4.3 Preuve du théorème 4.15
Comme g(a)g(b)< 0, on a nécessairementa 6=b et, quitte à les échanger, on peut supposer quea < b. On supposera aussi, quitte à considérer−gau lieu deg, queg(a)≤0≤g(b).
Il s’agit de construire une solution à l’équation g(x) = 0d’inconnue x∈[a, b] sous les hypo-thèses queg est continue sur[a, b]et queg(a)etg(b)sont de signes opposés. L’idée est de donner un algorithme de recherche de racines, l’algorithme de dichotomie8, fournissant deux suites d’approximations par défaut et par excès d’une solution de cette équation.
Soita0=a,b0=bet c0=a0+b2 0 ∈[a0, b0]. On procède comme suit.
— Si l’un des nombres g(a0), g(b0) ou g(c0) est nul, l’algorithme est terminé et on a bien trouvé une solution de l’équationg(x) = 0.
— Sinon, on a g(a0) < 0 < g(b0) et deux possibilités pour g(c0) : g(c0) < 0 ou g(c0) > 0.
Alors :
— sig(c0)<0, on posea1=c0, b1=b0 etc1= a1+b2 1,
— sig(c0)>0, on posea1=a0,b1=c0 et c1=a1+b2 1,
de sorte que dans les deux cas :g(a1)<0< g(b1)eta0≤a1≤c1≤b1≤b0. En réitérant ce procédé, on a l’alternative entre :
— ou bien l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’étapes, ce qui signifie que l’on a obtenu une solution de l’équationg(x) = 0à la dernière étape,
— ou bien l’algorithme ne s’arrête pas auquel cas on construit récursivement deux suites (an)n∈Net (bn)n∈N telles que
— pour toutn∈N,g(an)<0< g(bn),
— (an)n∈N croît,(bn)n∈N décroît,an ≤bn etbn−an= b−a2n →0.
Les suites(an)n∈Net(bn)n∈Nsont donc adjacentes et admettent une même limitex∈[a, b].
Commegest continue sur[a, b]donc enx, on en déduit lim
n→+∞g(an) = lim
n→+∞g(bn) =g(x).
Et en passant à la limiteg(an)<0< g(bn): lim
n→+∞g(an)≤0≤ lim
n→+∞g(bn)i.e.g(x) = 0.
8. C.f. la preuve du théorème 2.32 de Bolzano-Weierstrass où nous avons aussi utilisé une méthode de dichotomie.
a0 b0
a1 b1
a2 b2
a3 b3
c0 c1
c2 c3
y=f(x)
Figure4.2 – L’algorithme de dichotomie. Le pointc3est très proche d’une solution de l’équation
Chapitre 5
Dérivabilité
5.1 Dérivée en un point et interprétation géométrique
5.1.1 Définition
Dans la suite f est toujours une fonction définie au voisinage du réelx0, y compris enx0. Définition 5.1 Soitx0 un réel,f une fonction définie au voisinage dex0.
1. La fonctionθ définie par θ(x) = f(x)−f(xx−x 0)
0 est bien définie au voisinage dex0 sauf en x0. θ(x)est letaux d’accroissement def entrexetx0.
2. On dit que f est dérivable enx0 lorsque le taux d’accroissement def entrexetx0 admet une limite lorsque x→x0, x6=x0. Cette limite s’appelle le nombre dérivé def en x0 et est notéf0(x0). On a donc, lorsque cela a un sens,
f0(x0) := lim
x→x0,x6=x0
f(x)−f(x0)
x−x0 = lim
h→0,h6=0
f(x0+h)−f(x0) h
3. En notation physicienne, en considérant les variablesxet y=f(x), on a, dy
dx x=x
0
= lim
x→x0,x6=x0
y−y0 x−x0
Exemples et Remarques
1. f :R→Rdéfinie parf(x) =x2admet un nombre dérivé en toutx0∈R. On af0(x0) = 2x0. 2. g:R+ →Rdéfinie parg(x) =√
xadmet un nombre dérivé (ouune dérivée) enx0 pour toutx0>0. On a
g0(x0) = 1 2√
x0
3. h: R→R définie par h(x) =x2sinx1 si x6= 0et h(0) = 0 est dérivable en x0 = 0 avec h0(0) = 0(Elle est d’ailleurs dérivable en toutx0∈R, ce que l’on verra plus tard.)
5.1.2 Interprétation géométrique
En considérant le graphe def au voisinage dex0, pourx6=x0lacordeau graphe passant par les pointsM0etM de coordonnées(x0, f(x0))et(x, f(x))a pour équation cartésienne (d’inconnues X, Y ∈R)
Y −f(x0) =θ(x).(X−x0)
0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25
f(x) t(x)
Figure5.1 –x0= 1.1, quelques cordes au graphe def passant par (x0, f(x0))et la tangente au graphe enx0
Lorsque x tend vers x0, θ(x) tend vers f0(x0), ce qui signifie géométriquement que la corde se
« rapproche » de la droite d’équation
Y −f(x0) =f0(x0).(X−x0) Cette droite est appelée la tangente au graphe def enx0.
5.1.3 Tangente verticale
Si le taux d’accroissement d’une fonction f en un pointx0 admet une limite infinie lorsquex tend versx0. On dit que le graphe def admet une tangente verticale. Attention ! Dans un tel cas, la fonctionf n’est pas dérivable enx0
Un exemple typique est le cas fonctionx7→x13 en0. Nous invitons le lecteur à tracer l’allure de son graphe au voisinage de0.
5.1.4 DL d’ordre 1
De la définition même de limite, on déduit la
Proposition 5.2 Soit x0 un réel, f une fonction définie au voisinage de x0. f est dérivable en x0 si et seulement si il existe un nombre` et une fonction, définie au voisinage de 0 tels que
(i) est continue en0,(0) = 0, (ii) pourxau voisinage de x0, on a
f(x) =f(x0) +`.(x−x0) + (x−x0)(x−x0) Dans ce cas,`=f0(x0).
L’écriture du point (ii) s’appelle le développement limité d’ordre 1def au voisinage de x0.
5.1.5 Dérivabilité et continuité
Corollaire 5.3 Si f est dérivable en x0, elle y est continue.
Exemples et Remarques
1. La réciproque est fausse comme le montre l’exemple de la fonction valeur absolue en0.
2. On peut construire une fonction, continue surR, qui n’est dérivable en aucun point
5.1.6 Dérivabilité à droite et à gauche
Définition 5.4 Soitx0∈R,f une fonction définie dans un voisinage à droite dex0. On dit que f est dérivable à droite enx0, de nombre dérivé fd0(x0)si f(x)−f(xx−x 0)
0 admet une limite lorsquex tend vers x0 à droite. Dans ce cas
On a une définition similaire pour la dérivabilité à gauche etfg0(x0), le nombre dérivé à gauche.
Proposition 5.5 Soitf définie au voisinage du pointx0.f est dérivable enx0si et seulement si elle y est dérivable à gauche et à droite et
fd0(x0) =fg0(x0)
Exercice résolu en cours.Étude de la dérivabilité def(x) =√
x2+x3 définie sur[−1,+∞[en
−1à droite et en0.
5.1.7 Opérations algébriques
Proposition 5.6 Soitx0 un réel,f etgdeux fonctions définies au voisinage dex0, dérivables en x0.
1. f+g est dérivable en x0 et
(f +g)0(x0) =f0(x0) +g0(x0) 2. (Règle de Leibniz)f.g est dérivable enx0 et
(f.g)0(x0) =f0(x0).g(x0) +f(x0).g0(x0).
En particulier, ceci s’applique sif est une fonction constante,f(x) =C, pour donner que C.g est dérivable en x0 avec
(C.g)0(x0) =C.g0(x0)
Proposition 5.7 (Règle de la chaîne) Soitx0∈R,f une fonction définie au voisinage de x0, dérivable enx0. Soity0=f(x0),g une fonction définie au voisinage dey0, dérivable en y0.
Preuve. Le fait quehsoit bien définie au voisinage dex0est une conséquence de l’énoncé similaire sur la continuité.
D’après la proposition 5.2, il existe deux fonctions etη, définies au voisinage de0telles que pour toutxvoisin de x0, touty voisin dey0=f(x0),
f(x) = f(x0) + (x−x0)f0(x0) + (x−x0)(x−x0) g(y) = g(y0) + (y−y0)g0(y0) + (y−y0)η(y−y0)
Puisquef(x0) =y0, quitte à restreindre le voisinage dex0contenantx,y=f(x)est suffisamment voisin dey0pour que l’on puisse écrire, par substitution de la première égalité dans la seconde que
g(f(x)) = g(f(x0)) + ((x−x0)f0(x0) + (x−x0)(x−x0))g0(y0) +
+ ((x−x0)f0(x0) + (x−x0)(x−x0))η((x−x0)f0(x0) + (x−x0)(x−x0))
= g(f(x0)) + (x−x0)f0(x0).g0(y0) + (x−x0)0(x−x0)
On a ici posé
0(h) =(h)g0(y0) + (f0(x0) +(h))η(h.f0(x0) +h(h))
qui est clairement une fonction de limite0en 0. On a donc prouvé l’existence d’un DL d’ordre 1 dehau voisinage dex0, i.e la dérivabilité de henx0et le fait que
h0(x0) =f0(x0).g0(y0)