NOM :
prénom : MATHEMATIQUES
Interro 7 - durée : 15' ECE 1
28 janvier 2019
1. f :E7−→F est surjective si ∀y∈F, ∃x∈E / y=f(x). 2. Soitf une fonction continue sur un intervalle I.
Alors,f est une bijection de I surf(I)si, et seulement si, elle est strictement monotone surI. Dans ce cas,f−1est continue strictement monotone surI, de même sens de variation quef. 3. Soity >0. On a :
f(x) =y ⇐⇒ ln(3ex+ 1) =y ⇐⇒ 3ex+ 1 =ey ⇐⇒ ex= ey−1
3 ⇐⇒ x= ln
ey−1 3
.
Donc, on a
f−1: R∗+−→R y7−→ln
ey−1 3
.
4. On a lanesomme partielle :
n
X
k=0
uk , la série : X
n≥0
un ou X
n∈N
un , la somme de la série :
+∞
X
n=0
un
5. Soitn∈N. Lanesomme partielle est Sn=
n
X
k=0
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6 −→
n→+∞ +∞. La sérieX
n≥0
n2 est donc divergente.
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