1.1 Fonctions réelles d’une variable réelle
1.1.6 Fonction injective, surjective et bijective ; fonction réciproque
(on se sert ici de l’exemple précédent) (b) Soitt∈]−π,0[ett6=−π
2 (quel est le domaine de définition de la tangente ?) En résumé, le domaineDcherché est
D=i
1.1.6 Fonction injective, surjective et bijective ; fonction réciproque
Définition 1.6 Soitf :D →A une fonction de variable réelle. On dit quef est injective (ou que c’est une injection) si tout élément de A a au plus un antécédent par f, ou encore si deux éléments deD distincts ont des images distinctes par f, i.e.11
f est injective ⇐⇒ ∀x, x0 ∈D , f(x) =f(x0)⇒x=x0
⇐⇒ ∀x, x0 ∈D , x6=x0⇒f(x)6=f(x0)
Définition 1.7 Soitf :D→Aune fonction de variable réelle. On dit quef estsurjective (ou que c’est une surjection) si tout élément de Aadmet (au moins) un antécédent par f. Autrement dit :
f est surjective ⇐⇒ ∀y∈A , ∃x∈D t.q.f(x) =y
⇐⇒ Imf = f(D) = A Exemples et Remarques
1. L’application carréf :R→R,x7→x2n’est ni surjective, ni injective.
— Elle n’est pas surjective car par exemple−1(et en fait touty <0) n’a aucun antécédent parf carf(x)≥0pour toutx∈R.
11. les quantificateurs logiques «⇔», «⇒» et «∀» employés ci-dessous signifient respectivement « si et seulement si », « implique » et « pour tout ».
— Elle n’est pas injective car par exemplef(1) =f(−1)(et−16= 1...).
2. Il faut faire très attention aux ensembles de départ et d’arrivée utilisés dans la définition de la fonction étudiée. Par exemple :
— f :
R → R
x 7→ x2 n’est pas surjective mais g :
R → R+
x 7→ x2 l’est. Or il s’agit
« presque » de la même fonction puisque Df = Dg = R et f(x) = g(x) pour tout réel x.
— f :
R → R
x 7→ x2 n’est pas injective mais sa restriction àR−,f R−:
R− → R x 7→ f(x) l’est (comme sa restriction à R+ d’ailleurs).
3. De façon générale, sif :D→Aest une fonction donnée, alorsf˜:
D → Imf =f(D) x 7→ f(x)
est surjective.
4. Toute fonction strictement monotonef :D→Aest injective. En effet, si elle est strictement croissante, alors si x 6= y, on a soit x < y donc f(x) < f(y), soit x > y auquel cas f(x)> f(y), donc dans tous les casf(x)6=f(y). Le casf strictement décroissante s’obtient en inversant les inégalités strictes.
Définition 1.8 Soitf :D →A une fonction de variable réelle. On dit quef est bijective (ou que c’est une bijection) si elle est à la fois injective et surjective. Autrement dit, si tout élémenty deAadmet un unique antécédentx∈D par f :
f est bijective ⇐⇒ ∀y∈A , ∃!x∈D t.q. f(x) =y12
Sif :D→Aest bijective, alors on peut définir une fonction deAdansDde la façon suivante : à tout y ∈ A, on associe l’unique x∈D tel que f(x) =y. On appelle cette fonction bijection réciproquedef et on la notef−1. Elle est caractérisée par la proposition suivante :
Proposition 1.9 (Caractérisation de la bijection réciproque) Soit f : D → A une fonc-tion bijective. Alors sa bijecfonc-tion réciproquef−1:A→D est caractérisée par
∀(x, y) ∈D×A , y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y) Preuve. Cela découle de la définition def−1:
A → D
y 7→ lex∈D tel quef(x) =y . Exemples et Remarques
1. De part cette caractérisation,f−1:A→D est également bijective et f−1−1
=f. 2. Sif :D→Aest bijective, alorsf−1◦f = IdD etf ◦f−1= IdA. Autrement dit :
∀x∈D , f−1(f(x)) = x et ∀y∈A , f(f−1(y)) = y .
3. En pratique, on peut trouver f−1 : A →D en résolvant l’équation f(x) = y, d’inconnue x∈D, pour chaque y∈A:
— Comme f : D → A est bijective, cette équation admet en effet pour unique solution x=f−1(y)pour chaquey∈A13.
— Réciproquement, si cette équation admet une unique solutionx∈Dpour chaquey∈A, alors f : D → A est bijective (puisqu’alors, tout y ∈ A admet un unique antécédent dansDparf, à savoir l’unique solution de l’équation) et cette solution n’est donc autre quex=f−1(y).
4. Sif :A→B et g:B →C sont bijectives, alorsg◦f :A→C est bijective et(g◦f)−1= f−1◦g−1. En effet, on a :
∀(x, y)∈A×C , g◦f(x) =y ssi
gbijectivef(x) =g−1(y) ssi
fbijectivex=f−1(g−1(y)) =f−1◦g−1(y) et l’équationg◦f(x) =y a, pour touty ∈C, une unique solution :x=f−1◦g−1(y)∈A.
12. le quantificateur logique «∃!» signifie « il existe un unique ».
13. de par la caractérisation def−1 donnée à la proposition 1.9
5. Si f : D → A est injective, alors f˜ :
D → Imf
x 7→ f(x) est bijective (car injective et surjective). C’est en particulier le cas sif est strictement monotone surD!
6. ln :R+∗→Rest bijective de bijection réciproqueexp :R→R+∗. 7. (·)2:R+→R+, x7→x2 est bijective de bijection réciproque√
·:R+→R+, x7→√ x.
8. (·)2:R−→R+, x7→x2est bijective de bijection réciproque−√
·:R+→R−, x7→ −√ x.
9. Exercice.Montrer quef :D→A est bijective ssi il existeh:A→D tel quef ◦h= IdA
eth◦f = IdDet qu’alorshest unique et vautf−1.
10. Exercice résolu en cours.Montrer que la fonction sinus hyperbolique définie par sh :
R → R x 7→ ex−e2−x est bijective et donner l’expression def−1.
Pour cela, on cherche donc à résoudre l’équation ex−e2−x =y d’inconnuex∈Rpoury∈R. Comme on a
ex−e−x
2 =y ssi
×2ex6=0 e2x−1 = 2yex ssi (ex)2−2yex−1 = 0,
cela revient donc à résoudre l’équation X2−2yX−1 = 0 d’inconnueX =ex ∈R+∗. Le discriminant ∆ de ce polynôme vaut∆ = 4y2+ 4 >0 donc il admet deux racines réelles distinctes, à savoir
X1 = 2y−p 4y2+ 4
2 = y−p
y2+ 1 et X2 = 2y+p 4y2+ 4
2 = y+p
y2+ 1. Ainsix est solution de ex+e2−x =y ssi ex =X1 ouex =X2. Comme de plusp
y2+ 1 >
py2=|y| ≥y pour touty réel (par stricte croissance de√), on aX1<0et X2>0 donc ex=X1ouex=X2 ssiex=X2 et
xest solution de ex−e−x
2 =y ssi ex = X2 = y+p y2+ 1 ssi x= ln(y+p
y2+ 1). La fonctionsh :R→Rest donc bijective, de bijection réciproque
R → R y 7→ ln(y+p
y2+ 1) .
Chapitre 2
Suites numériques
2.1 Premières définitions
Définition 2.1 On appelle suite à valeurs réelles une application deN, ou d’une partie de Nde la forme {n∈N ; n≥N}, dansR. On la note (un)n∈N ou(un)n≥N.
Exemples et Remarques
1. Une suite réelle est donc une fonction u:
N(ou{n∈N; n≥N}) −→ R(ouC)
n 7−→ un=u(n)
notée(un)n∈N (ou(un)n≥N) au lieu deu.
2. un est la valeur de la suite au point n, c’est donc un nombre dépendant du paramètren, analogue pour les suites (qui sont des fonctions définies surNou{n∈N; n≥N}) def(x) pour les fonctions.
Définition 2.2 Une suite réelle(un)n∈N est dite i) majorée s’il existeM ∈Rtel que :
∀n∈N, un≤M.
ii) minorée s’il existe m∈Rtel que :
∀n∈N , un≥m.
iii) bornée s’il existeC∈Rtel que :
∀n∈N , |un| ≤C.
Remarque La suite (un)n∈Nest donc bornée si et seulement si la suite(|un|)n∈Nest majorée et on a la propriété suivante :
Proposition 2.3 Une suite réelle est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.
Preuve. Soit(un)n∈Nune suite réelle majorée parM et minoréem. Alors : siun≥0:|un|=un≤M et siun≤0:|un|=−un≤ −m.
Ainsi : |un| ≤max{−m, M}pour toutn∈N.
Réciproquement, soient (un)n∈N une suite réelle etC un réel tels que|un| ≤C pour toutn∈N.
Alors :−C≤un≤Cpour toutn∈N.
Définition 2.4 Une suite réelle(un)n∈N est dite :
1. croissante si pour tout(p, q)∈N2 :p < q impliqueup≤uq,
2. strictement croissante si pour tout(p, q)∈N2 :p < q impliqueup< uq, 3. décroissante si pour tout (p, q)∈N2 :p < q impliqueup≥uq,
4. strictement décroissante si pour tout(p, q)∈N2 :p < q impliqueup> uq, 5. stationnaire s’il existe N tel queup=uN pour tout entier p≥N,
6. monotone si elle est croissante ou décroissante,
7. strictement monotone si elle est strictement croissante ou décroissante.
Une récurrence immédiate montre :
Proposition 2.5 Une suite réelle(un)n∈Nest croissante (resp. strictement croissante) si et seule-ment si :
∀n∈N: un+1≥un (resp.un+1> un).
Une suite réelle (un)n∈Nest décroissante (resp. strictement décroissante) si et seulement si :
∀n∈N: un+1≤un (resp.un+1< un).