A1732-Pilotage (en or) par la moyenne
On se fixe un entier n₀ et on recherche les suites Sn de longueur minimale de n entiers distincts > 0 telles que pour tout entier k prenant les valeurs 1,2,3,...,n la moyenne arithmétique des k premiers termes de Sn est un entier et les n₀ entiers consécutifs 1,2,…,n₀ figurent dans Sn.
Par exemple avec n₀= 4, la suite S6 = {1,3,2,6,8,4} satisfait ces conditions avec un minimum de six termes.
Q1 Démontrer qu’on sait trouver une suite Sn avec n₀ = 30.
Q2 Démontrer qu’on sait trouver une suite Sn quel que soit n₀.
Q3 On désigne par a(n) le dernier terme de la suite Sn, par Mn et mn respectivement le plus grand et le plus petit des deux termes n et a(n).Déterminer la limite du ratio Mn / mn quand n tend vers l’infini
Solution proposée par Gaston Parrour
Préliminaires
Étant donné un entier naturel n0 :
les termes ak de la suite minimale Sn définie dans l 'énoncé Sn = {ak} , k = 1, 2, …, n , satisfont à (a1+a2+ … + ak) / k = Ak où Ak est un entier pour tout k
les entiers consécutifs de 1 à n0 (donné) figurent dans la suite Sn
Ainsi k*Ak + ak+1 = (k+1)*Ak+1 → ak+1 = Ak+1 + k*(Ak+1 – Ak) (1)
→ Avec la relation (1) on peut construire une suite d'entiers ak+1 à partir d'une suite Ak. Plus précisément : Si les ak doivent être distincts et la suite de longueur minimale, on peut choisir d'incrémenter le moins rapidement possible les Ak Ak+1 = Ak → ak+1 = Ak+1 = Ak (2a) Ak+1 = Ak + 1 → ak+1' = Ak + k + 1 (2b) → La suite des ak doit contenir les entiers successifs de 1 à n0 : A partir de A1 = 1, et en choisissant des entiers successifs Ak, on est certain de satisfaire cette condition avec (2a) Ainsi à chaque valeur de Ak correspondent a priori en général 2 termes ''ak'' (cf. (2a) et (2b)) Cependant, → La suite ne doit contenir que des entiers distincts et être de longueur minimale : la relation (2b) montre qu'à partir d'un même Ak on produit aussi un ak+1' > Ak si cet ak+1' ≤ n0 → il est alors un membre de l'ensemble {1, 2, .., n0} souhaité et alors par conséquent : ==> tout terme ar ( avec r > k+1) produit par (2a) et vérifiant ar = ak+1' n'est alors pas conservé → Les réponses proposées aux questions Q1 et Q2 utilisent ce qui précède. Q1 Démontrer qu’on sait trouver une suite Sn avec n₀ = 30. En utilisant les préliminaires ci-dessus, on peut construire le tableau suivant N.B. Pour le rang k = 1, il n'y a bien sûr que a1 donné par (2a) les ak avec un astérisque sont ceux inférieurs ou égaux à n0 = 30 et donnés par (2b) rang k Ak ak 1 1 1
2 2 3* par (2b) 3 2 2 par (2a) 4 3 6*
( 5 3 3 → n'est pas conservé car ak = 3 existe déjà ) 5 4 8*
6 4 4
7 5 11*
8 5 5
9 6 14*
( 10 6 6 → n'est pas conservé car ak = 6 existe déjà )
10 7 16*
…...
En poursuivant ainsi, les termes ak successifs de Sn (n0 = 30) sont les suivants : (l'énumération est arrêtée lorsque les n0 premiers entiers sont présents)
S48 = {1, 3*, 2, 6*, 8*, 4, 11*, 5, 14*, 16*, 7, 19*, 21*, 9, 24*, 10, 27*, 29*, 12, 32, 13, 35, 37, 15, 40, 42, 17, 45, 18, 48, 50, 20, 53, 55, 22, 58, 23, 61, 63, 25, 66, 26, 69, 71, 28, 74, 76, 30 }
Remarque : Dans la suite ci-dessus il y a 11 entiers < 30 (avec un astérisque) qui ne sont pas générés par (2a) Il y a n = 48 termes ak dans cette suite
Conclusion
→ n =48 est le nombre d'éléments ak d'une suite Sn répondant à la question Q1
→ Les nombres en rouge (générés par (2a) ), complétés par les nombres avec un astérisque (générés par(2b) ), constituent l'ensemble des entiers de 1 à n0 = 30.
N.B. Par ''construction'' toutes les moyennes arithmétiques successives Ak, sont bien des entiers.
Q2 Démontrer qu’on sait trouver une suite Sn quel que soit n₀.
Il est clair que la méthode détaillée ci-dessus dans Q1 se reconduit sans aucune restriction quel que soit n0 → il suffit, en suivant la même démarche, de poursuivre le processus de construction de la suite Sn jusqu'à - soit produire n0 par la voie ''directe'' , désignée par (2a) dans Q1
- soit produire (n0 – 1) si n0 est déjà produit antérieurement par la voie ''indirecte'' (2b)
(Par exemple : [à partir de l'ensemble trouvé dans Q1], si on avait choisi a priori n0' = 29, il aurait suffi de poursuivre la construction de l'ensemble correspondant jusqu'à nombre 28 (produit par la voie (2a) ; 29 étant déjà produit antérieurement par la voie (2b))
Q3 Déterminer la limite du ratio Mn / mn quand n tend vers l’infini
Notations → a(n) est le dernier terme de la suite Sn ; Mn et mn sont respectivement sup (n,a(n)) et inf(n,a(n)) Avec ce qui précède : la construction d'un ensemble minimal Sn montre que nécessairement :
→ Le nombre N(n0) de nombres ai (ai ≤ n0) générés par (2b) est toujours inférieur à n0 : N(n0) < n0 → n0 < n < 2n0
donc n → ∞ ==> n0 → ∞ → a(n) le dernier terme de la suite, est égal à n0 ou à n0 – 1
Avec n0 → ∞ et en négligeant les termes O(1/n0) → a(n) ≈ n0 → le nombre n d'éléments de Sn est donné par
n = N0 – N(n0) où N0 = 2(n0 – 1) + 1 (le cas A1= 1 n'étant a priori pas double) N(n0) = nombre d'éléments ai produits par la voie indirecte (2b) et vérifiant ai ≤ n0
Par exemple :à partir de la question Q1 on a N0 = 2*n0 – 1 = 59
N(n0) = 11 ( nb. d'éléments avec un astérisque et ≤ 30) d'où n = 48
Le rapport r (n) = Mn /mn pour n → ∞
Donc, pour n0 suffisamment grand [O(1/n0) négligé ] → Mn = n et a(n) = n0 ==> r = n / n0 r ≈ (2n0 – N(n0))/n0
→ r = 1 + (n0 – N(n0))/n0 → r = 1 + 1/[n0/(n0 – N(n0))] (3) On pose n0 – N(n0) = n0' (4)
A-t-on n0 = n' ? où n' est le nombre d'éléments d'une suite de type ''Sn'' générée par n0' donné par (4) En reprenant le cas n0 = 30 traité en Q1 on a
N(n0) = 11 n0' = 30 – 11 = 19 et N(n0') = 7 ( ≤ n0' ET produits par voie indirecte) et ainsi n' = (2n0' – 1) – N(n0') = 37 – 7 = 30 = n0
Donc ici n' = n0
N.B. Ce résultat se vérifie pour n0 suffisamment grand quel que soit n0 lorsque n0' = n0 - N(n0) (à partir de ce résultat avec n0=30, on peut construire une récurrence ; ce qui n'est pas fait ici)
Avec ce qui précède et en conservant les notations :
la relation (3) s'écrit r = 1+ 1/[n'/n'0] où n' = n0 et n0' est défini par (4) et on a n0' < n0 et n' = n0 < n
En poursuivant le processus c'est-à-dire n0'' = n0' – N(n0') , … , la suite des entiers > 0 décroissants successifs n0, n0', n0'' , … se termine nécessairement .
Donc tout d'abord, pour un n0 donné :
→ le rapport r(n) = n/n0 apparaît comme une fraction continue finie de la forme r(n) = 1+ 1 / ( 1+1/(1+1/(1+ … 1/a) )))...)
où a est l'entier correspondant à l'avant-dernier n0''' …' (on vérifie directement que le dernier n0 ''' …'' est égal à 1 ) Ensuite, lorsque n → ∞ (donc n0 → ∞)
→ la fraction continue précédente se prolonge indéfiniment ''vers la droite'' devenant ainsi la fraction continue infinie
r(n → ∞ ) r0 = 1+ 1 / ( 1+1/(1+1/(1+ … ) )))...
→ Puisque la fraction continue est infinie, on a ici r0 = 1 + 1/r0
Le nombre positif r0 qui vérifie cette équation est r0 = (1+sqrt(5) )/2 → r0 est le nombre d'or Conclusion : Pour les suites Sn considérées, contenant n termes dont le dernier est noté a(n) ;
avec Mn = sup(n,a(n)) et mn = inf(n,a(n))
=> la limite pour n → ∞ du rapport Mn / mn (≈ n / n0) est le nombre d'or → (1+sqrt(5) )/2
