Intégration des polynômes et fractions rationnelles en cos et sin

Polynômes en coset sin

Un polynôme en cosetsin (ou polynôme trigonométrique) est une fonction de la forme f(x) = X

k,`≥0

ak,`cos<sup>k</sup>xsin<sup>`</sup>x

Notre but est de décrire plusieurs techniques permettant de calculer une intégrale (et donc une primitive d’une telle fonction). On voit rapidement, par linéarité, qu’il suffit de savoir calculer l’intégrale d’une fonction du typecos^kxsin^`x. Plusieurs techniques s’offrent à nous, que l’on peut évidemment combiner

1. La linéarisation d’une expression trigonométrique 2. des changements de variables

3. des intégrations par parties astucieuses.

Linéarisation¹⁸

Le principe de la linéarisation d’un polynôme trigonométrique est basé sur le fait suivant : étant donnée une expression du type cos^kxsin<sup>`</sup>x avec k, ` ≥ 0, on peut la transformer en une combinaison linéaire de fonctions du type cosλx et sinµxavec 0 ≤λ, µ ≤k+`¹⁹. Il est alors facile de déterminer une primitive d’une telle fonction²⁰.

Les outils de base pour effectuer cette transformation sont les formules d’Euler et le binôme de Newton et nécessitent donc de passer en complexes.

cosx = 1

2(e^ix+e^−ix) sinx = 1

2i(e^ix−e^−ix)

Utilisons ce principe pour retrouver les formules de l’angle double ducos. On a cos²x =

18. C.f. le chapitre du second semestre portant sur les nombres complexes.

19. Ce procédé est une illustration élémentaire du fait bien connu en physique qu’une fonction2π-périodique s’exprime comme combinaison linéaire de fonctions du typecosλxetsinµx.

20. Siµ >0,λ >0, une primitive decosµxest_µ¹sinµxet une primitive desinλxest−¹_λcosλx

Une primitive decos²xest donc ¹₂x+¹₄sin 2x.

De même,

sin²x = 1

2i((e^ix−e^−ix)) ²

= −1

4 e^ix−e^−ix2

= −1

4 e^i2x+e^−i2x−2

= −1

2cos 2x+1 2 Une primitive desin²xest donc ¹₂x−¹₄sin 2x.

Exercice résolu en cours. Linéarisercos³xsin²xet en donner une primitive.

On a

cos³xsin²x = −1

32(e^ix+e^−ix)³.(e^ix−e^−ix)²

= −1

32(e^i3x+ 3e^ix+ 3e^−ix+e^−i3x)(e^i2x+e^−i2x−2)

= −1

32 e^i5x+ 3e^i3x) + 3e^ix+e^−ix e^ix+ 3e^−ix+ 3e^−i3x+e^−i5x

−2e^i3x−6e^ix−6e^−ix−2e^−i3x

= −1

16(cos 5x+ 3 cos 3x+ 3 cosx+ cosx

−2 cos 3x−6 cosx)

= −1

16(cos 5x+ cos 3x−2 cosx) Une primitive en est donc

−1

80sin 5x− 1

48sin 3x+1 8sinx

Changement de variables Dans certain cas, notamment lorsque k et ` sont de différentes parités, il peut être astucieux de remarquer quesin²= 1−cos², pour calculer une primitive de la fonction concernée ou pour faire un changement de variableu= cosxouu= sinx.

Par exemple, supposons que le problème est de calculer I=

Z ^π₂

0

cos³xsin²x dx . On acos³x= cos²xcosx= (1−sin²x) cosxet donc

I =

Z ^π₂

0

(1−sin²x) sin²xcosx dx

=

u=sinx,du=cosx.dx

Z 1 0

(1−u²)u² du

=

Z 1 0

(u²−u⁴)du

= 1

3 −1 5 = 2

15

Notons qu’au lieu de faire le changement de variable u = sinx, on aurait tout aussi bien pu remarquer directement que(1−sin²x) sin²xcosxest de la formef(sinx) cosx=f(sinx) sin⁰(x) avecf(y) = (1−y²)y²=y²−y⁴, donc qu’une primitive de cos³xsin²x= (1−sin²x) sin²xcosx est aussi donnée parF(sinx)avecF primitive def, c-à-d par ^sin₃^3x−^sin₅^5x.

Fractions rationnelles en cos etsin

L’objet de cette partie est de décrire une technique pour calculer intégrales et primitives de fonctions du typef(x) = ^N_D(x)^(x) oùN(x) et D(x)sont deux polynômes trigonométriques du type de la partie précédente. Les calculs se déroulent bien évidemment sur un intervalle ou la fonction D(x)ne s’annule pas.

On peut toujours se ramener pour ces fonctions au calcul d’une intégrale d’une fraction ration-nelle en effectuant le changement de variablet= tan^x₂.

En effet, on a alors les formules

cosx = 1−t²

On ne peut évidemment effectuer ce changement de variable que sur un intervalle fermé oùtan^x₂ est bien définie et, si l’intervalle donné ne possède pas cette caractéristique, il faudra alors couper en morceaux.

D’autres changements de variables du typet= sinx,t= cosxout= tanxpeuvent être plus intéressants que celui-ci, malheureusement ceux-ci ne fonctionnent pas à tous les coups²¹. Exemples et Remarques

1. Exercice résolu en cours.CalculerR^π₄

0 dx cosx.

Cette intégrale est bien définie carcosxne s’annule pas lorsquexdécrit 0,^π₄

. La fonction tan^x₂ est bien définie sur cet intervalle et l’on a donc, par le changement de variable t = tan^x₂,

Il s’agit maintenant d’évaluer cette intégrale de fraction rationnelle. On a 1

21. On dispose d’un critère pour savoir qu’un tel changement de variable va fonctionner ou pas : il s’agit des règles de Biocheque le lecteur intéressé devrait facilement trouver.

Voici une autre méthode : on a On peut donc poser naturellementu= sinxpour obtenir que

I=

Les deux réponses sont écrites différemment mais désignent bien évidemment le même nombre. En effet, siα= tan^π₈, on a

Notons que l’un ou l’autre de ces changements de variables permettent de calculer une primitive de _cos¹_x sur l’intervalleI=

−^π₂,+^π₂

Pour les dernières égalités, qui sont les formules classiques que l’on peut trouver dans certaines tables de primitives, on a utilisé le fait quesinx=−cos(x+^π₂)et donc, par les

2. Pour illustrer le fait que le changement de variable doit être bien défini sur tout l’intervalle d’intégration, nous allons observer ce que donne l’évaluation par cette méthode de

I= Z 4^π₃

2^π₃

dx 1 + sinx

Cette intégrale est bien définie car1 + sinxest continue et ne s’annule pas sur l’intervalle 2^π₃,4^π₃

.

En appliquant le changement de variable comme une recette, c’est-à-dire en posant sans précautionst= tan^x₂, dx= _1+t²₂ dt,sinx=_1+t^2t₂, on obtient

Or l’intégrale de droite n’est tout simplement pas définie :tan^π₃ =√

3 et tan 2^π₃ =−√ 3, l’intervalle d’intégration contient donc le pointt₀ =−1 en lequel la fonction _(1+t)¹ ₂ n’est pas définie.

Le problème vient de ce que, lorsquexdécrit l’intervalle 2^π₃,4^π₃

,x« passe » par la valeur πpour laquelletan^x₂ n’est pas définie.

Essayons maintenant de répondre correctement à la question en cherchant, par cette mé-thode de calcul, une primitive de _1+sin¹ _x sur l’intervalle

2^π₃,4^π₃

. Cherchons tout d’abord une primitive de cette fonction sur l’intervalle

2^π₃, π

. Soit donc xdans cet intervalle et calculons

Comme on pouvait s’y attendre, cette formule n’a pas grand sens pourx=π. Transformons l’expression deF(x)(on oublie la constanteC, on cherche une primitive !). On a :

F(x) =−2 cos^x₂

cos^x₂ + sin^x₂ =−2 cos^x₂

√2 sin(^x₂ +^π₄)

Ce qui est étonnant avec cette nouvelle formule, c’est que non seulement elle donne une primitive de _1+sinx¹ sur l’intervalle

2^π₃, π

mais aussi qu’elle définit une fonction (que l’on appelle encoreF) dont le domaine de définition contient

−^π₂,+^3π₂

, i.e l’un des intervalles les plus larges possibles sur lequel_1+sin¹ _x est définie et continue. Il s’avère aussi, en dérivant F, queF(x)est primitive de _1+sin¹ _x sur cet intervalle.

Notre intégraleI vaut donc

Chapitre 9

Développements limités

Nous avons vu dans les chapitres précédents les propriétés suivantes :

1. Une fonctionf est continue enx₀ ssi il existe une fonction ε, de limite0 en0 et continue en0, telle que, pour toutxdans un voisinage dex₀, on a

f(x) =f(x₀) +ε(x−x₀).

La fonctionx7→ε(x−x0)mesure la différence entre la fonctionf et la fonctionconstante x7→f(x0). La continuité exprime donc simplement que cette différence tend vers0lorsque x→x0.

2. Une fonctionf est dérivable enx0ssi il existe une fonctionε, de limite0 en0et continue en0, telle que, pour toutxdans un voisinage dex0, on a

f(x) =f(x0) + (x−x0)f⁰(x0) + (x−x0)ε(x−x0).

La fonctionx7→(x−x0)ε(x−x0)mesure ici la différence entre la fonctionf et la fonction affine x 7→ f(x0) +f⁰(x0)(x−x0). La dérivabilité exprime donc simplement que cette différence tend vers0plus rapidementquex−x0lorsquex→x0.

Nous allons voir maintenant que le fait que f soit plusieurs fois dérivable permet ce type de comparaison entre la fonctionf et une fonction polynomiale.

9.1 Formules de Taylor avec reste intégral

Dans le document Math 101 : Calculus Université Paris–Sud Orsay Notes de cours (Page 112-117)