Chapitre 9
Statistiques
Les savoir-faire
090. Calculer et utiliser une moyenne et un écart-type.
091. Calculer et utiliser une médiane et un écart interquartile.
I. Moyenne
1. Moyenne et moyenne pondérée
Soit la série statistique discrète définie par le tableau :
Valeurs x1 x2 . . . . xp
Effectifs n1 n2 . . . . np
Fréquences f1 f2 . . . . fp
SoitN =n1+n2+· · ·+np l’effectif total.
Lamoyennexest le nombre réel défini par :
x = n1×x1+n2×x2+ ... +np×xp
N
= f1×x1+f2×x2+ ... +fp×xp
La moyenne d’une série statistique à caractère quantitatif est la valeur que prendraient les valeurs de cette série si elles étaient toutes égales.
Définition
Exemple :
• Notes de Léa : 13 - 18 - 14 - 11 - 16
• Notes de Théo : COEF 1 4 2
NOTE 20 11 12
Calculer la moyenne de chaque élève. Vidéo
2. Linéarité de la moyenne
— Si toutes les valeurs d’une série sont multipliées par une même valeura, alors la moyenne de cette nouvelle série est aussi multipliée para.
— Si l’on ajoute une même valeurbà toutes les valeurs d’une série, alors la moyenne de cette nouvelle série est augmentée de b.
Propriétés
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II. Ecart-type
L’écart-types d’une série statistique est unindicateur de dispersion de cette série autour de la moyenne.
Concrètement :
— plus l’écart-type est petit, plus les valeurs de la série sont concentrées autour de la moyenne, donc la série est homogène ;
— plus l’écart-type est grand, plus les valeurs de la série sont éloignées de la moyenne, donc la série est hétérogène ;
Définition : écart-type
Le calcul de l’écart-type de la série définie par Valeurs x1 x2 . . . . xp
Effectifs n1 n2 . . . . np
avecn=n1+n2+....+np
est donné par :s=
rn1(x1−m)2+n2(x2−m)2+...+np(xp−m)2 Exemple : n
Nombre de buts par match marqués durant la coupe du monde 2010.
Nombres de buts 0 1 2 3 4 5 6 7
Nombre de matchs 7 17 13 14 8 6 0 1 Déterminer l’écart-type de cette série. Vidéo
III. Quartile et écart interquartile
1. Médiane
Unemédiane d’une série statistique est un nombre, notéM e, tel que :
• 50% au moins des individus ont une valeur du caractère inférieure ou égale àM e;
• 50% au moins des individus ont une valeur du caractère supérieure ou égale àM e.
Valeur minimale
toutesles valeurs rangées dans l’ordre croissant
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ Valeur maximale
←−−−−−−−−−→
Au moins 50%
M e ←−−−−−−−−→
Au moins 50%
Définition : médiane
Exemple :
Voici les notes de deux élèves :
CHARLOTTE : 15 - 9 - 14 - 13 - 10 - 12 - 12 - 11 - 10 LEO : 13 - 13 - 12 - 10 - 12 - 3 - 14 - 12 - 14 - 15 Pour chacun, déterminer la médiane. Vidéo
2. Moyenne/médiane
La différence entre moyenne et médiane apparaît clairement par exemple dans certaines statistiques de popula- tion des communes. Dans la région Alsace sur les 946 communes, la population moyenne par commune est de 2044 habitants et la population médiane est de 778 habitants....
La moyenne est très supérieure à la médiane, car la plupart des communes sont faiblement peuplées, mais les villes comme Strasbourg, Mulhouse, Colmar et Haguenau contiennent près de 25 % de la population d’Alsace et rendent la moyenne plus importante.
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3. Quartiles
Si la liste des valeurs du caractère est rangée dans l’ordre croissant.
• Le premier quartilenotéQ1, est la plus petite valeur de la liste telle qu’au moins un quartdes valeurs de la liste sont inférieures ou égalesàQ1.
• Le troisième quartilenotéQ3, est la plus petite valeur de la liste telle qu’au moins les trois quartsdes valeurs de la liste sontinférieures ou égalesà Q3.
Valeur minimale
toutesles valeurs rangées dans l’ordre croissant
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ Valeur maximale
←−−−−−−−−→
Au moins 25% Q1 ←−−−−−−−−→
Au moins 50% Q3 ←−−−−−−−−→
Au moins 25%
L’écart interquartileest le nombreQ3−Q1. Définition : quartiles
Plus l’écart interquartile est petit, plus les valeurs "centrales" de la série (celles de l’intervalle[Q1;Q3]) sont proches les unes des autres.
Exemple :
1.Voici les notes obtenues par une élèves :
14 - 17 - 10 - 14 - 18 - 20 - 13 Déterminer les quartiles de la série de notes. Vidéo 2. Voici les tailles en cm d’un groupe d’athlètes :
177 - 180 - 175 - 182 - 190 - 169 - 185 - 191 - 193 Déterminer les quartiles de la série. Vidéo Exemple :
Nombre de buts par match marqués durant la coupe du monde 2010.
Nombres de buts 0 1 2 3 4 5 6 7
Nombre de matchs 7 17 13 14 8 6 0 1 Déterminer l’écart interquartile de cette série. Vidéo
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