D355. Six points dans l'espace
Peut-on avoir six points A,B,C,D,E et F dans l'espace tels que AB = CD = EF = 30, AC = BD = 449, AD = BC
= AE = BF = 450 et AF = BE = 451?
Solution proposée par Gaston Parrour
La figure ci-dessus résume les données de l'énoncé.
N.B. En plus de la perspective dans l'espace, il n'y a pas d'échelle relative pour ces longueurs
En pointillé figurent le segment CD et le segment EF dont la longueur commune souhaitée est 30 Remarque préliminaire : il n'y a pas de ''couplage entre les points C et E (ou F) , ou encore
entre les points D et E (ou F)
→ Donc on a affaire à deux jeux de triangles. Chacun jeu contient deux triangle égaux : JEU 1 triangles égaux ABC et ABD
JEU 2 triangles égaux ABE et ABF
N.B. Les triangles du JEU 2 ont leurs grands côtés plus grands que les grands côtés correspondants du JEU 1 Avec la remarque préliminaire → ces 2 jeux sont indépendants
A partir de cela :
→ Pour la configuration envisagée , il faut que séparément AD = 30 et EF = 30 soient possibles.
Parmi les deux jeux précédents, il y en a nécessairement un pour lequel il est plus difficile de réaliser → ''distance des sommets des deux triangles du jeu = 30''
Si pour ce JEU là, la réalisation est possible, alors les six points définis par l'énoncé peuvent exister ; sinon la configuration souhaitée est impossible.
D'où
→ Détermination du JEU où la configuration est la plus difficile à réaliser
La figure ci-contre représente un jeu de 2 triangles égaux (JEU 1 ou JEU 2) M' et R' sont les projections des sommets M et R sur la droite (NP)
(Les triangles ne sont pas nécessairement coplanaires i.e. R peut être hors du plan défini par (NP) et M)
Pour ces triangles : la base commune est NP = a = 30
les autres côtés sont NM = PR = b et PM = NR = c = b+1
451
451 450
450
450
450 449
449 30
A
B
C
D E
F
M
N P
R
M' a R'
b c
Avec le triangle MNP : PM' = c cos( ang NPM)
et b² = a² + c² – 2ac cos (ang NPM)
→ PM' = (a²+c²-b²)/2a = a/2 + (2b+1)/2a (1)
Ce qui distingue les deux jeux est le passage de b = 449 dans le JEU 1 à b = 450 dans le JEU 2 → L'expression (1) ci-dessus montre que la projection PM' est la plus grande dans le JEU 2.
On obtient bien sûr une expression analogue avec la projection R' de R sur (NP) NR' = PM' et donc → M'R' = PM' + NR' – NP M'R' = (2b+1)/a (2)
Alors si les deux triangles sont coplanaires, (et puisqu'ils sont égaux MR est alors parallèle à NP) : distance MR = distance projetée M'R'
Si les deux sommets M et R ne sont pas coplanaires, il est clair que MR > M'R' ==> M'R' est la plus petite distance possible entre M et R (3) DONC
==> si la distance projetée E'F' sur (AB) dans le JEU 2 est E'F' > 30 → il est impossible de réaliser EF = 30
E'F' < 30 → une position non coplanaire des sommets E et F peut conduire à EF = 30.
On est aussi assuré dans ce cas, et en jouant sur la non co-planarité des triangles, d'une solution à l'intérieur du JEU 1 (pour lequel la projection de CD sur (AB) est inférieure à la projection E'F' de EF sur (AB)) La distance projetée dans le JEU 2 est donnée à partir de la relation (2) par
M'R' → E'F' = (2b+1)/a avec ici b = BF = AE = 450 E'F' = 901/30 > 30
En conclusion :
Compte tenu des autres données, il est impossible de réaliser EF = 30 ==> La configuration souhaitée est impossible
