NOM :
prénom : MATHEMATIQUES
Interro 3 - durée : 15' ECE 1
17 septembre 2018
1. Une fonctionf est dite strictement décroissante surI si ∀x1, x2∈I, x1< x2 ⇒ f(x1)> f(x2). 2. On suppose queg◦f est bien dénie sur un intervalle I.
Soit donc(x1;x2)∈I2. Vu quef etg sont décroissantes, elles changent l'ordre, et on a successivement : x1< x2 ⇒ f(x1)≥f(x2) ⇒ g(f(x1))≤g(f(x2)).
g◦f est donc croissante surI, puisqu'elle conserve l'ordre.
3. On admet quef est dérivable surR.
On a f = u
v, avec u(x) =e−3x et v(x) =x2+ 1. Donc, f0=u0v−uv0
v2 , avec u0(x) =−3e−3x et v0(x) = 2x, et : f0(x) = −3e−3x(x2+ 1)−e−3x×2x
(x2+ 1)2 =e−3x(−3(x2+ 1)−2x)
(x2+ 1)2 =e−3x(−3x2−2x−3)
(x2+ 1)2 = −(3x2+ 2x+ 3)e−3x (x2+ 1)2 . 4. On a, pourx∈R:
(g◦f)(x) =g(f(x)) =g(x−3) = 4(x−3)−(x−3)2= 4x−12−(x2−6x+ 9) = 4x−12−x2+ 6x−9 (g◦f)(x) =−x2+ 10x−21.
5. On a sup
R
(f) = 3, inf
R
(f) n'existe pas, et max
R−
(f) = 2 .
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