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Soient A ∈ Mn

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Soient A ∈ M

n

( R ) et B ∈ M

n

( R ) deux matrices carr´ ees de taille n × n. Alors le produit

(A + B)

2

:= (A + B) · (A + B )

(A) n’est pas d´ efini ;

(B) est d´ efini et ´ egal ` a A

2

+ 2A · B + B

2

; (C) est d´ efini, mais peut ˆ etre diff´ erent

de A

2

+ 2A · B + B

2

.

(2)

Laquelle des matrices suivantes n’a pas d’inverse ?

(A)

1 2 3 3

;

(B)

2 2 3 3

;

(C)

0 2 2 0

;

(3)

Soit A ∈ M

3

( R ) une matrice carr´ ee de taille 3 × 3. On suppose que l’´ equation

A ·

 x y z

 =

 0 0 0

a seulement la solution

 x y z

 =

 0 0 0

.

(A) Alors la matrice A est inversible.

(B) Alors la matrice A n’est pas inver- sible.

(C) Cette information ne permet pas de

d´ eterminer si A est inversible.

(4)

Soient A ∈ M

n

( R ) et B ∈ M

n

( R ) deux matrices carr´ ees de taille n × n qui sont inversibles. On pose

C := A · B.

Alors on a

(A) C

−1

= A

−1

· B

−1

; (B) C

−1

= B

−1

· A

−1

;

(C) C

−1

= B · A

−1

= B

−1

· A.

(D) En g´ en´ eral la matrice C n’est pas

inversible.

(5)

Vrai ou faux : tout vecteur

~b :=

b

1

b

2

∈ R

2

est une combinaison lin´ eaire de

~ v

1

=

−1 1

, ~ v

2

=

2 1

,

c’est-` a-dire ils existent λ

1

∈ R et λ

2

∈ R tels que

~b = λ

1

~ v

1

+ λ

2

~ v

2

. (A) Vrai.

(B) Faux.

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