CP1 – Puissance moyenne consommée par un dipôle On considère le montage suivant. La puissance moyenne consommée par le dipôle vaut 500 W. On donne : R

CP1 – Puissance moyenne consommée par un dipôle

On considère le montage suivant. La puissance moyenne consommée par le dipôle vaut 500 W.

On donne : R

1

= 5,0 Ω ; R

2

= 4,0 Ω ;

_{𝐶𝐶𝐶𝐶}¹

= 4,0 Ω 1°) Calculer la valeur efficace de i.

2°) Calculer la valeur de la puissance moyenne dissipée dans chacune des résistances.

CP2 – Relèvement du facteur de puissance

On modélise une installation électrique par un dipôle inductif D d'impédance Z = R + jLω. Le dipôle consomme une puissance moyenne P=4,6 kW. On considère le montage suivant :

• 𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼√2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ( ω 𝑡𝑡 − Φ ); 𝐼𝐼 = 30 𝐴𝐴

• 𝑢𝑢 (𝑡𝑡) = 𝑈𝑈√2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ( ω 𝑡𝑡) ; 𝑈𝑈 = 220 𝑉𝑉 ; 𝑓𝑓 = 50 𝐻𝐻𝐻𝐻.

1°) Calculer R et L.

2°) Calculer la capacité à placer en parallèle sur l'installation pour relever le facteur de puissance à 1.

3°) Calculer la capacité à placer en parallèle sur l'installation pour relever le facteur de puissance à 0,9. Que vaut alors le courant appelé par l'installation

?

CP3 – Transformateur torique

Sur un tore magnétique, on dispose deux enroulements. Le primaire est constitué de N

1

spires, et relié à un générateur de force électromotrice e(t) par l'intermédiaire d'une résistance R

1

. Le secondaire comprend N

2

spires, il est branché sur une résistance R

2

. Les résistances des enroulements sont nulles. Le tore est constitué d'un matériau de perméabilité µ = µ

₀

µ

_𝑟𝑟

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐 µ

_𝑟𝑟

≫ 1. Sa section est notée S. Son rayon a est grand devant le rayon b de la section S. On néglige les variations du champ magnétique à l'intérieur du tore. On le prend de la forme : 𝐵𝐵�⃗ = 𝐵𝐵 𝑢𝑢 ����⃗

𝜃𝜃

1°) Déterminer le champ magnétique dans le tore. Définir les bornes homologues.

2°) Établir les expressions des flux Φ

₁

𝑎𝑎𝑡𝑡 Φ

₂

, traversant respectivement le primaire et le secondaire.

3°) Déterminer le coefficient de mutuelle inductance M existant entre les deux circuits, ainsi que leurs inductances propres respectives L

1

et L

2

, en fonction de 𝐿𝐿

₀

=

^µ_2π𝑎𝑎^{0µ𝑟𝑟𝑆𝑆}

. Quelle relation existe entre M, L

1

et L

2

?

4°) On étudie le cas où e(t) est un échelon défini par : e(t) = 0 pour t < 0 ; e(t) = E pour t > 0. Établir les équations différentielles liant i

2

et e d'une part, i

1

et e d'autre part.

5°) Pour t < 0, i

1

(t) et i

2

(t) sont nuls. Quelles grandeurs physiques restent continues en t = 0 ? En déduire une relation entre i

1

(0+) et i

2

(0+).

CP4 – Contacteur électromagnétique en translation

On considère un noyau de fer doux immobile, en forme de U, de perméabilité µ

_𝑟𝑟

≫ 1. On dispose d'un enroulement de N spires relié à un générateur de force électromotrice u par l'intermédiaire d'une résistance R. Un ressort est fixé à un barreau de fer doux de perméabilité relative µ

_𝑟𝑟

de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur un axe horizontal. On définit S la section commune du noyau en U et du barreau. La forme des lignes de champ magnétique est représentée en pointillés sur le schéma. On suppose le champ magnétique uniforme en tout point d'une section orthogonale aux lignes de champ.

On appelle l

1

(respectivement l

2

) la longueur de la ligne de champ dans le noyau de fer doux (respectivement dans le barreau). On pose 𝑙𝑙 = 𝑙𝑙

1

+ 𝑙𝑙

2

. On appelle x la distance entre le noyau de fer doux et le barreau. On suppose qu'il n'y a pas de flux de fuite.

1°) Énoncer le théorème d'Ampère avec le vecteur excitation magnétique. Déterminer le champ magnétique le long de la ligne de champ. En déduire l'inductance propre en fonction de µ

₀

, µ

_𝑟𝑟

, 𝑁𝑁, 𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑥𝑥.

2°) Déterminer l'énergie magnétique du système 𝑈𝑈

𝑒𝑒𝑒𝑒

.

3°) On admet que la force électromagnétique que subit le barreau est 𝐹𝐹 =

^{𝜕𝜕𝑈𝑈}_{𝜕𝜕𝜕𝜕}^{𝑒𝑒𝑒𝑒}

�

𝑖𝑖

. Déterminer cette force. Est-elle attractive ou répulsive ? Pour quelle valeur de x, la norme de la force est-elle maximale ?

4°) Expliquer le fonctionnement d'un contacteur électromagnétique. Quels sont les avantages et inconvénients ?

CP5 – Adaptation d’impédances

On considère le circuit suivant où un générateur modélisé par le théorème de Thévenin alimente une impédance de charge. On pose 𝑍𝑍

_𝐺𝐺

= 𝑅𝑅

_𝐺𝐺

+ 𝑗𝑗 𝑋𝑋

𝐺𝐺

𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑍𝑍 = 𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑋𝑋.

1°) Quelle la condition sur l'impédance de charge pour que cette impédance reçoive le maximum de puissance du générateur ? 2°) Déterminer la puissance moyenne reçue par l'impédance de charge lorsqu'elle est adaptée en puissance.

CP6 – Convertisseur de puissance

Le but est ici de montrer les limites d'utilisation d'un montage potentiométrique pour obtenir une tension variable. Cette fonction, utile dans la conversion de puissance, doit alors être réalisée par un autre moyen.

Données : E = 24 V, R = 80 Ω ; on pose r

1

+ r

2

= R' avec R' = 1 kΩ.

1°) Montrer que l'ensemble constitué de la source de tension et des deux résistances r

1

et r

2

est équivalent à un générateur de tension. Déterminer sa force électromotrice, notée αE et sa résistance interne R

e

. Exprimer α et R

e

en fonction de r

1

et r

2

.

2°) En déduire la puissance P

2

dissipée dans la résistance de charge R en fonction de E, α, R' et R.

3°) Calculer la puissance fournie P

1

par la source de tension E en fonction de E, α, R' et R.

4°) En déduire le rendement en puissance du circuit η =

^𝑃𝑃_𝑃𝑃²

1

.

Application numérique : calculer η pour α=3/4. Que pensez-vous de la valeur obtenue ? 5°) Tracer l'évolution du rendement pour la gamme de valeurs accessibles à α.

CP7 - Actionneur électrostatique

On considère un condensateur formé de deux armatures planes, parallèles, de surface en regard S, séparées par de l'air assimilé à un isolant électrique représenté en figure. Une des deux armatures est fixe, la seconde, qui peut se translater suivant l'axe Ox, est reliée à l'extrémité d'un ressort de raideur k et de longueur à vide l

0

. L'autre extrémité du ressort est attachée à un support fixe.

Le dipôle formé par le condensateur est relié à une source de tension, non représentée sur la figure, qui impose la tension u à ses bornes. On fixe l'origine O des abscisses à la position de l'armature lorsque le ressort a pour longueur l

0

et on désigne par x le déplacement de l'armature mobile par rapport à O. La figure indique l'armature portant la charge +q et celle portant -q. On néglige la résistance des conducteurs ainsi que toutes les forces de frottement.

1°) Rappeler l'expression de la capacité d'un condensateur plan et en déduire les expressions de la capacité du condensateur ainsi que de l'énergie électromagnétique stockée 𝐸𝐸

_{𝑒𝑒𝑒𝑒}

, en fonction de x et des paramètres utiles du problèmes. On suppose que le condensateur évolue dans le cadre de l'ARQS électrique. Justifier que les expressions précédentes soient encore applicables.

2°) Lorsque le condensateur à armature mobile reçoit de l'énergie électrique δ𝑊𝑊

_𝑒𝑒

, il s'opère une conversion électromécanique de l'énergie qui permet de communiquer à la partie mobile le travail mécanique δ𝑊𝑊

_𝑒𝑒

de la force motrice F. Afin de déterminer F, on applique un bilan d'énergie au système formé des deux armatures du condensateur. On envisage une transformation élémentaire du système au cours de laquelle il reçoit de l'extérieur l'énergie électrique δ𝑊𝑊

_𝑒𝑒

, l'énergie mécanique δ𝑊𝑊

_𝑒𝑒

.

a) L'énergie du condensateur étant égale à la somme de son énergie cinétique 𝐸𝐸

𝑐𝑐

et de son énergie électromagnétique 𝐸𝐸

𝑒𝑒𝑒𝑒

, montrer qu'un bilan d'énergie appliqué au système au cours de la transformation conduit à l'égalité : δ𝑊𝑊

_𝑒𝑒

= δ𝑊𝑊

_𝑒𝑒

+ 𝑑𝑑𝐸𝐸

_{𝑒𝑒𝑒𝑒}

b) Exprimer la relation entre δ𝑊𝑊

_𝑒𝑒

et F puis montrer qu'au cours de cette transformation, la source de tension fournit au condensateur le travail δ𝑊𝑊

_𝑒𝑒

= 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢.

c) En déduire que la force F se déduit de l'énergie électromagnétique par : 𝐹𝐹 = �

^{𝜕𝜕𝐸𝐸}_{𝜕𝜕𝜕𝜕}^{𝑒𝑒𝑒𝑒}

�

𝑢𝑢=𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒

et calculer F en fonction de x.

3°) Montrer que lorsque u reste inférieure à une valeur maximale à déterminer, il existe deux positions d'équilibre de l'armature mobile. Étudier la stabilité de chacune de ces positions.

On posera 𝑋𝑋 =

_𝑒𝑒^𝜕𝜕₀

, 𝐸𝐸

𝑝𝑝0

=

¹₂

𝑘𝑘𝑎𝑎

02

, 𝐸𝐸

𝑒𝑒𝑒𝑒0

=

¹₂

𝐶𝐶

0

𝑢𝑢² 𝑐𝑐ù 𝐶𝐶

0

=

^ε0_𝑒𝑒^𝑆𝑆

𝑎𝑎𝑡𝑡 α =

^2𝐸𝐸_{𝐸𝐸𝑒𝑒𝑒𝑒0}^𝑝𝑝0

De plus, la droite tangente à la courbe d'équation 𝑌𝑌(𝑋𝑋) =

_{(1−𝑋𝑋)}¹ 2

passant également par l’origine a pour équation =

²⁷₄

𝑋𝑋 . Cette droite

est tangente à la courbe en 𝑋𝑋 =

¹₃

.

CP8 – Machine synchrone simpliste

Un aimant cylindrique allongé peut tourner autour de l'axe ∆ passant par son centre et perpendiculaire à son moment magnétique 𝑀𝑀 ��⃗. Il se trouve dans un champ magnétique, uniforme, à chaque instant, de module B constant, normal à ∆, tournant autour de cet axe à la vitesse angulaire constante ω

o

. 1°) L'aimant étant immobile, quelle est la valeur moyenne du couple qui s'exerce sur lui ?

2°)

- L'aimant étant maintenant lancé à la vitesse angulaire ω

o

, il s'établit un régime permanent où les vecteurs 𝑀𝑀 ��⃗ 𝑎𝑎𝑡𝑡 𝐵𝐵�⃗ font entre eux un angle α (positif si 𝑀𝑀 ��⃗ est en retard sur 𝐵𝐵�⃗). Calculer le couple exercé sur l'aimant. Dans quel cas est-il moteur ?

- Dans le cas du fonctionnement moteur, le régime est stable si une petite augmentation du couple résistant entraîne une augmentation du couple moteur : dans quelles conditions le régime moteur est-il stable ? Calculer les valeurs maximales du couple et de la puissance.

3°) Le régime stable étant établi, on introduit une variation temporelle du couple résistant qui se traduit par une augmentation de l'angle α ; on abandonne alors le moteur à lui-même, le couple résistant reprenant sa valeur initiale.

Déterminer la nature du mouvement ultérieur de l'aimant et l'expression de la période des variations de l'angle α que l'on exprimera en fonction de M, du moment d'inertie J de l'aimant et de la valeur initiale α

o

de α.

CP9 – Couple électromagnétique d’une machine synchrone

Un moteur synchrone est constitué d'un rotor cylindrique en fer doux, d'un entrefer e constant (de volume V, de rayon a) et d'un stator cylindrique en fer doux. On place dans deux encoches opposées sur le stator, une spire parcourue par un courant i(t). On suppose que la perméabilité relative µ

_𝑟𝑟

est infinie dans le rotor et le stator et que le vecteur excitation se met dans l'entrefer sous la forme : 𝐻𝐻��⃗ = 𝐻𝐻(𝛾𝛾)𝑢𝑢 ����⃗. On note l la longueur des

_𝑟𝑟

cylindres.

1°) Déterminer le champ magnétique créé par une spire, en un point M (repéré par l'angle γ) en fonction de µ

₀

, 𝑖𝑖

1

𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑎𝑎.

2°) Expliquer qualitativement comment obtenir un champ magnétique dont la dépendance angulaire est sinusoïdale dans l'entrefer en associant plusieurs spires décalées. Pour simplifier les schémas par la suite, on ne représentera pas l'ensemble des spires nécessaires pour créer un tel champ magnétique mais uniquement une spire. On le met sous la forme : 𝐵𝐵 = 𝐾𝐾

𝑐𝑐

𝑖𝑖

1

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐γ.

3°) Sur le stator, on rajoute une deuxième spire. On pose : 𝑖𝑖

1

(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼

𝑐𝑐𝑒𝑒

cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) , 𝑖𝑖

2

(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼

𝑐𝑐𝑒𝑒

cos �𝜔𝜔𝑡𝑡 −

^π₂

� . Justifier l'existence d'un champ glissant statorique lorsque les deux phases sont alimentées en quadrature.

4°) Sur le rotor, on rajoute de la même façon des spires parcourues par un courant constant I

r

. Montrer que le champ magnétique créé par le rotor dans l'entrefer peut se mettre sous la forme : 𝐵𝐵

_𝑟𝑟

= 𝐵𝐵

𝑟𝑟𝑒𝑒

cos (𝛾𝛾 − 𝜃𝜃). On appelle Ω = θ ̇ la vitesse angulaire du rotor. On pose 𝐵𝐵

_{𝑟𝑟𝑒𝑒}

= 𝐾𝐾

𝑟𝑟

𝐼𝐼

𝑟𝑟

. Justifier l'existence d'un champ glissant rotorique associé à la rotation du rotor.

5°) Montrer que l'énergie magnétique totale s'écrit : 𝑈𝑈

_𝑒𝑒

= 𝑈𝑈

𝑒𝑒1

+ 𝑈𝑈

𝑒𝑒2

+ 𝑈𝑈

𝑒𝑒3

avec 𝑈𝑈

_𝑒𝑒1

=

_4µ^𝑉𝑉

0

𝐵𝐵

𝑐𝑐𝑒𝑒2

, 𝑈𝑈

𝑒𝑒2

=

_4µ^𝑉𝑉

0

𝐵𝐵

𝑟𝑟𝑒𝑒2

𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑈𝑈

𝑒𝑒3

=

_2µ^𝑉𝑉

0

𝐵𝐵

𝑐𝑐𝑒𝑒

𝐵𝐵

𝑟𝑟𝑒𝑒

cos( θ − ω 𝑡𝑡).

6°) On admet que le moment électromagnétique s'exerçant sur le rotor est Γ = �

^{𝜕𝜕𝑈𝑈𝑒𝑒} _{𝜕𝜕𝜃𝜃}

�

𝑖𝑖

. Quelle est la condition de synchronisme entre le champ statorique et le champ rotorique afin d'obtenir un couple moyen non nul ? On suppose cette condition vérifiée dans toute la suite de l'exercice. On pose alors α = ω 𝑡𝑡 − θ le déphasage entre les deux champs glissants. À quelle condition sur α a-t-on un couple moteur ? Discuter qualitativement la stabilité du système en fonction de α.

7°) Quelle difficulté a-t-on au démarrage d'un moteur synchrone ? Décrire qualitativement le principe de l'autopilotage.

CP10 – MCC simpliste

On étudie une machine composée d'une partie fixe (stator qui crée le champ magnétique) et d'une partie tournante (spire et collecteur). On considère une spire MN0P de dimensions a et b mobile par rotation autour de l'axe z'z. Elle se déplace dans une zone où règne un champ magnétique B permanent orthogonal à l'axe z'z. Dans la zone où évolue le cadre, le champ magnétique est radial et a une norme B uniforme. On néglige la résistance et l'inductance propre de la spire. Le collecteur, associé au balai, permet de relier le circuit électrique de la partie tournante à un circuit extérieur à la machine. On appelle J le moment d'inertie de la spire MN0P par rapport à l'axe z’z. On pose k = abB.

1°) Déterminer le moment des forces de Laplace en fonction de k et i. On suppose que le couplage électromécanique est parfait. La machine initialement au repos est insérée dans un circuit électrique (cf figure). À t = 0, on ferme l'interrupteur. Déterminer ω en fonction du temps sachant que E est constante.

2°) Effectuer un bilan de puissance.

3°) Le cadre est maintenant soumis à un couple résistant Γ

_𝑅𝑅

= −αω où α est une constante positive. Déterminer ω en fonction du temps. Interpréter.

CP11 – Associations de MCC

Deux machines à courant continu M

1

et M

2

à aimants permanents, identiques, sont associées sur le même arbre mécanique, selon le schéma suivant. La constante électromécanique entre les grandeurs mécaniques (couple et vitesse) et les grandeurs électriques (courant et tension) est notée Φ

₀

.

La vitesse de rotation de l'arbre est notée ω(t). Elle est positive quand M

1

fonctionne en moteur (et développe une f.é.m. e

1

(t) positive) et M

2

en génératrice.

On néglige dans cette partie les pertes fer et les pertes mécaniques (sauf indication contraire).

1°) On s'intéresse au régime permanent dans lequel les deux interrupteurs K

1

et K

2

sont fermés et les forces électromotrices e

1

et e

2

ont pour valeur respective E

1

et E

2

avec E

1

> E

2

> 0.

a) Quels sont, en fonction des courants i

1

et i

2

orientés comme sur la figure ci-dessus, les couples électromagnétiques T

1

et T

2

appliqués sur l'arbre commun par les deux machines ?

b) Soit J le moment d'inertie des parties mobiles des deux machines à courant continu et de l'arbre commun de rotation. Quelle est l'équation mécanique de l'ensemble ? Quelle relation relie i

1

et i

2

en régime permanent ?

c) On note 𝑅𝑅

₁^′

= 𝑅𝑅

1

+ 𝑅𝑅 𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑅𝑅

2′

= 𝑅𝑅

2

+ 𝑅𝑅. Que valent 𝑖𝑖

₁

, 𝑖𝑖

2

, 𝑢𝑢

1

, 𝑢𝑢

2

𝑎𝑎𝑡𝑡 ω en fonction des éléments du montage ?

2°) Dans les questions suivantes, on s'intéresse aux régimes permanents consécutifs à chaque suite d'opérations. e

1

est constante et vaut E

1

. Les deux machines sont initialement au repos.

a) À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K

1

. K

2

reste ouvert dans toute cette question. Quelles sont les valeurs en t = 0

⁺

, immédiatement après le fermeture de K1, de 𝑖𝑖

₁

, 𝑖𝑖

₂

, 𝑢𝑢

₁

, 𝑢𝑢

₂

𝑎𝑎𝑡𝑡 ω ?

Quelles sont les valeurs en régime permanent de 𝑖𝑖

₁

, 𝑖𝑖

₂

, 𝑢𝑢

₁

, 𝑢𝑢

₂

𝑎𝑎𝑡𝑡 ω (dont la valeur est notée Ω

1

) ? Les machines à courant continu sont-elles motrices ou génératrices ?

b) Dans cette question, e

2

=0. À partir du régime permanent de la question précédente, on ferme l'interrupteur K

2

.

Quelles sont les valeurs en régime permanent de 𝑖𝑖

₁

, 𝑖𝑖

2

, 𝑢𝑢

1

, 𝑢𝑢

2

𝑎𝑎𝑡𝑡 ω (dont la valeur est notée Ω

1

) ? Qui de Ω

1

ou de Ω

2

est le plus grand ?

c) À la suite du régime permanent précédent, on augmente e

2

jusqu'à E

2

< E

1

. Quelle est la valeur en régime permanent de ω (noté Ω

3

) ? Classer par ordre décroissant Ω

1

, Ω

2

et Ω

3

.

d) On impose alors e

2

= E

2

= E

1

.

Quelles sont les valeurs en régime permanent de 𝑖𝑖

1

, 𝑖𝑖

2

, 𝑢𝑢

1

, 𝑢𝑢

2

𝑎𝑎𝑡𝑡 ω ? e) On augmente e

2

jusqu'à une valeur E

2

> E

1

.

Quels sont en régime permanent les signes de i

1

et i

2

? On note Ω

4

la valeur de ω en régime permanent. Qui de Ω

1

ou de Ω

4

est le plus grand ? Les machines à courant continu sont-elles motrices ou génératrices ?

f) On diminue e

2

jusqu'à la valeur E

2

= E

1

. On prend en compte un couple de perte -T

p

avec T

p

> 0. Dans le cas particulier où 𝑅𝑅

₁^′

= 𝑅𝑅

2′

= 𝑅𝑅

^′

, calculer les valeurs en régime permanent de i

1

et i

2

. Les machines à courant continu sont-elles motrices ou génératrices ?

CP12 – MCC

Une machine à courant continu est constituée d'un stator qui créé un champ magnétique B, et d'un rotor muni d'encoches dans lesquelles des conducteurs de cuivre sont parcourus par un courant i. Le champ magnétique 𝐵𝐵 ����⃗ est créé par des enroulements de cuivre parcourus par un courant

_𝑐𝑐

constant 𝐼𝐼

_𝑒𝑒

, et soumis à une tension U

e

en convention générateur. On appelle J le moment d'inertie du rotor par rapport à l'axe de rotation, R la résistance du rotor, L l'inductance propre du rotor et R

e

la résistance de l'enroulement statorique.

1°) Par analogie avec le moteur synchrone, établir que le champ magnétique doit être stationnaire pour créer un couple. Comment le collecteur établit le synchronisme entre le champ statorique stationnaire et le champ rotorique quelle que soit la position angulaire du rotor ?

Représenter qualitativement sur le schéma avec plusieurs conducteurs, le champ magnétique rotorique dans l'entrefer. Quel est l'angle entre les directions moyennes des champs statorique et rotorique dans l'entrefer ?

2°) Expliquer le principe de fonctionnement du collecteur. Décrire la structure d'un moteur à courant continu bipolaire à excitation séparée : rotor, stator, induit, inducteur.

3°) Lors de l'étude du moteur synchrone, on a vu que Γ =

_2µ^𝑉𝑉

0

𝐵𝐵

𝑐𝑐𝑒𝑒

𝐵𝐵

𝑟𝑟𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑠𝑠α. Justifier rapidement que pour la machine à courant continu, le moment du couple peut se mettre sous la forme Γ = ϕ

₀

𝑖𝑖. On suppose le couplage électromécanique parfait. En déduire la force électromotrice d'induction et la force contre électromotrice.

4°) Écrire les équations électrique et mécanique sachant le moteur entraîne une charge mécanique exerçant le couple résistant : −Γ

_𝑟𝑟

= −(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏ω). . 5°) Déterminer le rendement de la machine à courant continu en régime établi.

6°) On étudie une commande à tension d'induit u constante. Déterminer graphiquement le point de fonctionnement de la machine en régime stationnaire.

Que vaut le couple au démarrage ? Comparer au moteur synchrone. Déterminer la vitesse angulaire lorsqu'il n'y a pas de charge (Γ

_𝑟𝑟

= 0). Que se passe-

t-il si on coupe l'alimentation de l'inducteur ?

CP13 – Bilan de puissance d’une machine synchrone

Un moteur synchrone est constitué d'un rotor cylindrique en fer doux, d'un entrefer e constant (de volume V, de rayon a) et d'un stator cylindrique en fer doux. On dispose sur le stator des spires parcourues par un courant :

𝑖𝑖

1

= 𝐼𝐼

𝑐𝑐𝑒𝑒

cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) 𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑖𝑖

2

= 𝐼𝐼

𝑐𝑐𝑒𝑒

cos �𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝜋𝜋 2 � Le champ magnétique créé par le stator au point M repéré par l'angle γ est :

𝐵𝐵

𝑐𝑐

= 𝐾𝐾

𝑐𝑐

𝐼𝐼

𝑐𝑐𝑒𝑒

cos(𝛾𝛾 − 𝜔𝜔𝑡𝑡) = 𝐵𝐵

𝑐𝑐𝑒𝑒

cos(𝛾𝛾 − 𝜔𝜔𝑡𝑡)

On dispose sur le rotor des spires parcourues par un courant constant I

r

. Le champ magnétique créé par le rotor au point M est : 𝐵𝐵

_𝑟𝑟

= 𝐾𝐾

𝑟𝑟

𝐼𝐼

𝑟𝑟

cos( γ − θ ) = 𝐵𝐵

𝑟𝑟𝑒𝑒

cos( γ − θ ). On appelle θ ̇ la vitesse angulaire du rotor.

La condition de synchronisme est vérifiée. On pose α = ω 𝑡𝑡 − θ. L'énergie magnétique se met sous la forme : 𝑈𝑈

𝑒𝑒

= 𝑈𝑈

𝑒𝑒1

+ 𝑈𝑈

𝑒𝑒2

+ 𝑈𝑈

𝑒𝑒3

avec 𝑈𝑈

𝑒𝑒1

=

_4µ^𝑉𝑉

0

𝐵𝐵

𝑐𝑐𝑒𝑒2

, 𝑈𝑈

𝑒𝑒2

=

_4µ^𝑉𝑉

0

𝐵𝐵

𝑟𝑟𝑒𝑒2

𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑈𝑈

𝑒𝑒3

=

_2µ^𝑉𝑉

0

𝐵𝐵

𝑐𝑐𝑒𝑒

𝐵𝐵

𝑟𝑟𝑒𝑒

cos(θ − ω𝑡𝑡).

1°) Écrire l'énergie magnétique totale sous la forme : 𝑈𝑈

𝑒𝑒

= 1

2 𝐿𝐿

1

𝑖𝑖

12

+ 1 2 𝐿𝐿

2

𝑖𝑖

22

+ 1

2 𝐿𝐿

𝑟𝑟

𝐼𝐼

𝑟𝑟2

+ 𝑀𝑀

1

𝐼𝐼

𝑟𝑟

𝑖𝑖

1

+ 𝑀𝑀

2

𝐼𝐼

𝑟𝑟

𝑖𝑖

2

+ 𝑀𝑀

^′

𝑖𝑖

1

𝑖𝑖

2

On pose 𝑀𝑀

_𝑜𝑜

=

_2𝜇𝜇^𝑉𝑉

0

𝐾𝐾

𝑐𝑐

𝐾𝐾

𝑟𝑟

. En déduire les inductances propres et les inductances mutuelles en fonction de 𝑉𝑉, 𝜇𝜇

0

, 𝐾𝐾

𝑐𝑐

, 𝐾𝐾

𝑟𝑟

, 𝑀𝑀

0

𝑎𝑎𝑡𝑡 θ.

2°) On appelle u

1

, u

2

et u

r

, les tensions extérieures appliquées aux phases du stator et du rotor. Les résistances des enroulements du stator et du rotor sont notées R

s

et R

r

. On pose Φ

₁

= 𝐿𝐿

1

𝑖𝑖

1

+ 𝑀𝑀

^′

𝑖𝑖

2

+ 𝑀𝑀

1

𝐼𝐼

𝑟𝑟

et Φ

₂

= 𝐿𝐿

2

𝑖𝑖

2

+ 𝑀𝑀

^′

𝑖𝑖

1

+ 𝑀𝑀

2

𝐼𝐼

𝑟𝑟

. Définir les forces électromotrices et contre électromotrices des phases du stator et du rotor. Écrire les équations électriques vérifiées par les phases du stator et par le rotor en faisant intervenir les fcem, les résistances des enroulements et les inductances propres. Pourquoi appelle-t-on le rotor l'inducteur et les phases du stator l'induit ?

3°) Montrer que la puissance électrique absorbée par la fcem est égale à la puissance mécanique fournie. Comment s'écrit le bilan de puissance ?

CP14 – Hacheur à stockage inductif

On considère un hacheur, de rapport cyclique α et de période de hachage T. Il alimente une machine à courant continu considérée comme parfaite. On la modélise par une inductance L en série avec une force électromotrice E > 0 constante. La source de tension délivre une tension constante U=400V. On suppose que U > E. La commande du transistor K est la suivante :

- Sur l'intervalle [0, αT], le transistor K est passant.

- Sur l'intervalle [αT, T], le transistor K est bloqué.

1°) Parmi les courants 𝑖𝑖

𝐾𝐾

, 𝑖𝑖

𝐷𝐷

𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑖𝑖 , quel est celui relevé sur le chronogramme ? Quelle est la fréquence de hachage ? Que vaut le rapport cyclique α?

2°) Écrire l'équation différentielle reliant i,U et E sur l'intervalle de temps [0,αT] . En déduire l'ondulation du courant ∆𝑖𝑖 = 𝐼𝐼

𝑒𝑒𝑎𝑎𝜕𝜕

− 𝐼𝐼

𝑒𝑒𝑖𝑖𝑚𝑚

en fonction de L,U,E,α et T.

3°) Écrire l'équation différentielle reliant i et E sur l'intervalle de temps [αT,T]. En déduire une autre expression de l'ondulation de courant ∆𝑖𝑖 = 𝐼𝐼

𝑒𝑒𝑎𝑎𝜕𝜕

− 𝐼𝐼

𝑒𝑒𝑖𝑖𝑚𝑚

en fonction de L,E,α et T.

4°) En déduire la relation entre E,α et U. Exprimer ∆𝑖𝑖 en fonction de L,U,α et T. Calculer la valeur de l'inductance L.

5°) Représenter i en fonction du temps.

6°) Effectuer un bilan de puissance moyenne.

CP15 - Hacheur à stockage capacitif

On considère un hacheur, de rapport cyclique α et de période de hachage T. Il alimente un récepteur modélisé par un courant électromoteur I'>0 constant. La source de courant délivre une intensité I > 0 constante.

La commande des interrupteurs est la suivante :

- Sur l'intervalle [0,αT], l'interrupteur K1 est fermé et l'interrupteur K2 est ouvert.

- Sur l'intervalle [αT ,T], l'interrupteur K1 est ouvert et l'interrupteur K2 est fermé.

1°) Écrire l'équation différentielle reliant u et I’ sur l'intervalle de temps [0, αT]. En déduire l'ondulation de la tension ∆𝑢𝑢 = 𝑈𝑈

𝑒𝑒𝑎𝑎𝜕𝜕

— 𝑈𝑈

𝑒𝑒𝑖𝑖𝑚𝑚

en fonction de C,I' ,α et T.

2°) Écrire l'équation différentielle reliant u et I sur l'intervalle de temps [αT,T]. En déduire une autre expression de l'ondulation de la tension ∆𝑢𝑢 en fonction de C, I,α et T.

3°) En déduire la relation entre I, α et I’.

4°) Représenter u en fonction du temps.

5°) Effectuer un bilan de puissance moyenne sur les deux générateurs.

CP16 - Redressement avec un pont de diodes

On considère le montage suivant comportant une résistance R et 4 diodes parfaites. La tension d'entrée est sinusoïdale de pulsation ω que l'on peut écrire sous la forme : 𝑉𝑉

_𝑒𝑒

= 𝐸𝐸

𝑒𝑒

sin(ω𝑡𝑡).

1°) Déterminer la caractéristique V

s

en fonction de V

e

en étudiant deux cas : 𝑉𝑉𝑎𝑎 ≥ 0 𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑉𝑉𝑎𝑎 ≤ 0. Représenter la tension de sortie en fonction du temps.

Interpréter le spectre de Fourier de la sortie.

2°) Proposer un montage expérimental permettant de visualiser les tensions d'entrée et de sortie avec un oscilloscope ne disposant pas d'entrée différentielle.

CP17 - Amélioration du rendement d'une alimentation continue

On souhaite transmettre de la puissance électrique depuis une source de tension de force électromotrice E vers un résistor de résistance R. On utilise un interrupteur commandable K, qui fonctionne de façon périodique, de sorte qu'entre nT et nT + αT, K est fermé, il est ouvert ensuite. On donne : r = 5 Ω, R = 10 Ω, E = 12 V, α = 0.5, T =10 µs, C = 100µF.

1. On considère tout d'abord le montage (a).

a) Calculer la tension moyenne aux bornes de R.

b) Définir, puis calculer le rendement en puissance du dispositif.

2. On considère désormais le montage (b).

a) Calculer la tension moyenne aux bornes du condensateur. On sera amené à faire des approximations, on les détaillera très précisément.

b) Déterminer le nouveau rendement en puissance.

CP18 - Alimentation flyback

Le transformateur est un tore sur lequel sont bobinés deux enroulements comprenant n

1

et n

2

spires. Le tore a une longueur moyenne l, une section droite S et une perméabilité absolue µ

_𝑟𝑟

. On néglige la résistance ohmique des circuits et on considère le matériau ferromagnétique sans perte. On note Φ le flux du champ magnétique à travers une section droite du transformateur.

Le semi-conducteur commandé est fermé sur [0, αT] et ouvert sur [αT,T].

1°) À quelle(s) condition(s) le transformateur est-il sans perte ?

2°) L

1

et L

2

sont les inductances propres des enroulements primaire et secondaire. Calculer le rapport

^𝐿𝐿_𝐿𝐿²

1

en fonction de

^𝑚𝑚_𝑚𝑚²

1

, dans le cas d'un transformateur constitué d'une matériau doux, non saturé, linéaire. La valeur de ce rapport change-t-elle si les hypothèses précédentes ne sont plus valables ?

3°) À quelle(s) condition(s) sur C la tension v

R

est-elle constante ? Cette condition est réalisée dans toute la suite : v

R

= constante > 0.

On se place sur [0, αT] pour les questions 4 à 6.

4°) Calculer v

2

en fonction de E, n

1

et n

2

. 5°) Dans quel état est la diode ?

6°) Calculer i

1

(t) en fonction de E et L

1

. On notera i

10

sa valeur en t = 0. Que vaut sa valeur i

1α

, en t = αT ? On se place sur [αT ,T] pour les questions 7 et 8.

7°) Pourquoi la somme 𝑠𝑠

₁

𝑖𝑖

1

+ 𝑠𝑠

2

𝑖𝑖

2

est-elle continue ? En déduire qu'il apparaît un courant i

2

dans l'enroulement secondaire en t = αT. Exprimer sa valeur en t = αT, 𝑖𝑖

2α

, en fonction de 𝑠𝑠

₁

, 𝑠𝑠

2

𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑖𝑖

1α

.

8°) Calculer i

2

(t) en fonction de 𝑎𝑎

_𝑅𝑅

, 𝐿𝐿

2

𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑖𝑖

2α

. 9°) Exprimer v

R

en fonction de 𝐸𝐸, 𝑚𝑚 =

^𝑚𝑚_𝑚𝑚²

1

𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑎𝑎 α.

10°) Expliquer pourquoi on parle de convertisseur à accumulation.

11°) Tracer les formes d'ondes de 𝑖𝑖

₁

, 𝑖𝑖

2

, Φ, 𝑎𝑎

1

𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑎𝑎

2

.

12°) Calculer la valeur moyenne de i

1

en fonction de i

10

et i

1α

. 13°) Calculer les valeurs moyennes de v

1

et de v

2

.

14°) Calculer le rendement η du convertisseur sur une période, la sortie étant la charge (R,C) parallèle.

CP19 - Conversion DC/AC

On étudie dans cet exercice la réalisation d'une conversion d'énergie électrique continue en énergie alternative.

1°) Rappeler le nom du convertisseur envisagé. Pour effectuer cette conversion, on dispose d'une source de tension continue de force électromotrice constante positive E, et on souhaite alimenter une charge type courant (ici représentée par un dipôle r et L) de façon alternative, et on souhaite que le courant délivré soit le plus proche possible d'un courant sinusoïdal.

On propose le montage ci-contre, composé de quatre interrupteurs idéaux.

2°) Définir les séquences de fonctionnement des interrupteurs qui permettent d'obtenir une tension u(t) aux bornes de la charge en forme de créneau à paliers nuls.

3°) On donne les coefficients de la série de Fourier du créneau à palier nuls, avec α = 2 π

^𝑐𝑐_𝑇𝑇¹

0

∶ 𝑏𝑏

2𝑝𝑝

= 0 𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑏𝑏

2𝑝𝑝+1

= 4𝐸𝐸

(2𝑝𝑝 + 1)π cos�(2𝑝𝑝 + 1)α � a) Commenter les valeurs de ces coefficients, au regard de la tension u (t) voulue.

b) Proposer une valeur de 𝑡𝑡

₁

qui permet de se rapprocher au mieux d'une sinusoïde. On justifiera numériquement ce choix, en comparant les amplitudes des harmoniques. Pour toute la suite, on considère que cette valeur de t

1

est réalisée.

4°) Donner l'expression de la tension u

r

aux bornes de r. On se limitera aux deux premières harmoniques non nulles. Discuter du choix de la valeur de L.

Application numérique : Pour une fréquence f

o

= 100 Hz et une charge r = 20 Ω.

5°) Tracer sur un même graphe u(t) et u

r

(t) calculé avec les deux premières harmoniques non nulles, les interrupteurs sont ils à commutation spontanée

ou commandée ?