4.2.1 Définition
Définition 4.10 Soit f :D →Rune fonction, I un intervalle deR non trivial3, contenu dans D.
1. SiI est ouvert, on dit quef est continue sur I sif est continue en toutx0∈I4. 2. SiI= [a, b], on dit quef est continue sur I si
— elle est continue sur ]a, b[,
— elle est continue à droite en a,
2. Nous laissons le lecteur reformuler ces résultats pour des fonctions continues à droite ou à gauche enx0. 3. Un intervalle est non trivial s’il est non vide et non réduit à un point.
4. On remarque qu’alorsIest voisinage de chacun de ses points.
— elle est continue à gauche en b.
3. Plus généralement, si I contient une de ses bornes, on demande la continuité à gauche ou à droite à la borne (selon que c’est la borne droite ou la borne gauche).
Exemples et Remarques
1. Attention, siIcontient l’une de ses bornes, le fait quef soit continue surIne signifie pas quef est continue en chaque point5 deI.
Illustrons ce fait sur un exemple concret. Considérons la fonctionH définie sur l’intervalle [−1,1]parH(x) = 1six≥0,H(x) = 0six <0.
La fonctionH n’est pas continue sur son intervalle de définition car elle n’est pas continue en0. Par contre elle est continue sur chacun des intervalles[−1,0[et[0,1].
2. Lorsque l’on parlera de fonction continue sur un intervalleI, on se placera toujours dans la situation oùf est définie sur un domaineD contenantI et Iest non trivial.
3. Une remarque élémentaire mais utile à la cohérence du discours est que sif est continue sur un intervalleI etJ est un intervalle contenu dansI alorsf est continue surJ. 4. En utilisant la caractérisation séquentielle des limites, on obtient alors :
Proposition 4.11 Soit I un intervalle de R, f une fonction définie sur D contenant I.
On a l’équivalence entre : (a) f est continue surI,
(b) pour toute suite (un)n∈N à valeurs dans I convergeant vers`∈ I, la suite (f(un))n∈N converge versf(`).
4.2.2 Propriétés
Recollement
Proposition 4.12 (Recollement) Soient I et J deux intervalles non triviaux ayant un seul point communa. Sif est continue surIetf est continue surJ alorsf est continue sur l’intervalle I∪J.
Preuve. Il suffit de voir que dans cette situation, commeIetJ sont non triviaux,aest un point intérieur à l’intervalle I∪J et on peut supposer que aest l’extrémité droite de I et l’extrémité gauche deJ. Par ailleurs, les limites à gauche et à droite def ena coincident toutes deux avec f(a)par continuité de f surIet sur J. En conclusionf admetf(a)pour limite ena.
Si x0 est un point de I∪J différent de a, alors, pour un voisinage V assez petit dex0, on a soit V ∩(I∪J) =V ∩I, soitV ∩(I∪J) =V ∩J. Dans le premier cas, la limite def enx0 est f(x0)du fait de la continuité def surIet dans le second, cette limite estf(x0)par continuité de
f surJ.
Opérations
Proposition 4.13 Si I est un intervalle de R non trivial, f, g, fonctions à valeurs réelles sont continues surI alors
1. f+g est continue surI, 2. f.g est continue surI,
3. si g ne s’annule pas surI,f /gest continue sur I.
5. Dans certains ouvrages, pour définirf continue sur une partieD0 contenue dansD, on demande quef soit continue en chaque point deD0. Ce n’est pas la convention que nous adoptons ici.
Composition
Proposition 4.14 SoientI etJ deux intervalles de R. Soientf, à valeurs réelles, continue sur I,g, à valeurs réelles, continue sur J. Si, pour tout x∈I,f(x)∈J, alors la composée h=g◦f est continue surI.
4.2.3 Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : version 1
Théorème 4.15 SoientIun intervalle non vide deR,g:I→Rune fonction continue eta, b∈I.
Si g(a) et g(b) sont non nuls et de signes opposés, i.e. si g(a)g(b)<0, alors a6=b et il existe c strictement entre6 a etb tel queg(c) = 0.
Nous consacrerons le paragraphe 4.3 à la preuve de ce théorème.
Exercice résolu en cours. Montrer qu’il existe un nombrec∈ 0,π2
tel quec= cos2c.
4.2.4 TVI : version 2
Théorème 4.16 Soient I un intervalle non vide de R, f : I → R une fonction continue et a, b∈I. Siy est entre f(a)et f(b), il existe alorsxentreaetb tel quef(x) =y.
Preuve. Soit y un nombre entref(a)et f(b). Il s’agit de se mettre en position pour appliquer le théorème 4.15. Il suffit de considérer la fonction g définie par g(t) = f(t)−y pour t ∈ I car les solutions de l’équation g(x) = 0 d’inconnue x∈ I sont les solutions de l’équation f(x) = y d’inconnuex∈I.
Soit donc, sif(a)≤y et f(b)≥y7,
g:t∈I7→f(t)−y.
Cette fonction est continue surI car f l’est,g(a) =f(a)−y ≤0,g(b) =f(b)−y≥0et donc il existecentreaet btel queg(c) = 0, i.e. tel quef(c) =y.
4.2.5 TVI : version 3
Théorème 4.17 Soient I un intervalle non vide de R et f : I → R une fonction continue.
L’ensemblef(I) ={f(x), x∈I} est un intervalle deR. Exemples et Remarques
1. Cela signifie que lorsquexdécrit I,f(x)décrit exactement un intervalle...
2. Aucune précision n’est apportée quant au « type » de l’intervalle image. Sauf dans le cas très particulier où l’intervalle I est de la forme[a, b], f(I) peut être n’importe quel type d’intervalle. Par exemple, sif, g :I = ]−π, π[→Rsont définies par f(x) = |x| et g(x) = sinx, on a f(I) = [0, π[,(−f)(I) = ]−π,0]etg(I) = [−1,1].
La preuve du théorème 4.17 utilise la caractérisation suivante des intervalles deRreposant sur la propriété de la borne supérieure :
Proposition 4.18 SoitA est une partie deR. On a alors l’équivalence entre les points suivants : i) Aest un intervalle de R,
ii) pour tout couple(y1, y2)d’éléments de Atel quey1< y2, on a [y1, y2]⊂A.
6. cest entreaetbsia≤c≤boua≥c≥b, il est strictement entreaetbsia < c < boua > c > b 7. L’autre cas se traite de manière similaire
Preuve. On montre seulement ii) ⇒i), la réciproque étant évidente. SiA=∅, le résultat est évident (A=]0,0[) et on suppose doncA6=∅. On pose alorsM = supA ∈ RsiAest majoré (son existence découle du théorème 2.24) etM = +∞sinon, de sorte que M ∈R∪ {+∞}. De même, posonsm= infA ∈ RsiAest minoré etm=−∞sinon, de sorte quem∈R∪ {−∞}etm≤M. Comme on va le voir, on a alors :
A ∈ {[m, M],]m, M[,[m, M[, ]m, M]} et doncAest bien un intervalle ! En effet :
– si m=M, alorsm et M sont réels etA={m} puisque A6=∅, touty > m vérifiey >supA doncy /∈Aet touty < mvérifiey <infAet doncy /∈A,
– si m < M et y ∈ Rvérifie m < y < M, alors il existe y2 ∈A tel que y < y2. Cela découle en effet de (2.2) siM <+∞et du point 1. de la définition 2.21 siM = +∞(puisque dans cas, y ne majore pasA). Il existe de mêmey1∈Atel quey1< ypar définition demet ainsiy∈Ad’après la propriété caractérisantA. On a donc : ]m, M[⊂ A!
Enfin, si y ∈ R vérifie y > M (resp. y < m), auquel cas M < +∞ et y > M = supA (resp.
m >−∞ety < m= infA), alorsy /∈Ad’où]m, M[⊂ A ⊂ [m, M]! Preuve du théorème 4.17
SoitA =f(I) ={f(x), x∈I}. Pour montrer queA est un intervalle, il suffit, d’après la propo-sition 4.18, de montrer que pour tous y1 < y2 ∈A, on a [y1, y2] ⊂A. Soient donc y1 < y2 ∈A et y ∈ [y1, y2]. Il existe alors deux points a et b dans I tels que f(a) = y1 et f(b) = y2. Le théorème 4.16 appliqué àf sur l’intervalleIaffirme donc qu’il existexentreaetb– et donc dans I – tel que y =f(x)∈A. Cela montre que tout y ∈[y1, y2] vérifiey ∈A et donc que A est un intervalle.
4.2.6 Fonction continue sur un segment
Théorème 4.19 Soient I = [a, b] un segment dans R et f : I → R une fonction continue. Il existe alors un maximumM def sur I, i.e.f(I)admet un maximum M, c-à-d
∃c∈I tel que ∀x∈I, f(x)≤M =f(c).
Exemples et Remarques
1. On a un énoncé similaire pour les minima et, couplé avec le théorème des valeurs intermé-diaires, on obtient le
Théorème 4.20 SoientI= [a, b]un segment dans Retf :I→Rune fonction continue.
Alorsf(I)est un segment dansR, i.e il existe m, M ∈Rtels quef(I) = [m, M].
2. Le théorème est remarquable en ceci quef(I)n’est pas nécessairement un segment (i.e. du type précédent) à partir du moment oùI n’en est pas un.
3. SiI = [1,+∞[ et f(x) = 1x alors s’il y avait un minimum de cette fonction en c ∈I, on aurait une contradiction carf(c+ 1)< f(c).
4. Si I = ]0,1] et f(x) = (1−x) sin1x, f n’a ni minimum ni maximum sur I. Lorsque x s’approche de0,f(x)s’approche d’aussi près que l’on veut de±1sans jamais atteindre ces valeurs.
Preuve. Posons M = +∞ si Imf =f([a, b]) =f(I)n’est pas majoré etM = supf([a, b])∈R sinon (l’existence de ce supremum étant garantie par le théorème 2.24 de la borne supérieure), de sorte queM ∈R∪ {+∞}. Nous allons maintenant démontrer que M <+∞, i.e. quef([a, b])est majoré et M = supf([a, b]) ∈ R, et ensuite queM ∈ f([a, b]), ce qui impliquera donc l’égalité M = maxf([a, b]), i.e. l’existence d’unc∈[a, b] tel quef(c) =M et f(x)≤f(c) =M pour tout x∈[a, b].
a) Prouvons M < +∞:
Supposons par l’absurde que M = +∞. L’ensemble f([a, b]) n’est alors pas majoré, donc pour tout n∈ N, il existe xn ∈[a, b] tel que f(xn)> n puisque n ne majore pasf([a, b]). On a donc
n→+∞lim f(xn) = +∞. D’après le théorème 2.32, on peut extraire de la suite(xn)n∈N⊂[a, b] ainsi construite une sous-suite (xϕ(n))n∈N convergeant vers un certain x∈ [a, b]. Par continuité de la fonctionf, on a donc lim
n→+∞f(xϕ(n)) =f(x)∈R, ce qui contredit lim
n→+∞f(xϕ(n)) = +∞(la suite (f(xn))n∈N ayant pour limite+∞, il en est de même pour sa suite extraite(f(xϕ(n)))n∈N), d’où une absurdité.
b) ProuvonsM ∈ f([a, b]):
D’après la caractérisation séquentielle d’un supremum, il existe une suite (yn)n∈N d’éléments de f([a, b])telle que lim
n→+∞yn =M. Puisque yn ∈f([a, b])pour tout n∈N, on obtient aussi l’exis-tence d’une suite (xn)n∈N d’éléments de [a, b] telle quef(xn) =yn pour tout n∈ N. D’après le théorème 2.32, on peut extraire de(xn)n∈Nune sous-suite(xϕ(n))n∈Nconvergeant vers un certain x∈[a, b] et, par continuité de f, on a lim
n→+∞f(xϕ(n)) =f(x)∈ f([a, b]). Or lim
n→+∞yn =M im-plique lim
n→+∞yϕ(n)=M. Par unicité de la limite,M =f(x)∈f([a, b]), ce qui termine la preuve.