F A C U L T E D E D R O I T E T D ’ E C O N O M I E
Année Universitaire 2016-2017 FILIERE L2 AESE P R E U V E d e M é t h o d e s q u a n t i t a t i v e s 1
S e s s i o n : p r e m i è r e D u r é e : 2 hCe sujet comporte 1 page
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Un point de présentation sera donné à ceux qui ont souligné ou surligné ou encadré leurs résultats d’une couleur différente de celle utilisée pour écrire ET qui ont utilisé au maximum une copie double et un intercalaire.
Exercice 1 : (3 + 3 + 3 points)
1) Donner le gradient et la matrice Hessienne de la fonction
𝑓(𝑥; 𝑦) = −18𝑥2+ 6𝑦𝑥2− 𝑦2
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = [−36𝑥 + 12𝑦𝑥
6𝑥2− 2𝑦 ]
𝐻𝑓(𝑥, 𝑦) = [−36 + 12𝑦 12𝑥
12𝑥 −2]
2) Prouver que (0 ; 0) (1 ; 3) et (−1 ; 3) sont les seuls points critiques de 𝑓
{−36𝑥 + 12𝑦𝑥 = 0 6𝑥2− 2𝑦 = 0 ⇔ { −36𝑥 + 12𝑦𝑥 = 0 𝑦 = 3𝑥2 ⇔ { −36𝑥 + 36𝑥3= 0 𝑦 = 3𝑥2 ⇔ {36𝑥(−1 + 𝑥 2) = 0 𝑦 = 3𝑥2 ⇔ { 36𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥2= 1 𝑦 = 3𝑥2 ⇔ {𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑥 = −1 𝑦 = 3𝑥2
Les y correspondants aux 𝑥 sont 𝑦 = 3×02 = 0 ; 𝑦 = 3×12= 3 ; 𝑦 = 3×(−1)2 = 3
3) Déterminer leur nature
det(𝐻𝑓(0 ; 0)) = |−36 0
0 −2| = 72 > 0
et comme −36 < 0, 𝑓 admet un maximum local en (0 ; 0).
det(𝐻𝑓(1; 3)) = | 0 12
12 −2| = −144 < 0
𝑓 admet un point col en (1 ; 3).
det(𝐻𝑓(−1; 3)) = | 0 −12
−12 −2 | = −144 < 0
𝑓 admet un point col en (−1 ; 3).
Exercice 2 : (6 points)
∫ (1 − 2𝑥 + 𝑥3 1 −1 )𝑑𝑥 =[𝑥 − 𝑥2+𝑥 4 4]−1 1 = (1 − 12+1 4 4) − (−1 − (−1) 2+(−1) 4 4 ) = 2 ∫ (𝑒−2𝑥+ 1 𝑥 + 2) 𝑑𝑥 1 0 = [ 1 −2𝑒 −2𝑥+ ln(𝑥 + 2)] 0 1 = 1 −2𝑒 −2+ ln(3) − ( 1 −2𝑒 0+ ln(2)) =1 2− 1 2𝑒 −2+ ln (3 2) ∫ 2𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥 +∞ 1 =[−𝑒−𝑥2] 1 +∞ = −0 − (−𝑒−1) = 𝑒−1 Exercice 3 : (4 points)
1) Trouver 𝑎 et 𝑏 tel que
2 (1 + 2𝑥)(4𝑥 − 1)= 𝑎 1 + 2𝑥+ 𝑏 4𝑥 − 1 𝑎 = 2 4 (−12) − 1 = 2 −3 𝑏 = 2 1 + 2 (14) =4 3 2) En déduire ∫ 2 (1 + 2𝑥)(4𝑥 − 1)𝑑𝑥 2 1 =∫ 1 −3× 2 1 + 2𝑥+ 1 3× 4 4𝑥 − 1𝑑𝑥 2 1 = [ 1 −3ln(1 + 2𝑥) + 1 3ln(4𝑥 − 1)]1 2 = 1 3(− ln(5) + ln(7) + ln(3) − ln(3)) = 1 3ln ( 7 5)
