Définition) Il existe une unique fonction, noté ln, appelée le logarithme népériendéfinie, de classeC¹ sur ]0,+∞[vérifiant,

1. ln 1 = 0

0 1

α=−1/2 α= 1 α= 1/3 α= 5/3

Figure7.2 – Les graphes de différentes fonctions puissances 2. ln⁰(x) =_x¹

De ceci, on peut déduire immédiatement les propriétés suivantes Proposition 7.13 1. Pour tousx, y >0,ln(xy) = lnx+ lny

2. Pour toutx >0,αrationnel, ln(x^α) =αlnx.

3. ln∈ C^∞(R^+∗)est strictement croissante surR^+∗,limx→0 x>0

lnx=−∞,lim_x→+∞lnx= +∞

Preuve. Prouvons par exemple le point 2. Fixonsαrationnel et considérons la fonctionf définie surI= ]0,+∞[parf(x) = ln(x^α). Cette fonction est de classe C¹surI, on af(1) = 0 et

f⁰(x) =αx^α−1 1 x^α =α1

On en déduit quef(x) =αln(x)pourx∈I, ce qui est ce que nous cherchons.

En ce qui concerne le point 3., la stricte croissance deln est issue de la stricte positivité de sa dérivée. On déduit de ceci queln 2>0. Le point 2. implique que ln 2ⁿ =nln 2 pour toutn∈Z. 2ⁿ etnln 2 tendent vers+∞lorsquen→+∞, on en déduit alors quelim_x→+∞lnx= +∞.

Dans la plupart des cours de terminale actuels, la fonction exponentielle est définie comme étant la seule solution valant1 en 0 de l’équation différentiellef⁰ =f. Cette définition nécessite la connaissance de résultats d’existence de solutions d’équations différentielles et nous préférons adopter ici une autre définition : d’après le point 3 de la question précédente et ln⁰(x) = ¹_x >0 pourx >0,lnréalise une bijection strictement croissante de classeC^∞deR^+∗ surR, ce qui mène à la définition et aux résultats ci-dessous.

Théorème 7.14 (et Définition) La fonction exponentielle, notée exp, est définie comme la bijection réciproque deln :R^+∗→R. On a donc par ce qui précède :

1. exp :R→R^+∗ (donc en particulierexp(x)>0pour toutx) est strictement croissante avec

x→−∞lim exp(x) = 0 et lim

x→+∞exp(x) = +∞.

2. exp∈ C^∞(R)et, pour toutx∈R, exp⁰(x) = 1

(exp⁻¹)⁰(exp(x)) = 1

ln⁰(exp(x))= exp(x). 3. exp(0) = 1et pour tous x, y∈R,exp(x+y) = exp(x).exp(y).

4. Pour toutx∈R,αrationnel,exp(α.x) = (exp(x))^α. Exemples et Remarques

1. Concernant la définition usuelle des cours de terminale actuels, on pourra remarquer que la fonction exponentielle est bien l’unique fonctionf dérivable sur R telle que f⁰ =f et f(0) = 1. En effet, on a déjà bienexp(0) = 1etexp⁰ = expsurR. Réciproquement, sif⁰ =f sur R, alors f⁰(x) exp(−x)−f(x) exp(−x) = 0 pour toutx∈ R c-à-d x7→f(x) exp(−x) est de dérivée nulle surR. Cela implique qu’il existeA∈Rtel quef(x) exp(−x) =Ai.e.

f(x) =Aexp(x)pour toutx∈Ret, si de plusf(0) = 1, alorsA= 1d’oùf = exp.

2. En posant e = exp(1) (ssi lne = 1), le point 4. implique que pour tout α rationnel, e^α= exp(α). On note en géréral, pourxréel,

e^x:= exp(x).

Les règles de calcul fondamentales sur les puissances sont respectées (a) e⁰= 1,

(b) pourx, yréels,e^x+y=e^x.e^y,

0 1 e

y= lnx y=e^x y=x

Figure7.3 – Les graphes y= lnxety=e^x

7.4.2 Croissances comparées

Proposition 7.15 1. Soit αun nombre rationnel,

x→+∞lim x^αe^x= +∞

2. Soit αun nombre rationnel,

x→+∞lim x^αe^−x= 0 3. Soit α >0, un nombre rationnel,

limx→0 x>0

x^αlnx= 0 4. Soit α <0, un nombre rationnel,

x→+∞lim x^αlnx= 0

Preuve. La difficulté majeure est de prouver le point 1. Soitnun entier naturel etx∈R. D’après la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordren+ 1entre0et x¹, on a :

e^x = 1 +x+· · ·+xⁿ

n! +xⁿ⁺¹ n!

Z 1 0

(1−u)ⁿ

| {z }

≥0

exp⁽ⁿ⁺¹⁾(xu)

| {z }

=e^xu≥0

≥ 1 +x+· · ·+xⁿ n! .

Fixons maintenant, pour un nombre rationnelαdonné, un entier n∈N^∗ strictement supérieur à

−α. On a donc :

∀x > 0 , x^αe^x ≥ x^α+· · ·+ 1

n!x^α+n −→

x→+∞ +∞,

la limite à droite étant une conséquence de l’inégalitéα+n >0, d’où la limite annoncée en vertu du théorème des gendarmes.

Pour le deuxième point, il suffit de se rappeler quee^−x= _e¹x. On a donc x^αe^−x= 1

x^−αe^x.

D’après le point 1., le membre de droite de cette égalité tend vers 0 car son dénominateur tend vers+∞.

Les points 3. et 4. sont des conséquences du point 2. puisqu’en posant y=−αlnx, on obtient (α >0etx→0⁺) ou (α <0etx→+∞)

ssiy→+∞, ainsi quex^αlnx=−_α¹ye^−y −→

y→+∞0.

7.4.3 Exponentielles et logarithmes de base a > 0, fonctions x 7→ x

^α

avec α ∈ R

Lorsque a∈R^+∗ etx∈Q, on a par ce qui précède :

ln(a^x) =xlna donc a^x= exp(xlna). Nous définissons alors, pourx∈R\Q:

a^x:= exp(xlna) (on a donc ainsi : ln(a^x) =xlna).

Pour a = exp(1) =e∈R, on a donc en particulier avec cette définitione^x = exp(xln(e)) = exp(x), d’où cette notation !

Lorsque a6= 1, exp_a : x∈R7→a^x ∈]0,+∞[ est une bijection deRsur ]0,+∞[. Sa bijection réciproque est la fonctionln_a : ]0,+∞[→R, définie par

lna(x) =lnx lna.

La valeur a= 10 est particulièrement prisée en physique-chimie, par exemple pour définir le pH d’une solution ou le bruit en décibels. Elle est notée le plus souvent parln10=log.

Pour α un réel quelconque, nous venons donc de définir aussi la fonctionpα parpα(x) =x^α sur l’intervalle]0,+∞[. Ces fonctions ont déjà été étudiées pour les valeurs deαrationnelles et les résultats des propositions 7.10, 7.11 sont encore valables avec des exposants réels.

De même, les résultats de proposition 7.15 sont encore valables avec des exposants réels.

1. Cette formule sera établie au théorème 9.2 du chapitre 9 sur les développements limités

7.5 Fonctions trigonométriques réciproques

Les généralités sur les fonctions réciproques montrent que celles-ci servent à résoudre une équation du type f(x) = y d’inconnue x pour un certain paramètre y. Modulo l’hypothèse de bijectivité, on obtient que la seule solution d’une telle équation estx=f⁻¹(y).

D’un intérêt particulier sont les équations trigonométriques, i.e faisant intervenir les fonctions tan, sin, cos etc. Certaines d’entre elles pourront être résolues grâce aux fonctions réciproques arctan,arcsin,arccos, etc.

Le lecteur doit cependant être conscient que la périodicité des fonctions trigonométriques usuelles est un obstacle à leur inversion.

7.5.1 La fonction arctan

La fonctiontanest définie partan(x) := ^sin_cos^x_x en tout pointxtel quecosx6= 0. Elle est donc définie sur

R\ {π

2 +kπ, k∈Z}.

La fonctiontan est impaire etπ-périodique et l’on a la proposition suivante qui résume ses pro-priétés :

Proposition 7.16 1. La fonction tanrestreinte à l’intervalle

−^π₂,+^π₂

est de classeC^∞. 2. Sa dérivée est donnée par la formule tan⁰(x) = 1 + tan²xet est donc >0 (sur l’intervalle

−^π₂,+^π₂ ).

lim

x→π 2 x< π2

tanx= +∞, lim

x→−π 2 x>−π 2

tanx=−∞,

4. tan 0 = 0,tan^π₄ = 1, etc.

On en déduit donc que

Théorème 7.17 1. tandéfinit une bijection de

−^π₂,+^π₂

sur R. Sa bijection réciproque est notéearctan.

2. arctanest une fonction strictement croissante deR sur

−^π₂,+^π₂ . 3. arctanest de classeC^∞ sur Ret sa dérivée est définie surRpar

arctan⁰(x) = 1 1 +x² 4.

x→+∞lim arctanx= +π 2, lim

x→−∞arctanx=−π 2, 5. arctanest impaire,arctan(0) = 0,arctan 1 = ^π₄, etc.

Concernant la résolution d’équations, on a

Proposition 7.18 Soit y ∈ R fixé. x est solution de l’équation tanx= y si et seulement si il existe un entier relatifk tel quex= arctany+kπ.

La proposition suivante, qui se prouve en étudiant la dérivée du membre de gauche, permet de ramener l’étude dearctanxen+∞à celle en0.

Proposition 7.19 Pour toutx >0, on a

arctanx+ arctan 1 x =π

−^π₂

−-1^π₄ 0

π 4

π 2

−^π₂ -1−^π₄ 0 ^π₄1 ^π₂ y= tanx y= arctanx y=x

Figure7.4 – Les graphes de y= tanx,x∈]−^π₂,^π₂[ety= arctanx,x∈]−1,+1[

7.5.2 La fonction arcsin

La fonction sin est impaire et 2π-périodique, de classe C^∞ sur R. La proposition suivante résume ses propriétés sur l’intervalle

−^π₂,+^π₂ .

Proposition 7.20 1. La fonction sinrestreinte à l’intervalle

−^π₂,+^π₂

est de classeC^∞. 2. Sur cet intervalle, sa dérivée est donnée par la formulesin⁰(x) = cosx=p

1−sin²xet y est donc>0.

3. sin 0 = 0,sin^π₂ = +1,sin−^π₂ =−1,sin^π₄ =

√2 2 , etc.

On en déduit donc que

Théorème 7.21 1. sindéfinit une bijection de

−^π₂,+^π₂

sur[−1,+1]. Sa bijection réciproque est notéearcsin.

2. arcsinest une fonction continue strictement croissante de [−1,+1] sur

−^π₂,+^π₂ . 3. arcsinest de classeC^∞ sur ]−1,+1[et sa dérivée y est définie par par

arcsin⁰(x) = 1

√

1−x² = (1−x²)⁻¹² 4. arcsinest impaire, arcsin(0) = 0,arcsin 1 = ^π₂, etc.

5. Le graphe dearcsin admet des demi-tangentes verticales aux pointsx=±1.

Concernant la résolution d’équations, on a

Proposition 7.22 Soity∈[−1,+1]fixé.xest solution de l’équationsinx=y si et seulement si il existe un entier relatifktel que x= arcsiny+ 2kπ oux=π−arcsiny+ 2kπ.

−^π₂ -1

−^π₄ 0

π 4

π 2

−^π₂ -1 −^π₄ 0 ^π₄ 1 ^π₂ y= sinx y= arcsinx y=x

Figure7.5 – Les graphes dey= sinxet y= arcsinx

7.5.3 La fonction arccos

La fonctioncosest paire et2π-périodique, de classeC^∞ surR. La proposition suivante résume ses propriétés sur l’intervalle[0, π].

Proposition 7.23 1. La fonction cosrestreinte à l’intervalle [0, π] est de classeC^∞. 2. Sur cet intervalle, sa dérivée est donnée par la formule cos⁰(x) =−sinx=−√

1−cos²x et y est donc<0.

3. cos 0 = 1,cos^π₂ = 0,cos^π₄ =

√2

2 ,cosπ=−1etc.

On en déduit donc que

Théorème 7.24 1. cosdéfinit une bijection de[0, π]sur[−1,+1]. Sa bijection réciproque est notéearccos.

2. arccosest une fonction continue strictement décroissante de [−1,+1]sur [0, π].

3. arccosest de classeC^∞ sur ]−1,+1[ et sa dérivée y est définie par arccos⁰(x) =− 1

√

1−x² =−(1−x²)⁻¹² 4. arccos(1) = 0,arccos−1 =π,arccos 0 =^π₂, etc.

5. Le graphe dearccosadmet des demi-tangentes verticales aux pointsx=±1.

Concernant la résolution d’équations, on a

Proposition 7.25 Soity∈[−1,+1]fixé.xest solution de l’équation cosx=y si et seulement si il existe un entier relatifktel que x= arccosy+ 2kπ oux=−arccosy+ 2kπ.

On a la relation suivante entrearcsin etarccos. La preuve en est aisée en dérivant le membre de gauche. Cette relation est à rapprocher de la formule de trigonométrie bien connue cosx = sin(^π₂−x)valable pour tout réelx.

Proposition 7.26 Pour toutx∈[−1,+1],arcsinx+ arccosx=^π₂

-1 -1/2 0 1/2

π 4

π 2

-1 -1/2 0 1/2^π₄ 1 ^π₂ π

y = cosx y= arccosx y=x

Figure7.6 – Les graphes dey= cosxet y= arccosx

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