A1732 – Pilotage (en or) par la moyenne [* à **** à la main]
On s’intéresse à la suite Sn de n entiers distincts a₁ = 1,a₂,…,ak,..an > 0 qui a la propriété suivante : pour tout entier k prenant les valeurs 1,2,3,...,n, ak est le plus petit entier ne figurant pas dans la liste a₁,a₂,…,ak-1, tel que la moyenne arithmétique des k premiers termes de Sn est un entier.
On se fixe un entier n₀ et on recherche l’entier n tel que an = n₀
Par exemple avec n₀= 4, la suite S₆ = {1,3,2,6,8,4} satisfait ces conditions avec six termes.
Q₁ Démontrer qu’on sait trouver une suite Sn avec n₀ = 50.
Q₂ Démontrer qu’on sait trouver une suite Sn quel que soit n₀.
Q₃ On désigne par a(n) le dernier terme de la suite Sn, par Mn et mn respectivement le plus grand et le plus petit des deux termes n et a(n).Déterminer la limite du ratio Mn / mn quand n tend vers l’infini.
Solution proposée par Daniel Collignon
Q1 : A l'aide d'un algorithme glouton on détermine S_48 = {1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, 16, 7, 19, 21, 9, 24, 10, 27, 29, 12, 32, 13, 35, 37, 15, 40, 42, 17, 45, 18, 48, 50, 20, 53, 55, 22, 58, 23, 61, 63, 25, 66, 26, 69, 71, 28, 74, 76, 30}
Q2 : la suite est référencée : https://oeis.org/A019444
On trouvera une démonstration que cette suite contient tous les entiers positifs dans cette référence : https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL12/Venkatachala/venkatachala2.pdf
Q3 :
On vérifie a(6)=4, a(8)=5, a(11)=7, a(14)=9, a(16)=10, a(19)=12, a(21)=13, a(24)=15, a(27)=17, a(29)=18, a(32)=20, a(35)=22, a(37)=23, a(40)=25, a(42)=26, a(45)=28 et a(48)=30
Dans ces cas je conjecture a(n) = plafond(n/phi) où phi = (1+sqrt(5))/2 (nombre d'or).
Dans ces cas comme a(n) < n, je conjecture Mn / mn = n / an tend vers le nombre d'or (justifiant ainsi la précision dans le titre de l'énoncé)
