A1732-Pilotage (en or) par la moyenne MB On se fixe un entier n

A1732-Pilotage (en or) par la moyenne MB

On se fixe un entier n_₀ et on recherche les suites S_n de longueur minimale de n entiers distincts > 0 telles que pour tout entier k prenant les valeurs 1,2,3,...,n la moyenne

arithmétique des k premiers termes de S_n est un entier et les n_₀ entiers consécutifs 1,2,…,n_₀ figurent dans S_n.

Par exemple avec n_₀= 4, la suite S₆ = {1,3,2,6,8,4} satisfait ces conditions avec un minimum de six termes.

Q₁ Démontrer qu’on sait trouver une suite S_n avec n = 30.₀ Q₂ Démontrer qu’on sait trouver une suite S_n quel que soit n .₀

Q₃ On désigne par a(n) le dernier terme de la suite S_n, par M_n et m_n respectivement le plus grand et le plus petit des deux termes n et a(n).Déterminer la limite du ratio M_n / m_n quand n tend vers l’infini.

Q1) On construit une suite prolongeant S6, dont le n-ième terme est noté an et la moyenne des n premiers termes est notée hn . Pour qu'un plus grand nombre d'entiers consécutifs 1,2,3,4,5,6,etc..

figurent dans cette suite, il convient de choisir à chaque pas pour an le plus petit entier qui donnera pour hn une valeur entière.

Si hn-1 n'est pas dans Sn-1 , on choisit an = hn-1, ainsi hn = hn-1 .

Si hn-1 est dans Sn-1, comme n doit diviser (n – 1)hn-1 + an , il faut an = kn – (n – 1)hn-1 . an = n(k – hn-1) + hn-1 , on ne peut pas prendre (k – hn-1) = 0, alors on prend (k – hn-1) = 1 d'où an = n + hn-1 , et hn = 1 + hn-1.

On a toujours hn ≥ hn-1 et hn < n .

On obtient la suite OEIS n° A019444 : Avec n0 = 30 on a la suite S48 =

{1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, 16, 7, 19, 21, 9, 24, 10, 27, 29, 12, 32, 13, 35, 37, 15, 40, 42, 17, 45, 18, 48, 50, 20, 53, 55, 22, 58, 23, 61, 63, 25, 66, 26, 69, 71, 28, 74, 76, 30}

Q2) Par ce procédé de construction, la moyenne prend toutes les valeurs entières par ordre croissant.

Quel que soit n0 , tant que n0 n'est pas dans la suite on la prolonge, si n0 n’apparaît toujours pas, la moyenne croîtra jusqu'à atteindre la valeur n0, le terme à ajouter pour terminer sera précisément n0. Par exemple la moyenne dans S47 est 30, on ajoute 30 à droite de S47. pour obtenir S48.

On sait trouver une suite S_n quel que soit n .₀

Q3) Explicitons Mn / mn :en distinguant les cas hn = hn-1 et hn = 1 + hn-1 :

Si hn = hn-1 , an = hn-1 < n – 1 < n , an < n donc Mn = n et mn = an . Mn/mn = n/an = n/hn-1 . Si hn = 1 + hn-1 , a n= n + hn-1 > n, an > n alors Mn/mn = an/n = (n+hn-1)/n

Si on admet la formule* h_n = E(nα) – n + 1 où α est le nombre d'or, et où E(x) désigne la partie entière de x, on a dans le premier cas Mn/mn = n/hn-1 = ⁿ

((E(n−1)α)−n+2) → ¹

(α−1) = α

et dans le deuxième cas Mn/mn = (n+hn-1)/n = ^{(E((n−1)α)+2)}

n → α

Dans les deux cas le ratio a pour limite le nombre d'or α

formule* trouvée dans un document .pdf de ''A Curious Bijection on Natural numbers '' page 3/16, 4 lignes avant Theorem 2 , voir ici page suivante :

D 4 9 0 1

‒ P a v a g e s d ' h e x a g o n e s [

*

*

* à l a m a i n ] A v e c n t r i a n g l e s é

The surprising fact is that this functionis related to the Golden Ratio α, given by

α= (1 +

5)/2. In fact, one can show that h(n) =

nα

n+ 1, where

x

denotes the

greatest integer not exceeding x