A1732 - Pilotage (en Or) par la moyenne

A1732 - Pilotage (en Or) par la moyenne

Louis Rogliano

Question 1:

Une simple procédure permet de trouver la suite demandée.

S48 ={1,3,2,6,8,4,11,5,14,16,7,19,21,9,24,10,27,29,12,32,13,35,37,15,40,42,17,45,18,48,50,20,53, 55,22,58,23,61,63,25,66,26,69,71,28,74,76,30}

On reconnait après coup la suiteA019444deOEIS.

Question 2:

Utilisons les notations suivantes:

S_n = (1, . . . , a_n), 1 + 3 +. . .+a_n= Σ_n=n M_n S_n+1 = (1, . . . , a_n, α), Σ_n+1 = (n+ 1)M_n+1 Il en résulte queα=n(M_n+1−M_n) +M_n+1.

La condition de minimalité du problème incite à envisager les options suivantes:

option 1

M_n+1−M_n = 0⇒α=M_net, siM_n∈/S_n, S_n+1 = (1, . . . , a_n, M_n).

On constate que la moyenne ne change pas.

option 2

M_n+1−M_n = 1⇒α=M_n+n+ 1 et, siM_n∈S_netM_n+n+ 1 /∈S_n, S_n+1 = (1, . . . , a_n, M_n+n+ 1).

On constate que la moyenne augmente de1.

Il n’y a pas d’autres options possibles carM_n+n+ 1 /∈S_n.

En effet, si c’était le cas,∃p < n/S_p = (1, . . . , a_p)etS_p+1 = (1, . . . , a_p, M_n+n+ 1)avecM_p ≤M_ncar p < n. Avec les notations précédentes nous avons α=M_p =M_n+n+ 1ce qui est impossible.

La moyenne augmentant par palier de1au plus, il existe une suite S_n telle queM_n=n₀. Comme précédemment nous avons:

SoitS_n+1 = (1, . . . , a_n, n₀)

SoitS_n+1 = (1, . . . , a_n, n₀ +n+ 1)etu₀ ∈S_n.

Dans les deux cas on a trouvé une suite se terminant paru₀.

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Question 3:

Avec les notations précédentes, montrons que, dans le cas oùα=M_n, M_n< n.

Ceci est vrai pourS₃ = (1,3,2).

La moyenne augmentant par paliers de1ou restant constante alors que la longueur deS_naugmente à chaque fois de1, il est clair que, dans le cas oùM_n ∈/S_n,M_n< n.

Dans le cas oùMn ∈Sn, an=Mn+n+ 1 > n.

La suiteS_{M ax} desM_n+n+ 1estA026352deOEIS.

S_{M ax}(n) =⌊nφ⌋+n+ 1 oùφest le nombre d’or.

La limite demandée est1 +φ.

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