Exercice 3 – Soit A ∈ Mn,n(K)

Université Bordeaux 1 MHT631 – Licence

Mathématiques Année 2010–2011

FEUILLE D’EXERCICES n^o4 Suites de matrices et de vecteurs

Exercice 1 – Montrer queGL_n(K)est un ouvert dense de M_n,n(K).

Exercice 2 – Soient B ∈Mn,n(K)et (Ak)k>0 une suite de matrices de Mn,n(K) vérifiant

k→∞lim A_kB =I_n.

Montrer que B est inversible et que

k→∞lim A_k =B⁻¹.

Exercice 3 – Soit A ∈ M_n,n(K). Montrer que les trois affirmations suivantes sont équivalentes.

(i) A est nilpotente ; (ii) Spec(A) ={0}; (iii) Aⁿ = 0;

(iv) Pour tout 16k6n, Tr(A^k) = 0;

(v) Il existe une suite de matrices (B_p) semblables à A convergeant vers 0.

On pourra déjà montrer que (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (i).

Exercice 4 – Soit M ∈M_n,n(K). Montrer que

∞

X

k=0

M^k converge ⇐⇒ρ(M)<1,

et que dans ce cas, In−M est inversible et

∞

X

k=0

M^k = (I_n−M)⁻¹.

Exercice 5 – Soient A ∈M_n,n(K) vérifiant ρ(A)< 1 et B ∈ Kⁿ. On considère la suite (X_k)_k>0 d’éléments de Kⁿ définie par la donnée de X₀ et la relation de récurrence

X_k+1 =AX_k+B pour toutk >0.

La suite (X_k) converge-t-elle, et si oui, vers quel élément deKⁿ?

Exercice 6 – Soit

M = 1 4





0 1 3 3 0 1 1 3 0



.

Étudier la suite de vecteurs deR³ définie par son premier termeX₀ et la relation de récurrence X_k+1 =M X_k.

Exercice 7 – Soient A, B ∈ M_n,n(K) vérifiant qu’il existe λ ∈ K^∗ tel que AB−BA =λA. Montrer que A est nilpotente. Indication : se servir de la suite (A^k).

Exercice 8 – Calculer Aⁿ (n ∈N) pour les valeurs suivantes de A : A=





3 2 −2

−1 0 1 1 −1 6



, A=





3 2 4

−1 3 −1

−2 −1 −3



, A=





a b b b a b b b a



,

où (a, b)∈C×C. Cas de convergence ?