× ×
× × ×
×
× × × × × ×
A
NA
Figure 2.2 – Définition d’une limite infinie : pour tout choix de A∈R, il existe un rang NA à partir duquel tous les termes de la suite sont dans la zone hachurée
2.3 Premières propriétés des limites
2.3.1 Unicité
Proposition 2.8 (Unicité de la limite) Soient (un)n∈N une suite réelle et deux réels ` et `0. On suppose que
n→+∞lim un =` et lim
n→+∞un=`0. Alors`=`0.
Preuve. Supposons par l’absurde que `6=`0 et quitte à échanger ` et `0, que` < `0. Alors, en considérantε= `0−`3 >0, on déduit de lim
n→+∞un =`l’existence deN1∈Ntel que|un−`|<`0−`3 pourn≥N1. De même, lim
n→+∞un =`0implique l’existence deN2∈Ntel que|un−`|< `03−` pour n≥N2. On a par conséquent pour tout entiern≥N3= max{N1, N2}:
`−`0−`
3 < un< `+`0−`
3 = `0+ 2`
2 et 2`0+`
3 =`0−`0−`
3 < un< `0+`0−` 2
d’oùun< `0+2`3 <2`03+` < un et donc une contradiction. On a donc nécessairement`=`0.
×
× ×
×
× × × × × ×
× × ×
`
`0
`0−`
3
N3
Figure2.3 – Unicité de la limite : à partir du rangN3, tous les termes de la suite ne peuvent être que dans l’une des deux zones hachurées !
Proposition 2.9 Toute suite convergente est bornée.
Preuve. Soit donc une suite(un)n∈N admettant une limite`. D’après la définition de la limite, il existeN ∈N∗tel que|un−`| ≤1 pour toutn≥N. L’inégalité triangulaire conduit alors, pour toutn≥N, à
|un| = |un−`+`| ≤ |un−`|+|`| ≤ 1 +|`|.
Comme par ailleurs|un| ≤max{|u0|, . . . ,|uN−1|}pour toutn∈ {0, . . . , N−1}, il vient :
∀n∈N: |un| ≤max{|u0|, . . . ,|uN−1|,1 +|`|}.
Remarque La réciproque est fausse comme le montre l’exemple de la suite (−1)n, bornée mais non convergente.
Proposition 2.10 Si(un)n∈Nconverge vers` >0, alors il existeN∈Ntel queun≥2` – et donc tel queun>0 – pour tout entiern≥N.
Preuve. On utilise la définition d’une limite avec ε= 2` et on obtient l’existence de N ∈Ntel que|un−`| ≤ `2 – i.e. tel queun∈[`2,32`]– pour tout entiern≥N.
2.3.2 Théorème des gendarmes
Théorème 2.11 (dit « des gendarmes ») Soient(un)n∈N,(vn)n∈Net(wn)n∈Ntrois suites réelles telles que :
∀n∈N, un ≤ vn ≤ wn. On a :
1. Si lim
n→+∞un= +∞, alors lim
n→+∞vn= +∞(et lim
n→+∞wn= +∞).
2. Si lim
n→+∞wn=−∞, alors lim
n→+∞vn =−∞(et lim
n→+∞un=−∞).
3. Si lim
n→+∞un=`et lim
n→+∞vn=`0, alors `≤`0. 4. Si lim
n→+∞un=`et lim
n→+∞wn=`, alors lim
n→+∞vn=`.
Exemples et Remarques
1. Attention, le point 3. de ce théorème ne s’étend pas aux inégalités strictes, comme le montre l’exempleun= 0etvn= 1/n: bien queun< vn pour toutn∈N, leurs limites sont égales.
2. Ce théorème fournit laméthode fondamentale pour montrer que lim
n→+∞un =`∈R: il suffit d’après le point 4. de trouver une majoration du type
∀n≥N, |un−`| ≤n,
où (n)n∈N est une suite de limite 0. On peut en général prendre une telle suite (n)n∈N dans une liste de suites de référence : par exemplen=Cn−αavecα >0,C une constante positive.
3. Montrons par exemple que lim
n→+∞
n2+ 1
n2+n+ 2 = 1. On écrit pour cela :
∀n∈N∗,
n2+ 1 n2+n+ 2 −1
=
−n−1 n2+n+ 2
= n+ 1
n2+n+ 2 ≤
n2+n+2≥n2+n
n+ 1 n2+n = 1
n, d’où la conclusion puisque(n1)n∈N∗ converge vers0.
Preuve.
1. Pour toutA∈R, il existeN ∈Ntel queun≥A, et doncvn≥un ≥A, pour toutn≥N. 2. Pour toutA∈R, il existeN∈Ntel quewn≤A, et doncvn ≤wn≤A, pour toutn≥N.
3. Supposons un instant que `0 < `. On a alors, comme dans la preuve de l’unicité d’une limite, l’existence de N1 ∈ N tel que |un−`| < `−`20 pour n≥ N1 et de N2 ∈N tel que
|vn−`0|< `0−`2 pourn≥N2. En particulier, on a pour tout entiern≥max{N1, N2}, un > `−`−`0
2 = `+`0
2 et vn < `0+`−`0
2 = `+`0 2 d’où une contradiction avecun≤vn pour toutn∈N.
4. Soit ε > 0. Par définition de la limite, il existe deux entiers naturels N1 et N2 tels que
|un−`| ≤ε pour tout entier n≥N1 et |wn−`| ≤ε pour tout entiern ≥N2. On a par conséquent pour tout entiern≥max{N1, N2},
`−ε ≤ un ≤ vn ≤ wn ≤ `+ε et donc |vn−`|< ε.
Ainsi(vn)n∈Nconverge vers`.
Corollaire 2.12
1. Si(un)n∈N est une suite croissante tendant vers une limite`, on aun ≤`pour toutn∈N. 2. Si (un)n∈N est une suite décroissante tendant vers une limite `, on a un ≥ ` pour tout
n∈N. Preuve.
1. SoitN ∈N. Alorsun≥uN pour tout entiern≥N et d’après le point 3. du théorème 2.11,
`≥uN.
2. SoitN ∈N. Alorsun≤uN pour tout entiern≥N et d’après le point 3. du théorème 2.11,
`≤uN.
2.3.3 Opérations sur les limites
En général, on connaît un certain nombre de limites de suites « simples » : suites polynomiales, exponentielles, etc. et, comme les suites que nous étudions sont pour la plupart obtenues grâce à des sommes, produits, quotients, etc. de ces suites simples, on veut pouvoir calculer des limites grâce à des moyens « opératoires ».
Somme
Proposition 2.13 (Cas fini) Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites réelles convergeant vers deux réels `et `0. Alors la suite (un+vn)n∈N converge vers`+`0.
Preuve. Soit ε > 0. Il existe N1 ∈ N tel que |un−`| ≤ ε2 pour tout n ≥ N1 et N2 ∈ N tel que |un−`0| ≤ ε2 pour tout n ≥ N2. On a donc, pour tout n ≥ max{N1, N2}, par l’inégalité triangulaire :
|(un+vn)−(`+`0)| = |(un−`) + (vn−`0)| ≤ |un−`|+|vn−`0| ≤ ε 2 +ε
2 = ε.
Proposition 2.14 (Cas non fini) Soient(un)n∈N et(vn)n∈Ndeux suites réelles.
1. Si(un)n∈N et(vn)n∈N tendent vers+∞, alors la suite (un+vn)n∈N tend vers +∞.
2. Si(un)n∈N et(vn)n∈N tendent vers−∞, alors la suite (un+vn)n∈N tend vers −∞.
3. Si(un)n∈N tend vers+∞et(vn)n∈Nest minorée, alors (un+vn)n∈N tend vers +∞.
4. Si(un)n∈N tend vers−∞et(vn)n∈Nest majorée, alors (un+vn)n∈Ntend vers −∞.
Exemples et Remarques
1. À titre d’exercice, le lecteur pourra démontrer que les deux derniers points impliquent les deux premiers.
2. Dans le cas où une suite tend vers +∞ et une autre vers −∞, on ne peut rien dire de leur somme : (2n) + (−n) tend vers +∞, (n) + (−2n) vers −∞, (n) + (−n) vers 0 et (n+ (−1)n) + (−n)n’a pas de limite.
Preuve. On ne traite que le cas 3. Soit donc A ∈R. La suite (vn)n∈N étant minorée, il existe m ∈ R tel que vn ≥ m pour tout n ∈ N. Comme (un)n∈N tend vers +∞, il existe par ailleurs N ∈N tel queun ≥A−mpour tout n≥N. Ainsi, sin≥N, un+vn ≥A−m+m=Ad’où
n→+∞lim (un+vn) = +∞.
Produit
Proposition 2.15 (Cas fini) Soient(un)n∈N et(vn)n∈N deux suites réelles.
1. Si(un)n∈N tend vers0 et(vn)n∈Nest bornée, alors la suite (unvn)n∈N tend vers 0.
2. Si(un)n∈N tend vers`∈Ret(vn)n∈Ntend vers `0∈R, alors la (unvn)n∈Ntend vers ` `0. Preuve.
1. Soient ε > 0 fixé et M ≥ 0 un majorant de (|un|)n∈N. Comme lim
n→+∞un = 0, il existe N ∈N tel que |un| ≤ Mε pour toutn ≥N. Ainsi |unvn| ≤ Mε M =ε pour n≥N donc
n→+∞lim unvn= 0.
2. On remarque que unvn−` `0 = (un−`)vn+`(vn −`0) et il suffit donc de montrer que chacune des deux suites de cette somme tend vers0. Comme lim
n→+∞un =`et (vn)n∈Nest bornée (car convergente), c’est bien le cas de la première et c’est aussi le cas de la seconde puisque lim
n→+∞vn =`0 (et la suite(`)n∈Nest bornée).
Proposition 2.16 (Cas non fini) Soient(un)n∈N et(vn)n∈Ndeux suites réelles.
1. Si(un)n∈N et(vn)n∈N tendent vers+∞, alors le produit (unvn)n∈N tend vers +∞.
2. Si (un)n∈N tend vers +∞ et (vn)n∈N est minorée par une constante strictement positive, alors(unvn)n∈N tend vers +∞.
Exemples et Remarques
1. En passant à l’opposé, on peut remplacer+∞par−∞ou la minoration par une constante strictement positive par la majoration par une constante strictement négative.
2. On ne peut pas conclure dans le cas du produit d’une suite tendant vers0 par une suite tendant vers+∞:(n2)·(n1)tend vers+∞,(n)·(n12)vers0,(n)·(n1)vers1et(n.(−1)n)·(1n) n’a pas de limite.
Preuve. Traitons le cas 2. SoitA >0fixé. Par hypothèse, il existem >0 tel quevn ≥mpour toutn∈Net, comme lim
n→+∞un= +∞, il existeN∈Ntel queun >mA >0pour toutn≥N. On a doncunvn≥mAm=Apour toutn≥N, d’où lim
n→+∞unvn = +∞.
Quotient
Proposition 2.17 (Cas fini) Soient(un)n∈N et(vn)n∈N deux suites réelles.
1. Si (vn)n∈N tend vers ` ∈ R\ {0}, alors v1
n
n≥N est définie pour N assez grand et tend vers 1`.
n≥N est bien définie pour N assez grand car (vn)n∈N ayant une limite non nulle,(|vn|)n≥N est minorée par |`|2 pourN assez grand. Considérons maintenantε >0. Il existe alors un entierN1≥N tel que|vn−`| ≤ |`|2ε2 pour toutn≥N1. On a alors pour 2. Immédiat par le point précédent et produit de limites.
Proposition 2.18 (Cas non fini) Soient(un)n∈N et(vn)n∈Ndeux suites réelles.
1. Si(|vn|)n∈N tend vers+∞, alors v1
n
n≥N est définie pourN assez grand et tend vers 0.
2. Si(vn)n∈Nest à valeurs dans R+∗ et tend vers0, alors v1 assez grand et tend vers+∞.
4. Si(un)n∈N tend vers`∈Ret (|vn|)n∈N tend vers+∞, alors uvn
n
n≥N est définie pourN assez grand et tend vers0.
5. Si (un)n∈N tend vers `∈ R+∗∪ {+∞} et (vn)n∈N est à valeurs dans R+∗ et tend vers0,
2. Comme le montre la seconde remarque suivant la proposition 2.16, on ne peut pas conclure dans les cas du quotient de deux suites tendant toutes deux vers0ou+∞.
Preuve. 3. Immédiat par la proposition précédente et produit de limites.
4. Immédiat par le point 1. et produit de limites.
5. Immédiat par le point 2. et produit de limites.
Remarque Ce théorème permet également de traiter des quotients de suites tendant vers0 par passage à l’inverse.
Preuve.
1. Montrons nn n!. Comme pour toutn∈N∗, 0≤ nn!n = n1 · 2n· · ·nn ≤ n1 (on a majoré les n−1 derniers facteurs par1), on déduit lim
n→+∞
n!
nn = 0du théorème des gendarmes.
2. Montronsn!an. SoitN la partie entière deaet C=aN
N! de sorte que, pour tout entier n > N,
an n! = a
1· · · a N · a
N+ 1· · · a n−1· a
n = C a
N+ 1· · · a n−1· a
n. CommeN+1a · · ·n−1a ≤1, on a donc, pour tout entiern > N,0≤an!n ≤C an d’où lim
n→+∞
an n! = 0d’après le théorème des gendarmes.
3. Les deux autres résultats sont des conséquences de la définition des fonctions exp et ln que nous verrons au chapitre 7 sur les fonctions réciproques (c.f. en particulier les para-graphes 7.4.2 et 7.4.3).