A1732-Pilotage (en or) par la moyenne ****
On se fixe un entier n₀ et on recherche les suites Sn de longueur minimale de n entiers distincts > 0 telles que pour tout entier k prenant les valeurs 1,2,3,...,n la moyenne arithmétique des k premiers termes de Sn est un entier et les n₀ entiers consécutifs 1,2,…,n₀
figurent dans Sn.
Par exemple avec n₀= 4, la suite S6 = {1,3,2,6,8,4} satisfait ces conditions avec un minimum de six termes.
Q1 Démontrer qu’on sait trouver une suite Sn avec n₀ = 30.
Q2 Démontrer qu’on sait trouver une suite Sn quel que soit n₀.
Q3 On désigne par a(n) le dernier terme de la suite Sn, par Mn et mn respectivement le plus grand et le plus petit des deux termes n et a(n).Déterminer la limite du ratio Mn / mn quand n tend vers l’infini.
PROPOSITION Th Eveilleau
Q1
n0 = 30 et n = 48 ratio 1.6
1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, 16, 7, 19, 21, 9, 24, 10, 27, 29, 12, 32, 13, 35, 37, 15, 40, 42, 17, 45, 18, 48, 50, 20, 53, 55, 22, 58, 23, 61, 63, 25, 66, 26, 69, 71, 28, 74, 76, 30
Q2
Soit une liste donnée de moyenne M de longueur n.
. Si M n’est pas dans la liste, on ajoute M à la liste.
C’est le cas avec 1, 3 => moyenne 2 liste 1, 3, 2 La moyenne de cette nouvelles liste reste M.
= M
. Si M est dans la liste, on cherche le plus petit entier p à injecter dans la liste, tel que
= k avec k entier, nouvelle moyenne qui doit être la plus petite possible.
+
= entier M +
= entier
Il faut donc trouver n entier le plus petit possible, tel que p - M soit multiple de n+1.
Le plus petit est : p = M + n + 1 (*) Moyenne nouvelle : M+1
Exemple :
1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, moyenne 6 qui est dans la suite.
n+1 =10 ; M= 6 ; p =6 + 10 = 16
1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, 16 nouvelle M = 7 que l’on injecte donc à la fin de la liste.
1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, 16, 7 avec n=11 Ensuite p = 7+11+1 = 19
PUIS moyenne 8 déjà dans la liste. On ne le remet pas dans la liste.
Suite : 1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, 16, 7, 19 avec n=11 et M=8 Ensuite p= M + n + 1 = 8 + 12 + 1 = 21
moyenne 8+1=9 pour la suite 1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, 16, 7, 19, 21 avec M=9 et n=13.
etc.
Les moyennes vont croître de 1 en 1 et on peut ainsi obtenir une suite d’entiers consécutifs.
DONC on sait trouver une suite Sn quel que soit n0.
Q3
Poursuivons la recherche :
n0 = 31 et n = 79 ratio 1.6129032258064515
1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, 16, 7, 19, 21, 9, 24, 10, 27, 29, 12, 32, 13, 35, 37, 15, 40, 42, 17, 45, 18, 48, 50, 20, 53, 55, 22, 58, 23, 61, 63, 25, 66, 26, 69, 71, 28, 74, 76, 30, 79, 31
n0 = 32 et n = 50 ratio 1.5625
1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, 16, 7, 19, 21, 9, 24, 10, 27, 29, 12, 32, 13, 35, 37, 15, 40, 42, 17, 45, 18, 48, 50, 20, 53, 55, 22, 58, 23, 61, 63, 25, 66, 26, 69, 71, 28, 74, 76, 30, 79, 31
n0 = 33 et n = 53 ratio 1.606060606060606
1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, 16, 7, 19, 21, 9, 24, 10, 27, 29, 12, 32, 13, 35, 37, 15, 40, 42, 17, 45, 18, 48, 50, 20, 53, 55, 22, 58, 23, 61, 63, 25, 66, 26, 69, 71, 28, 74, 76, 30, 79, 31, 82, 84, 33
n0 = 36 et n = 58 1.6111111111111112 n0 = 37 et n = 59 1.5945945945945945 n0 = 38 et n = 61 1.605263157894737 n0 = 39 et n = 63 1.6153846153846154
n0 = 40 et n = 63 1.575 .
n0 = 67 et n = 108 ratio 1.6119402985074627 n0 = 68 et n = 110 ratio 1.6176470588235294 n0 = 69 et n = 111 ratio 1.608695652173913 n0 = 70 et n = 113 ratio 1.6142857142857143 .
n0 = 119 et n = 192 1.6134453781512605 n0 = 120 et n = 194 1.6166666666666667 .
n0 = 999 et n = 1616 1.6176176176176176 n0 = 1000 et n = 1618 1.6176176176176176 .
n0 = 1999 et n = 3234 1.6178089044522261 n0 = 2000 et n = 3236 1.618
.
n0 = 2479 et n = 4011 1.617991125453812
Le rapport semble bien tendre vers lenombre d’or.
Explication
Le résultat obtenu en Q2 avec (*) justifie cette limite.
En effet, en considérant les termes p qui seront nouveaux dans la suite Sn, Nous obtenons pour les couples (p,n) nouveaux :
p M n n+1 p M + n +1
La suite p,n est construite comme un suite de Fibonacci pour les terme nouveaux en fin de liste.
Chaque nouveau terme est la somme des deux précédents.
Comme le rapport de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d’or, il est normal que le rapport demandé tende vers le nombre d’or.
