NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
Test Informatique 2 A - 1h ECE 1
8 décembre 2020
On fera apparaitre les séquences de code utilisées, ainsi que les valeurs numériques renvoyées par Scilab.
1. Calculer le plus petit entier n∈N∗ tel que
n
X
k=2
ln(k)
k dépasse50. 2. TrouverK∈N∗ tel que
+∞
X
n=1
1 n6 =π6
K.
3. On lance50fois une pièce équilibrée, et on noteX le nombre de Piles.
On lance ensuite un dé équilibré à6faces autant de fois qu'il y a eu de Piles, et on compte le nombreY de6obtenus.
a. Compléter la fonction pour qu'elle réalise l'ex- périence.
b. Créer un programme l'utilisant pour obtenir un échantillon de 10000 réalisations de l'ex- périence, et renvoyer le nombre moyen de 6 obtenus.
function n=experience() x=grand(...) y=grand(...) n=...
endfunction 4. On considère une suite de lancers d'un dé équilibré.
On noteX le nombre de lancers nécessaires jusqu'à l'obtention du premier6, etY le nombre de lancers supplémentaires nécessaires jusqu'au second6. On admet queX etY sont indépendantes, de même loi géométrique.
a. Quel est le nombre total de lancers eectués jusqu'au second6?
b. Créer un programme similant un grand échantillon de réalisations de X, un autre de Y et calculant le coecient de corrélation entre le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier 6, et le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le second.
c. Calculer (au stylo et sur feuille !)Cov(X, X+Y), puisρ(X, X+Y).
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NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
Test Informatique 2 B - 1h ECE 1
11 décembre 2020
On fera apparaitre les séquences de code utilisées, ainsi que les valeurs numériques renvoyées par Scilab.
1. Calculer le plus petit entier n∈N∗ tel que
n
Y
k=3
1 + 1 kln(k)
dépasse8. 2. Soit, pourn∈N∗, un=
n
X
k=1
1 k
!
−ln(n). On admet que lim
n→+∞un=γ∈R. Déterminer une valeur approchée deγ. 3. On lance100 fois un dé équilibré à6faces, et on noteX le nombre de 6.
On lance ensuite une pièce équilibrée autant de fois qu'il y a eu de6, et on compte le nombreY de Piles obtenus.
Compléter la fonction pour qu'elle réalise l'expé- rience.
Créer un programme l'utilisant pour obtenir un échantillon de 5000 réalisations de l'expérience, et renvoyer le nombre moyen de Piles obtenus.
function n=experience() x=grand(...) y=grand(...) n=...
endfunction 4. Trois clients arrivent en même temps à un guichet à deux caisses.
Les clientsC1 etC2 se font servir, tandis que le clientC3 attend, puis eectue son opération dès que l'un des deux guichets s'est libéré.
On dénit les variables aléatoiresX1,X2 etX3 égales aux durées respectives des opérations des cliensC1,C2et C3. On suppose que les v.a. sont de même loi géométrique de paramètre 1
2. SoitZ=min(X1, X2)l'instant où le clientC3 commence à être servi.
a. A quoi correspondZ+X3?
b. Créer un programme similant un grand échantillon de réalisations deZ, un autre de X3 et calculant le coecient de corrélation entre le début du service du clientC3, et la n de son service.
c. Pour cette question seulement, on admet queZ ,→G 3
4
, et que Z etX3sont indépendantes.
Calculer (au stylo et sur feuille !)Cov(Z, Z+X3), puisρ(Z, Z+X3).
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